d=r
d>r
公共点个数
2
1
0
公共点名称
交点
切点
无
直线名称
割线
切线
无
2、有关定理和概念
切线的判定定理：
判定方法：
①②③
切线的性质定理及推论：
切线长定理：
三角形的内切圆和内心：
【典型例题】
例1、如图80303，已知AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，CD切⊙O于D,DE⊥AB于E,求证：
∠EDB=∠CDB。
例2、如图80304，已知AB是⊙O的一条直
径，过A作圆的切线AC,连结OC交⊙O于D;连结BD并延长交AC于E,AC=AB
①求证：
CD是ΔADE外接圆的切线。
②若CD的延长线交⊙O于F,求证：
=
③若⊙O的直径AB=2,求tg∠CDE的值。
④若AC≠AB结论①还成立吗？
【基础训练】
1、若⊙O的半径为3cm，点P与圆心O的距离为6cm，则过点P和⊙O相切的两条切线的夹角为度。
2、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离为。
3、已知PA与⊙O相切于A点，PA=
∠APO=45°,则PO的长为。
4、已知ΔABC中，∠A=70°,点O是内心，则∠BOC的度数为。
5、已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E且DE=2cm,则点D到OB的距离为。
6、如图80301，AE、AD和BC分别切⊙O于E、D、F,如果AD=20,则ΔABC的周长为。
7、如图80302，梯形ABCD中，AD∥BC,过A、B、D三点的⊙O交BC于E，且圆心O在BC上，①四边形ABED是什麽四边形？
请证明你的结论。
②若∠B=60°,AB：
AD：
BC=1：
1：
3则有哪些结论？
至少写出两个并加以证明。
【发展探究】
1、如图80305，设PMN是⊙O通过圆心的一条割线，①若PT切⊙O于点T,求证：
=
②若将PT绕点P逆时针旋转使其与⊙O相交于A、B两点，试探求
与
间的关系。
2、如果上题中的割线PMN不通过圆心，上述结论是否仍然成立？
【优化评价】
1、⊙O的半径是8,⊙O的一条弦AB长为8
以4为半径的同心圆与AB的位置关系是。
2、在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心，R为半径新作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是。
3、在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°,以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3,BC=4,则⊙O的直径为。
4、RtΔABC中，∠A=90°,⊙O分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上，若AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于（）。
A、
B、
C、
D、
5、如图80306，ΔABC是⊙O的内接三角形，DE切圆于F点，且DE∥BC,那么图中与∠BFD相等的角的个数是（）。
A、5B、3C、4D、2
6、如图80307，AB⊥BC,且AB=BC,以AB为直径作半圆O交AC于D,则图中阴影部分的面积是ΔABC面积的（）。
A、1倍B、
倍C、
倍D、
倍
7、如图80308，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB,P是OA上的任一点，BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上，且RP=RQ。
①求证：
RQ是⊙O的切线。
②求证：
OB2=PB·PQ+OP2。
③当RA≤OA时，试确定∠B的范围。
8、如图80309，点A在⊙O外，射线AO与⊙O交于F,G两点，点H在⊙O上，弧FH=弧GH,点D是弧FH上一个动点（不运动至F），BD是⊙O的直径，连结AB,交⊙O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA=
OF=1,设AC=x,AB=y。
①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
②若DE=2CE,求证：
AD是⊙O的切线。
③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时，
求sin∠DAB的值。
第三节与圆有关的角
【知识回顾】
与圆有关的角：
⑴圆心角定义（等对等定理）
⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）
⑶弦切角定义（弦切角定理）
【考点分析】
圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。
【典型例题】
例1、⑴已知：
A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点，则∠HDF=_______.
⑵如图1，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与∠BOC的一半相等的角共有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
例2、⑴下列命题正确的是（）
A.相等的角是对顶角；B.相等的圆周角所对的弧相等；
C.等弧所对的圆周角相等角；D.过任意三点可能确定一个圆。
⑵如图2，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，
若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC所对的弧的度数为（）
A.40°B.100°C.120°D.30°
⑶如图3，AB、AC是⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，若∠ADB=35°，则∠BOC=____.
例3、⑴如图4，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B点，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=_________.
⑵如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB=_____度。
例4、已知，如图6，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD＜DB＝，点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。
⑴求证：
AC2=AG·AF；⑵若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否任然成立？
若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。
【基础练习】
1、填空题：
⑴如图7，OA、OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线，
且∠AOB=84°，则∠ABC的度数为___________.
⑵如图8，C是⊙O上的一点，AB为100°，则∠AOB=_____度，
∠ACB=_______度。
⑶圆内结四边形ABCD中，如果∠A:
∠B:
∠C=2：
3：
4，那么∠D=_____度。
⑷如图9，△ABC中，∠C=90°，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则∠EDF=_____。
2、选择题：
⑴如图10，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°，∠AOC等于（）
A.20°B.40°C.80°D.100°
⑵△ABC内接于⊙O，∠A=30°，若BC=4cm，则⊙O的直径为（）
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
⑶如图11，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，则tan∠BPD等于（）
A.
B.
C.
D.
⑷如图12，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB=29°，则∠ADC=（）
A.109°B.119°C.120°D.129°
3、如图13，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AB、BD相交于点E。
⑴求证：
△ABD≌△ACD；⑵若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长。
【能力创新】
5、如图14，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P。
⑴已知：
CD=8cm，
∠B=30°，求⊙O的半径；⑵如果弦AE交CD于F，求证：
AC2=AF·AE.
.
第四节与圆有关的比例线段
【知识回顾】
与圆有关的比例线段
1.相交弦定理
2.切割线定理
【考点分析】
1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下：
相交弦定理及推论1
切割线定理及推论2
条件
弦AB,CD相交于P点
弦CD⊥直径AB交于P点
PT是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线
PAB、PCD均为⊙O的割线
图形
图80401
图80402
图80403
图80404
结论
PA·PB=PC·PD
PC2=PA·PB
PT2=PA·PB
PA·PB=PC·PD
2、可深化得出的结论：
PA·PB为常数。
设⊙O的半径为R，对于相交弦则有PA·PB＝R2-OP2,对于切割线则有PA·PB＝OP2-R2。
3、解题方法：
①直接应用相交弦定理，切割线定理及其推论；②找相似三角形，当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。
【典型例析】
例1、如图80406，已知ΔABC是⊙O的内接三角形，PA是切线，PB交AC于E点，交⊙O于D点，且PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8。
求CE的长。
例2、如图80407，已知PA切⊙O于A点，PBC为割线，弦CD∥AP,AD交BC于E点，F在CE上，且ED2=EF·EC。
求证：
①∠EDF=∠P②求证：
CE·EB=EF·EP
③若CE：
EB=3：
2,DE=6,EF=4,求PA的长。
【基础训练】
1、已知：
AB·CD为⊙O得两条弦，AB与CD交于点P且点P为CD得中点，PC＝4，则PA·PB＝。
2、已知RtΔABC的两条直角边AC,BC得长分别为3cm,4cm。
以AC为直径作圆于斜边AB交于点D，则BD得长为。
3、已知割线PBC与⊙O交于点B点C且PB=BC。
如果OP与⊙O交于点A，且OA=7,AP=2,则PC的长为。
4、已知PA为⊙O的切线，A为切点，PBC时过点O得割线，PA=10cm,PB=5cm,则⊙O的半径为。
5、⊙O的一弦AB=10cm，P是AB上一点，PA=4cm,OP=5cm，则⊙O的直径为。
6、如图80405，已知ΔABC中，AD平分∠BAC，过A、B、D作⊙O，EF切⊙O于D点，交AC于E点。
求证：
CD2=CE·AC。
【发展探究】
如图80408，正方形ABCD的边长为2a，H是以BC为直径的半圆上的一点，过H与半圆相切的直线交AB于点E，交CD于点F，①当H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两个交点分别在AB、CD上移动（E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否也在变化？
请证明你的结论；②若∠BEF=60°，求四边形BCFE的周长；③设四边形BCFE的面积为S1，正方形ABCD的面积为S。
当H在什么位置时，S1＝
S。
【优化评价】
1、已知AEB、ADC是⊙O的两条割线，且AB>AE,AC>AD,AT切⊙O于T，若AD=4,DE=2,AE=3,AT=6,则BC=。
2、已知P为圆外一点，PA切⊙O于A点，PA=8，直线PCB交圆于C、B且PC=4,AD⊥BC于D点，∠ABC=χ,∠ACB=β,则
的值为。
3、等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比为（）。
A、1：
：
B、1：
：
2
C、1：
2：
3D、1：
2：
4、已知梯形ABCD外切于⊙O，AD∥BC,∠B=60°,∠C=45°,⊙O的半径为10，则梯形的中位线长为（）。
A、10B、
+10
C、20D、20
5、在半径为r的⊙O中，一条弦AB等于r，则以O为圆心，
r为半径的圆与AB的位置关系是（）。
A、相离B、相切C、相交D、不能确定
6、如图80409，PT为⊙O的切线，T为切点，PA为割线，它与⊙O的交点是B、A与直线CT的交点是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB的长。
7、如图80410，PA是⊙O的直径，PC是⊙O的弦，过弧AC中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B。
若HB=6,BC=4。
求⊙O的直径。
8、如图80411，⊙O是以AB为直径的ΔABC的外接圆，D是劣弧弧BC中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P。
①求证：
=
②当AC=6,AB=10时，求切线PC的长。
第五节圆和圆的位置关系
【知识回顾】
1.五种位置关系及判定与性质：
（重点：
相切）
2.相切（交）两圆连心线的性质定理
3.两圆的公切线：
⑴定义⑵性质
【考点分析】
1、五种位置关系及其数量特征（注意“数形结合”）。
两圆位置关系
相交
相切
相离
外切
内切
外离
内含
d与R、r
的关系
R-r（R>r）
d=
R+r
d=
R-r
（R>r）
d>
R+r
d<
R-r
（R>r）
公共点个数
2
1
1
0
0
外公切线条数
2
2
1
2
0
内公切线条数
0
1
0
2
0
公切线条数
2
3
1
4
0
★记忆方法：
OR-rR+r
★★★d
内含相交外离
2、有关定理：
连心线的性质：
当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆相切时，连心线过切点；当两圆外离时，连心线过内（外）公切线的交点且连心线平分两条公切线的夹角；当两圆内含时，连心线是对称轴。
公切线的性质：
两圆的两条外（内）公切线的长相等；两条外（内）公切线的交点在连心线上且夹角被连心线平分。
公切线长的计算公式：
l外公切线=
l内公切线=
.
．两个圆是轴对称图形，两圆的连心线是它的对称轴。
3、思想方法：
（1）抓住“切点”，明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切，并充分、合理地运用有关“切”的定理。
（2）全面思考问题：
如两圆无公共点，则为外离或内含；相切分“外切”和“内切”；两个圆心可在公共弦和同侧或异侧。
（3）发现和建立两圆之间的联系，注意有些线段或角具有双重身份，应灵活使用。
【典型例题】
例1、如图80501，已知⊙01和⊙02相交于A,B。
0102交⊙01于P,PA,PB的延长线分别是交⊙02于C,D,求证：
AC=BD。
证法一：
连AB作02M⊥AC,02N⊥BD。
证法二：
连AB。
例2、如图80502，⊙01和⊙02外切于点C,外公切线AB交0102的延长线于P,∠A01P=60°,0102=2,求两圆的半径。
证法一：
连02B。
证法二：
作02D⊥01A。
【基础训练】
1、若
（1）直径分别为6和8,圆心距为10；
（2）只有一条公切线；（3）R2+d2-r2=2Rd则两圆的位置关系分别为、和。
2、若两圆既有外公切线，又有内公切线，则两圆半径R和r及圆心距d的关系是（）。
A、dR+rD、d≥R+r
3、两圆外切于A,BC是外公切线，则ΔABC为（）。
A、锐角三角形B、直角三角形
C、钝角三角形D、等边三角形
4、两个等圆⊙01和⊙02相交于A、B两点，且O2在⊙01上。
则四边形O1AO2B是（）。
A、平行四边形B、菱形
C、正方形D、梯形
5、两圆外切，当两圆外切时，圆心距为20.那么两圆内切时，圆心距（）。
A、8B、12C、4D、小于4
6、两园外切，其半径分别为6和2,则两条外公切线的夹角等于（）。
A、30°B、45°C、60°D、90°
7、两圆半径分别为4和2,一条公切线为4,则两圆的位置关系为（）。
A、外切B、内切C、外离D、相交
8、三个同心圆的半径分别为r1,r2,r3,且r1如果大圆的面积被两个小圆三等分，那么r1：
r2：
r3等于（）。
A、1：
2：
3B、1：
：
C、1：
4：
6D、2：
3：
5
9、两圆的圆心坐标分别为（
，0）和（0,1），它们的半径分别是4和6,则两圆的位置关系是（）。
A、外离B、外切C、相交D、内切
10、相交两圆的公共弦为6,半径分别为4和5。
则圆心距为（）。
A、4+
B、4-
C、4+
或4-
D、不同于以上答案
【发展探究】
如图80503，半径为R和r的⊙01和⊙02外切于P,切点P到外公切线AB的距离PQ=d,写出R、r、d之间的一个数量关系，并证明你的结论。
证明：
ΔCP02∽ΔD0102＝＞
=
＝＞
+
=
·相似是平几的重要手段。
·掌握“从未知看需知靠拢已知”“（分析法）”和从已知看可推知向未知”〔综合法〕。
【优化评价】
1、若︱R-d︱=r,则两圆的位置关系是（）。
A、相交B、外切C、相切D、内切
2、在两圆的五种位置关系中，没有内公切线的有（）。
A、4种B、3种C、2种D、1种
3、两圆相外切，且它们的两条外公切线互相垂直，其中大圆半径等于5cm,则外公切线的长为（）。
A、5（3-2
）cmB、5cmC、10（
-1）cm
D、5（5-3
）cm
4、平面上三个圆两两相切，则切点个数最少是（）。
A、1个B、2个C、3个D、4个
5、圆A,圆B,圆C两两外切于D，E,F,则ΔDEF的外心是ΔABC的（）。
A、内心B、外心C、垂心D、重心
6、⊙01和⊙02交于A,B,P为0102的中点，直线MN过A且垂直于PA交两圆于M,N,若MN=2
则AM等于（）。
A、1B、
C、
D、2
7、⊙01和⊙02交于A,B,直线EF平行于0102分别交两圆于E,F,若0102=3，则0102：
EF=（）。
A、
B、
C、
D、
8、圆A,圆B,圆C两两外切，半径分别为
、
、
则ΔABC为（）。
A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形。
9、圆01和圆02相外切，又都内切于圆O3,01、02、O3在一条直线上0102=8cm,则圆O3的半径为（）。
A、4cmB、5cmC、6cmD、8cm
10、定圆O的半径为4cm,动圆P的半径为1cm,若两圆外切，则PO=,点P在上移动。
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