优化课堂高中数学2.3空间直角坐标系练习北师大版必修2Word格式.doc
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选A.由已知得
=,解得a=3或a=5.
3.若△ABC的顶点坐标分别为A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7),则△ABC的重心坐标为( )
A. B.
C. D.
选B.设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),其重心坐标为
,故所求重心坐标为.
4.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
选C.|AB|==,|BC|==,|AC|==,所以|AB|2=|BC|2+|AC|2.
所以△ABC为直角三角形.
5.不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A(1,0,4),B(3,-2,6),则该正方体的棱长等于( )
A.1 B.
C.2 D.
选C.依题意,正方体的对角线的长为|AB|==2,设正方体的棱长为a,则有a=2,解得a=2.
6.已知点A(-3,1,4),B(5,-3,-6),则点B关于点A的对称点C的坐标为________.
设C点的坐标为(x,y,z),
则,解得.
则C点的坐标为(-11,5,14).
答案:
(-11,5,14)
7.设点P在x轴上,它到P1(0,,3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍,则点P的坐标为________.
因为点P在x轴上,
所以设点P的坐标为(x,0,0).
由题意|PP1|=2|PP2|,
所以
=2,
解得x=±
1.所以所求点的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).
(1,0,0)或(-1,0,0)
8.在空间直角坐标系中,点M(x,y,z)满足x2+y2+z2=1,则M的轨迹是________________.
由x2+y2+z2=1,
得=1,
即动点M到定点O(坐标原点)的距离为常数1.
所以M的轨迹是以原点O为球心,半径为1的球面.
以原点O为球心、半径为1的球面
9.在三棱锥S
ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AB⊥AC,且SA=AB=AC=a,D为BC的中点,E为SD的中点,建立适当的坐标系,求点S,A,B,C,D,E的坐标.
解:
因为在三棱锥S
ABC中,SA⊥AB,SA⊥AC,AB⊥AC,所以以点A为坐标原点,AB,AC,AS所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为SA=AB=AC=a,D为BC的中点,所以A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),S(0,0,a),D,连接AD,
因为SA⊥AB,SA⊥AC,AB∩AC=A,所以SA⊥平面ABC,则有平面SAD⊥平面ABC,交线为AD,过点E作EF⊥AD,垂足为F,则EF⊥平面ABC.
因为E为SD的中点,所以F为AD的中点,所以EF=AS,
所以E,
即点S(0,0,a),A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D,E.
10.在河的一侧有一塔|CD|=5m,河宽|BC|=3m,另一侧有点A,|AB|=4m,如图,求A与塔顶D的距离|AD|.
以C点为原点,CB、CD、CM所在直线为x轴、z轴、y轴建立空间直角坐标系,如图,则A(3,-4,0),D(0,0,5).
所以|AD|
=
=5,即A到塔顶D的距离是5m.
[B 能力提升]
1.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO
A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )
A.a B.a
C.a D.a
选B.因为A′(a,0,a),C(0,a,0),
E点坐标为,
而F.
所以|EF|==a,所以选B.
2.已知x,y,z满足方程C:
(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,则x2+y2+z2的最小值是________.
x2+y2+z2表示坐标原点(0,0,0)到点(x,y,z)的距离的平方,
则点(0,0,0)到(3,4,-5)的距离d==5,
则x2+y2+z2的最小值为(5-)2=(4)2=32.
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3.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),试问:
(1)在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M,使△MAB为等边三角形?
若存在,试求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
(1)假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.
因M在y轴上,可设M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,
显然,此式对任意y∈R恒成立.这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M,使△MAB为等边三角形.
由
(1)可知,y轴上任一点都有|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|
=,
|AB|=
于是=,解得y=±
.
故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形,且点M坐标为(0,,0)或(0,-,0).
4.(选做题)已知直三棱柱ABC
A1B1C1(侧棱与底面垂直)中,AC=2,CB=CC1=4,E,F,M,N分别是A1B1,AB,C1B1,CB的中点.如图所示,建立空间直角坐标系.
(1)在平面ABB1A1内找一点P,使△ABP为等边三角形;
(2)在线段MN上是否存在一点Q,使△AQB为以AB为斜边的直角三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;
若不存在,请予以说明.
(1)因为EF是AB的中垂线,在平面ABB1A1内只有EF上的点与A,B两点的距离相等.
又A(2,0,0),B(0,4,0),设点P坐标为(1,2,m),
由|PA|=|AB|得,
所以m2=15.
因为m∈[0,4],所以m=,
故平面ABB1A1内的点P(1,2,)使得△ABP为等边三角形.
(2)设MN上的点Q(0,2,n)满足题意,由△AQB为直角三角形,其斜边上的中线长必等于斜边长的一半,
所以|QF|=|AB|.又F(1,2,0),
则
=,
整理得,=,所以n2=4.
因为n∈[0,4],所以n=2.
故在MN上存在点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.
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