小学小升初奥数类型题总复习.docx
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小学小升初奥数类型题总复习
小学奥数知识点及典型题
第一部分经典小升初奥数类型题集锦
1计算
1）特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
连续奇偶数求和=（首项+末项）×项数÷2
等差数列和=（首项+末项）×项数÷2末项=首项×（项数－1）×公差
等比数列求和末项an = an −1q = a1qn −1，
有序数图形；数线段，射线，直线：
编号相加
数三角形：
分类计数
数正方形：
一般情况下，长分m等分，宽分n等分，那么正方形的总数为mn＋（m-1）（n-1）＋（m-2）（n-2）+……+1×1
数长方形;长编号和×宽编号和
数论
奇偶性问题
奇奇=偶奇×奇=奇奇偶=奇奇×偶=偶偶偶=偶偶×偶=偶
位值原则
形如：
=100a+10b+c
2）数的整除特征：
数的整除具有如下性质：
性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
我们把学过的一些整除的数字特征列出来：
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
例1、五位数能被72整除，问：
A与B各代表什么数字？
分析与解：
已知能被72整除。
因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
2植树问题
①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：
棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
基本公式：
棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长
③在封闭曲线上植树：
基本公式：
棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长关键问题：
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
基本类型
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数=段数＋1
棵距×段数=总长
棵数=段数－1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
3,和差倍问题
和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式适用范围
已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①（和－差）÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②（和＋差）÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷（倍数-1）=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
关键问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
4．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
【例题】爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？
明年呢？
解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：
今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。
5，平面图形
⑴多边形的内角和:
N边形的内角和=（N-2）×180°
⑵等积变形（位移、割补）三角形内等底等高的三角形
1平行线内等底等高的三角形
2公共部分的传递性
3极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）
①
;S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：
S△AGC＝S△BGE：
S△GEC＝BE：
EC；
S△BGA：
S△BGC＝S△AGF：
S△GFC＝AF：
FC；
S△AGC：
S△BCG＝S△ADG：
S△DGB＝AD：
DB；
6，立体图形
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：
V升水=V物
②测啤酒瓶容积：
V=V空气+V水
⑷正方体展开图
（1，4,1）;（2,3,1）;（2,2,2）;（3,3）
⑸染色问题（正方体）
三面色8个；两面色（N-2）×12；一面色（N-2）×（N-2）×6；没有涂色（N-2）×（N-2）×（N-2）
名称
图形
特征
表面积
体积
长方体
8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；
S=2（ab+ah+bh）
V=abh
=Sh
正方体
8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；
S=6a2
V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；
S=S侧+2S底
S侧=Ch
V=Sh
圆锥体
下底是圆；只有一个顶点；l:
母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；
S=S侧+S底
S侧=rl
V=Sh
球体
圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2
V=r3
5．鸡兔同笼问题
基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6．盈亏问题
基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；基本公式：
总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；基本公式：
总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；基本公式：
总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
盈亏问题
【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】一般地说，在两次分配中，
1）如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
2）如果两次都盈或都亏，
则有：
参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
3）参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
7．牛吃草问题
【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。
这
类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
一、牛吃草问题之基本
例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。
问：
可供25头牛吃几天？
分析与解：
牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。
设1头牛一天吃的草为1份。
10头牛20天吃：
200份，15头牛10天吃：
150份，
200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。
原有草：
（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份
所以，这片草地可供25头牛吃：
100÷20＝5（天）。
【例2】一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完？
解：
草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？
设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即
（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内
的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量，同理1×15×10
＝原有草量＋10天内生长量，由此可知（20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50。
因此草每天的生长量为50÷（20－10）＝5。
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5天内草总量
5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃
完草需要牛的头数：
125÷5＝25（头）
答：
需要5头牛5天可以把草吃完。
练习.有一块草场，可供15头牛吃8天，或可供8头牛吃20天。
如果一群
牛14天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？
二、牛吃草问题之检票问题
例2某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：
等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：
一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票1分钟检票的人数为1份。
4个检票30分钟通过：
（4×30）份，
5个检票20分钟通过：
（5×20）份，
说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
可以求出原有旅客为 （4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。
三、牛吃草问题之抽水问题
例3、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。
先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。
如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。
那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析与解：
先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是
可以求出先放过水的水量为 16－
×8＝13
因为每分进
，的以用的时间是13
÷
＝40分
答：
出水管比进水管晚开40分钟。
四、牛吃草问题之天牛吃草
例4由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
照此计算，可供多少头牛吃10天？
分析与解：
与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。
但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。
20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，
相差：
100-90=10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。
所以牧场原有草：
20×5＋10×5＝150（份）。
150÷10－10＝5头。
五、牛吃草问题之上楼梯问题
例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。
问：
该扶梯共有多少级？
分析与解：
“扶梯的梯级总数”相当于“总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。
男孩5分钟走了20×5＝100（级），
女孩6分钟走了15×6＝90（级），
女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。
由男孩5分钟到达楼上，他走了20×5＝100级
扶梯5分钟本身上升10×5＝50级，
所以：
100＋50＝150（级）。
练习：
1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。
问：
第三块草地可供19头牛吃多少天？
2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。
假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？
8，逻辑推理
逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终找到问题的答案。
逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷惑性，并且没有一定的解题模式。
因此，要正确解决这类问题，不仅需要始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律同一律，矛盾律和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既
不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，
在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。
例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
第一盘，李明和小华对张虎和小红；
第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解：
因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
第一种可能是：
李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
第二种可能是：
李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是：
张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。
练习：
1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：
“甲是2号，乙是3号.”
钱说：
“丙是4号，乙是2号.”
孙说：
“丁是2号，丙是3号.”
李说：
“丁是4号，甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
9.浓度问题
【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。
这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。
例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。
溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
【例题】爷爷有16%的糖水50克，
（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？
（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？
解：
（1）需要加水多少克？
50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？
50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）
答：
（1）需要加水30克，
（2）需要加糖10克。
1.要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%
和15%的糖水各多少克？
10.工程问题
【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。
工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。
1、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
2、师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务，师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？
3、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成，甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
4、蓄水池有一条进水管和一排水管，要灌满一池水，单开进水管需要5小时，排光一池水，单开排水管需3小时。
现在池内有半池水，如果按进水、排水、进水、排水……的顺序轮流各开1小时，问：
多上时间后水池的水刚好排完？
（精确到分钟）
5、甲乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多1/3，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？
6、一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接着做1小时，再由甲接着做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？
7，一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？
解：
题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。
由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的
1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。
由此可以列出算式：
1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：
两队合做需要6天完成。
练习1，.一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。
现在两人合做，
完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？
2.一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？
11（综合行程问题）
基本概念：
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
基本公式：
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
关键问题：
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：
速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：
追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
流水问题：
顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
流水问题：
关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：
关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：
画线段图法
基本题型：
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
多次相遇
线型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
环形跑道
行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
钟面上的追及问题。
时针和分针成直线；
时针和分针成直角。
结合分数、工程、和差问题的一些类型。
行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
例题1，相遇问题
【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
这类应用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。
【例1】甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每
小时走6千米，乙每小时走4千米，问：
二人几小时后相遇？
【解】30÷（6＋4）＝3（小时）
答：
3小时后两人相遇.
【例2】甲、乙两人分别沿周长为400米的操场，同时出发同向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，问两人多少分钟后再次相遇？
【解】两人相遇的情况是：
甲领先乙以后，超过乙1圈再度赶上乙。
则此
题转化为追击问题了。
追击路程为1个周长。
400÷（60-40）=20（分钟）
答：
20分钟后两人再度相遇.
巩固练习
1.甲乙两地相距300千米，一辆客车和货车同时从两地相向而行，5小
时后，在途中相遇，客车每小时行40千米，货车每小时行多少千米？
2.从北京到沈阳的铁路长738千米．两列火车从两地同时相对开出，北京开出的火车，平均每小时行59千米；沈阳开出的火
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