赛程安排论文Word下载.docx
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3
6
1,2,2
2
5
8
0,2,2
7
10
4,1,0
4
0,0,1
1,1,1
从上面的例子出发讨论以下问题:
1）
对于5支球队的比赛,给出各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程.
2）
当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是多少.
3）
在达到2）的上限的条件下,给出n=8,n=9的赛程,并说明它们的编制过程.
4）
除了每两场比赛间相隔场次数这一指标外,你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣,并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度
二.问题分析
2.1问题一
比赛要求的是公平、公正，根据问题一，我们建立的模型需要解决的问题是：
2.1.1满足每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程一共有多少方案
2.1.2建立一个最优且容易编排的赛程模型。
赛程要求对于5支球队的比赛,给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。
而公平性则通过每两场比赛间相隔场次数体现。
2.2问题二、问题三
各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限,我们通过数学方法中的最优配备排列法解决。
通过问题二的解决，问题三便可以迎刃而解。
2.3问题四
衡量一个赛程的优劣只通过每两场比赛间相隔场次数这一指标不能全面的体现比赛的公平性，问题四的提出、要求我们寻找其他指标，从而可以更好地体现比赛的公平性，使我们所建立的模型达到最优。
符号说明：
表示参加比赛的球队的数量。
表示一场赛事总共要进行比赛的次数。
假设每轮比赛的次数。
假设中间隔的场数。
三.模型假设
假设1：
比赛时间充足，天气状况良好。
假设2：
假设3：
为了尽量公平，假设每两场比赛间相隔场次数不能为零。
四.模型建立与求解
4.1问题一
现有五只球队A,B,C,D,E要打小组赛，时间很充裕的可以采用循环制，即每支队伍分别跟其他4支队伍各进行一场比赛（如下）所示：
①；
由①可得，一个赛程共打10场，但为了体现赛事的公平性，一个队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程。
由此可以对①中的元素进行排列组合，以第一列元素为主族（如②所示）：
②；
从②中可以看出，有1,2
5个空位供剩余6个元素来插入，因此可以把①中第二列的三个元素插入②中，由于①中第二列元素中都含有B队，所以1号和2号位不能插入，由此得新的组合如下：
③
现③中共有8个空位供剩余三个元素插入，对剩余的三个元素和③中的元素分析，可得3，4，5，6，7中均不能插入剩余几种元素，2号位只能插入DE,8号位只能插入CE，1号位就只有CD了，由此可得出一个赛程如下：
表1赛程安排表
对于上述方案并不是唯一，A,B,C,D,E五只球队可任取五种间隔场数中的一种，共有
！
种，而每种又有两种变化，故比赛场数共有240种。
由此可得如下结论：
①当参赛队伍n=5时，“各队每两场比赛中间都至少相隔一场”的每种赛程安排均具有相同的公平性。
4.2问题二
4.2.1
的通项
问题一中所给的球队较少，可以用简单的插空排列组合法来解决，由于此问中没有给定具体的参赛组数，且要在第一问的基础上来求n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限，因此我们首先要知道n支球队比赛时，一个赛事要进行多少场比赛，通过归纳得到规律如下：
设n支球队比赛时，一个赛事要进行
场比赛。
当n=2时，无意义。
当n=3时，
=1+2=3；
当n=4时，
=1+2+3=6；
当n=5时，
=1+2+3+4=10；
……
当n=n时，
=
；
用数学归纳法得到通项公式
4.2.2分类讨论
对于n支球队比赛的情况，讨论各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限。
我们把n支球队分为奇数和偶数来讨论。
（1）n为偶数的情况
通过查找资料，我们得到乒乓球单循环赛的赛程安排方法--逆时针论转法全称叫1号位固定逆时针论转法。
它是各种单循环比赛中普遍采用的方法，先以阿拉伯数字作为代号,代替队名进行编排。
以6人单循环赛为例，1号位固定逆时针论转法如下：
表26队单循环赛赛程安排方法
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
1--6
1--5
1--4
1--3
1--2
2--5
6--4
5--3
4--2
3--6
3--4
2--3
6--2
5--6
4--5
其中各队每两场比赛中间隔分布如下：
表3各队每两场比赛中间隔分布1
参赛队
间隔分布
2,2,2,2
3,2,1,1
2,1,1,3
1,1,3,3
1,3,3,2
3,3,2,1
由表2可知，1号位固定不变，其他元素逆时针旋转遇1跳过继续旋转，假设每轮比赛k场，间隔场数j；
，由于所有对都要参加每一轮的比赛，所以我们只讨论两轮之间的变化情况，当k=3时，
在变化时1号位固定不变，导致前一轮在1号位下边的哪一号和下一轮间隔为k；
当k=n/2时，
用1号位固定逆时针论转法推导，过程如下：
通过数学归纳法分析，发现每两轮之间1号位之间间隔始终是j=k-1，每轮左手边第k位旋转后和下一轮之间的间隔始终是j=k-1，介于1号位和左手第k位之间的元素，与下一轮的间隔始终是j=k，右上角第一位和下一轮的间隔始终是j=k，右手边从第二位开始到第k位与下一轮的间隔始终满足j=k-2。
综上分析得出结论如下：
②在满足逆时针论转法的前提下，当n只球队比赛
时，各队每两场比赛中间至少相隔
场。
（2）n为奇数的情况
把队数按U型走向分成均等两边,n为奇数时,最后一位数字补为O成为偶数。
第一轮只要在U形相对队数之间划横线,即为第一轮比赛秩序。
第二轮开始固定左上角1数字,其余数字均按逆时针方向移动一个位置,即为第二轮比赛秩序,以后各轮比赛秩序以此类推。
遇O队数即轮空队。
以7对单循环赛为例，1号位固定逆时针论转法如下：
表47队单循环赛赛程安排方法
第六轮
第七轮
1--0
1--7
2--7
0--6
7--5
3--0
0--4
7--3
5--0
4--7
0--2
7--0
6--7
表5各队每两场比赛中间隔分布2
2,2,2,2,2
3,3,5,1,1
3,2,2,1,1
2,4,1,3,3
1,2,1,3,6
4,3,3,2,2
2,3,3,5,1
方法同n为偶数时基本相同，从表4中可以看出，n为奇数时要考虑到每轮有一对轮空的情况，通过分析得出：
③当
综合上述两种情况，我们得出关于问题二的结论如下：
④当n支球队比赛时,各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限是
4.3问题三
结合问题二中的排列方法和结论，给出n=8,n=9的赛程如下表所示：
表6n=8,n=9时单循环赛赛程安排
第八轮
第九轮
1--8
8--6
3--8
8--4
5--8
8--2
7--8
19
18
17
16
15
14
13
12
29
08
97
86
75
64
53
42
30
38
27
06
95
84
73
62
50
49
47
36
25
04
93
82
70
69
58
56
45
34
23
02
90
89
78
67
表7各队每两场比赛中间隔分布3
队数
n
n=8
n=9
3,3,3,3,3,3
3,3,3,3,3,3,3
4,4,3,2,2,2
4,4,4,7,2,2,2
43,2,2,2,4
4,4,3,3,3,2,5
3,2,2,2,4,4
4,3,6,2,2,4,3
2,2,2,4,4,4
3,2,3,2,2,4,7
2,2,4,4,4,3
3,6,2,4,4,3,4
2,4,4,4,3,2
2,3,2,4,4,8,3
4,4,4,3,2,2
6,4,4,4,3,3,2
3,4,4,4,7,2,2
通过对表6、表7中数据的分析，证实了问题二中所得出的结论是相对合理的。
4.4问题四
就问题二中所选择的方案排法，经分析后发现有局部的不公平现象出现，且换种方式来说，假设参赛队有强到弱按序号一次往后排，如若1号队和2号队过早地相遇，那就对1号队和2号队明显不公平，用1号位固定逆时针论转法可得到解决，但如果是奇数队，就会使某队连续多轮总遇到上轮轮空的队，如表6中8号球队。
循环赛的赛程安排存在多种编排方法。
总的可归结为两类方法：
一类是每轮转一个位置的方法，能够满足合理赛程的需求；
另一种是每次轮转多个位置（n/2）-1的方法，能够满足“先后交替的需求”。
问题三得到的结果符合第二种排法。
五.模型评价
5.1模型优点
5.1.1赛程的编制能够推广到任意数n的情况。
5.1.2合理恰当的使用了表格，使数据的体现和意思表达的更加清晰。
5.1.3逆时针轮转法使各轮比赛搭配适合，每轮比赛都有势均力敌的比赛，使各轮比赛都保持紧张氛围。
5.1.4逆时针轮转法使参赛各队比赛进度一致,编排方法简单,易操作、检查。
5.2模型缺点
5.2.1但当单数队在5个队以上时,抽签为倒数的第二数字队则在第四轮开始每轮均同上轮轮空队进行比赛,由此产生了球类比赛中的不公平竞争现象。
为此我们采用了“贝格”“编排法予以解决。
5.2.2由于是单循环赛，所以在安排时不必考虑真实实力的差异，但在实际中往往不是单循环赛，这还有待进一步改进。
六.模型推广
在我们生活中经常会遇到赛程安排的问题，而且比赛赛程安排是否公平在一定程度上决定了双方两队的胜负。
为了解决此问题，我们采用了归纳法、1号位固定逆时针轮转法、“贝格”编排法，采用逆时针轮转法编排的优点,是参赛各队比赛进度一致,编排方法简单,易操作、检查。
逆时针轮转法编排最精彩的、对决定竞赛最重要的一场比赛被安排在比赛秩序的最后一轮，而且各轮比赛搭配适合，每轮比赛都有势均力敌的比赛，使各轮比赛都有看点。
这种方法在体育界得到了广泛的应用，适用于篮球比赛、单循环的乒乓球比赛、羽毛球比赛等。
七.参考文献
【1】姜启源，数学模型，高等教育出版社，2000.9
【2】斯力格，足球竞赛裁判手册，人民体育出版社，2002.6
【3】《运动竞赛方法研究》王蒲等主编人民体育出版社
【4】《大学数学数学实验》萧叔铁、姜启源等主编高等教育出版社
【5】李火林等数学模型及方法南昌江西高校出版社1997
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