大学物理学电磁感应教案.docx
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大学物理学电磁感应教案
授课章节
第11章变化的电磁场
掌握法拉第电磁感应立律和楞次定律，并能熟练地运用分析电磁感应问题.理解涡旋电场的概念，掌握动生电动势和感生电动势的汁算方法.
教学目的
了解自感和互感现象及其规律，了解自感系数和互感系数的计算方法.理解磁场具有能量，并能计算典型磁场的磁能.
理解位移电流的物理意义，并能汁算简单情况下的位移电流.
理解麦克斯韦方程组积分形式中各方程的物理意义.了解电磁场的能量及计算.
教学重点、难点
电磁感应左律及楞次立律；动生电动势和感生电动势的汁算；位移电流；麦克斯韦方程组的积分形式。
备注
教学内容
一、电磁感应现象
在导体回路中由于磁通量变化而产生电流的现象。
可分为两种情况：
一是回路某一部分相对磁场运动或回路发生形变使回路中磁通量变化而产生电流，另一种情况是回路静止而磁场变化使回路中磁通量变化而产生电流。
二、楞次定律
闭合回路中感应电流的方向，总是使感应电流的磁场通过闭合回路的磁通量去补偿或反抗引起感应电流的磁通量的变化。
注意：
“补偿或反抗”的是磁通量的变化，而不是磁通量。
楞次立律还可以表述为：
电磁感应的“效果”总是抵消引起电磁感应的''原因”O例如：
当ab向右运动时、Cd也向右运动。
X
××>
×××X
B
►υ
A
××>
XXXX
3.电动势
要在导体中维持稳恒电流，必须在其两端维持恒左不变的电势差・
1.非静电力与电源
能把正电荷从电势较低的点（如电源负极板）送到电势较髙的点（如电源正极板）的作用力称为非静电力，记作Fk
提供非静电力的装置叫做电源.
2.电动势
非静电场作用在单位正电荷上的非静电力，记作E“所以
Ek=7°
电动势个电源的电动势0,泄义为把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，电源中的非静电力所作的功，即
电动势与电势一样，也是标量。
规立自负极经电源内部到正极的方向为电动势的正方向。
由于电源外部E（为零，所以电源电动势又可左义为把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力作的功。
即
ε=^Ek'dlo
L
此泄义对非静电力作用在整个回路上的情况（如电磁感应）也适用。
这时电动势ε的方向与回路中电流的方向一致。
4.法拉第电磁感应定律
不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比・即
k,dΦ
ε=-K——
dt
式中负号表明电动势的方向，K为比例系数.在（SD制中£以伏特计，◎以韦伯
计，t以秒计，则K二1,所以
Ch
若线圈密绕N匝.则
dtdt
其中Ψ=yVΦ叫磁通链
磁通计原理设回路为纯电阻R的电路，则电流I与电动势同位相
r1d①
在从f=O到t时间内，通过电路的电量
Rdt
fTJr1dΦI%17,1,,
q=\I∙dt=\∙dt=—・〃①=—（φ-φ）
i乂R山LRR
可见，q与（Φ-Φo）成正比，而与磁通量改变快慢无关。
设/=0时Φπ=0,只要测岀R和§、即可得到①：
如果已知回路而枳、就可以算出磁感应强度乩这就是磁通讣原理。
§11.2动生电动势与感生电动势一、动生电动势
1.在磁场中运动的导线内的感应电动势
电动势的立义：
电源的电动势左义为单位正电荷绕闭合回路运动一周时、电源中非静电力作的功。
即
s=∖Elc∙dl
Ek为单位正电荷受的非静电力。
如果导线不闭合、则单位正电荷从导线一端a运动到另一端b时，非静电力
EJt作的功就是导线a、b两端的电动势。
即
b
εab=∖Ek∙dl
^XXXXXXXU×X
2、动生电动势：
当导线ab在磁场B中以速度y运动时，导线ab中的电子也以速度V运动,磁场B作用在上的电子洛伦兹力
f=-ev×B
而单位正电荷受的洛伦兹力E女=—=υ×B就是动生电动势中的非静
—e
电力。
所以，动生电动势
b
ε^=∖<υ×B）∙di。
当导线回路闭合时、回路中的动生电动势
ε=^（υ×B）∙Ciio
这是动生电动势的一般表示式。
对此式要注意两个角度的关系:
（1）u⅛B的夹角0；
（2）（υ×B）与的夹角
如&二O（或兀）,或O1=-.都会使得ε=0Q
例11・1在长直导线电流I的附近有一长度为厶的共而导线"与长直导线
垂直，"端距长直导线为〃、Ub以平行于长直导线的速度V向上运动。
求：
"b上的感应电动势。
解：
在”上取〃/、与长直导线的距离为儿该点的磁场
所以d/上的感应电动势
务5=船〃.
“上的感应电动势
感应电动势£血为负值表示其方向从〃到“,即"点电势髙。
例11.2在匀强磁场B中，导线M绕与B平行的轴oo'以3旋转。
OA=1,04与轴的夹角为8。
求：
OA上的感应电动势。
解：
取OA上一段〃、距。
点为r,则其速度υ=ωrsinθ,V的方向垂直纸而向内。
TUXB与B垂直又与U垂直
UXB在纸而内且与也・的夹角φ=--02
II
£I=J（UBSin=）drcQsφ=∫6υrsin^Bdr-sinθo'O
=ωBsin2θrdr=gcoB卩Sife
∙∙∙εoA>0,：
.A点电势髙。
本题也可以用法拉第电磁感雌律罟求。
£的方向由（y×Bydl决定.得£从。
到Ao
例11.3在匀强磁场中以匀角速度血旋转的线圈中的交变电动势和交变电流。
解:
设B与轴。
。
'垂直、时刻/线圈法线方向“与B夹角为0,θ=θ.+ωt
则通过线圈的磁通量
Φ=3S∙cosG
5=-N瞠一NBSMeoSe）
1dt（It
=-NBS∙（^Sinθ）-=NBSωshy（ωt+ΘJdt
取20时仇=0、令ε0=NBSω为电动势的峰值，则
εl=ε0Sinωt为交变电动势、周期T=——。
ω
一般线圈并非纯电阻，所以电流与电动势有一位相差°；
即I=IQSin（ωt+φ）,为交变电流。
dφ
~dt
ilβ'ds
例H.4均匀磁场B充满半径为R的圆柱形体积内以普的变化率变化:
长厶的金属棒放在磁场中且与圆柱形轴线垂直，如图。
求：
勺〃。
正向为逆时针方向）由E涡的对称性有:
rCOSθ=U=QF-（彳）‘
WAB>O时电动势方向从A到B；反之,从B到A・。
本题也可以用法拉第电磁感应左律求解。
^OA=OB>R.仍可取一同心圆I?
为积分路径。
在1/上各点B=O,但不能因此认为E涡=OO因为L'所包帀的而积内是有磁通量变化的。
此时有：
2加Er=-λR2-
血dt
WAB要分圆柱内、外两段的E涡积分计算。
§11.3自感应与互感应一、自感应与自感系数
1、自感应现象：
回路中变化电流产生的变化磁通量在回路自身激起感应电动势的现象。
（a）电流増人时的自感现彖（b）电流减小时的自感现彖
2.自感系数：
从毕-萨泄律知，在回路形状、大小和磁介质（非铁磁质）一立的条件下
BSI、ΦQCZ
可以令O=LI、比例系数厶称为回路的自感系数。
即
L=-,单位：
亨利（H）。
自感系数是回路“电磁惯性”的量度。
3.自感电动势
d①
•：
ε=-——Φ=LI
dt
CKLl）I…
•••£=一—、当厶为常数时dt
rdi
ε=-L-
dt
N①XVdi
当线圈有”匝时，泄义L—一,仍有W--L.
IIdt
例11.5计算长直螺线管（长/、截而半径斤.单位长度匝数”.充满磁
导率“的磁介质）的自感系数。
N解：
二B=Pnl=JL/—I
・••VP=N①=NSB=NS•冲/
ψN?
C“I
L--“S-IJn-IS-Pn’V。
二、互感应与互感系数
1・互感应现象：
两邻近线圈的电流分别是I,和L,一个回路的电流变化在
另一个回路中引起电磁感应的现象叫互感应。
2.互感系数：
在两回路形状、相对位置及磁介质（非铁磁质）固定的条件下，
（1）
（2）
BlOC∕1Φ2l=B1S28∕1
同理乌2*厶
φφ
可以定义:
∕lI2
对多匝线圈可上义:
/VφψNQ）VP
MH=竺匕L=邑L,m∣2=41=H
并可证明MlX=Mn=M叫两线圈的互感系数。
单位：
亨利。
3.互感电动势:
dt
同理»=_M归dt
例11・6无磁漏、完全耦合的两线圈的互感系数（如上图）O
解：
设线圈1总匝数为N,,长度为1,、单位长度匝数为m,截面积S,电流
I：
;线圈2总匝数为血长度为1：
、单位长度匝数为n：
截而积S,电^l=O磁介质的磁导率均为μ°
Ch
电流I,在线圈2中产生的互感磁链‰=N2B1S=N2μnJlS.所以
同理
M12=Niμn2S°
因为无磁漏、两线圈完全耦合.N2=I2H2TV1=∕1n1:
有
M2↑=N1μnxS=I2n2^ιniS=μnAn2l2S=μ∏1∏2½‘
M12=Nxμn1S=Ilnλμn1S=μnAnJXS=μnin2yx。
M21=M12=Mo又因为,LX=μnfVl,L2=μn^V2
所以M=λ∕χ∕π1∕ι2V1^nin2V2=SfVl・μn]V2=J厶L2。
例11・7—矩形线圈长为心宽为4由100匝表而绝缘的导线组成，放在一根很长的导线旁边并与之共面。
求图中（a）、
线之间的互感。
（b）两种情况下线圈与长直导
（b）
解：
如（a）图已知长导线在矩形线圈X处磁感应强度为
B=出
2；EV
通过线圈的磁通链数为
ψ=⅛adx=⅛ln^
*2;ZX2龙b
所以，线圈与长导线的互感为
M=Ψ=NΛialn2
I2π
图（b）中，M=O,消除互感方法之一。
一、自感磁能
t=0时接通开关κ,有
ε-L-=IR
dt
两边乘Z必从/二0到/积分
IεdtUdII1Rdt
可见，电源作功［jεdt等于电阻上消耗能⅛∫∕2/?
Jr与线圈中磁场能量
「Lldl=-LII之和。
JU2
以长直螺线管为例，因为L=μn2VyB=μnI
所以
IlzIFJ17ιzB2B2IZ
VV=-LJ-=—μnV・一；―-=—V
22∕rw22“
W-
引入iv=_代表磁场能量密度，贝Ir
W^=£=1
V2//22
这虽然是以长直螺线管为例导岀的，但对非均匀磁场也成立。
非均匀磁场的
总磁能
W=fwdV=f^-dV,I12“
U是磁场不为零区域的体积。
§11.5位移电流麦克斯韦方程组
一、电场和磁场基本规律
1・静电场和稳恒电流磁场基本规律：
jb∙dS=∑q0（静电场的高斯定理）
S
∫E∙J∕=O（静电场的环流建理）
/
∫B∙J5=0（磁场的“高斯建理"）
∫∕7∙J∕=∑∕0（安培环路宦理）
/
I
2.涡旋电场和变化磁场的关系：
r——r6B—
∖E∙dl=-—∙dS（法拉第电磁感应泄律）
IISS&
其中E包括静电场和非稳恒电场的总和。
二、传导电流和位移电流
1•传导电流
通过封闭曲而S的电流
心打。
•亦。
5
根据电荷守恒泄律，通过封闭面流出的电量应等于封闭面内电荷q的减少
率，即
仃0価=一冬
V力
此关系式称为电流的连续性方程.
稳恒电流,导体内各处的电流密度都不随时间变化.则
∫7o∙^=θo
C
在稳恒电流情况下，导体内电荷的分布不随时间改变.不随时间改变的电荷
分布产生不随时间改变的电场，这种电场称为稳恒电场。
若以E表示稳恒电场的电场强度，则也应有：
∫E∙J∕=O/
2.位移电流
稳恒磁场中的安培环路泄理∫H∙√∕=∑Z0=∫J0∙√5
/S
（I）在非稳恒条件下、安培环路定理不成立
电容器充电时电流非稳恒，对如图所取的以厶为边界的面积Sl和S?
安培
环路泄理的结果不一样。
∫H∙√7=/（对SJ
jH∙dl=0（对S?
）
这是因为在导线中有电流I，而在电容器的两极板间无电流。
（2）位移电流概念
WXWeIl假设静电场的髙斯定理对非稳恒条件仍成立、则有
jbdS=q0
C-∂D-卩+石）.心
或∫（7o+^）∙^=∫（7o÷^）
SlS2
在非稳恒条件下•尽管传导电流密度J0不一左连续,但Z）+匕一这个量是连续的。
Ct
Φd=DS=bS=q
d%_dqdt一dt
所以
dD_dσ
dtdt
充电时、
92与D同方向，也与充电电流I同方向：
放电时.学与D反方
dtdt
大学物理学
向，也与放电电流I同方向，辺具有电流密度的性质，麦克斯韦把它称做位∂t
移电流密度L,即
Hdb
^dt
因此，“①。
称为位移电流/°。
dtD
在电介质中
∂b∂E∂P
DfE+P,JrfS爲；
其中第二项为交变电路中电介质的反复极化。
若在真空中，这一项等于零，则位移电流密度为
=∂E
它是位移电流的基本组成部分，说明真空中的位移电流或曰''纯粹〃的位移电流本质上是变化着的电场而与电荷的定向运动无关.
三、全电流定律
位移电流也产生磁场：
与安培环路泄理相似，缶表示由位移电流Id产生的磁场。
所以，在非稳恒条件下、总磁场H的环流等于穿过/的传导电流和位移电流之总和，即等于全电流的代数和：
Wd=UHI+HJd=Doi=Do+学=D广密p∙dS
即LHd=DE0〃S
这就是全电流定律。
S是/围出的而积。
四、麦克斯韦电磁场方程组：
考虑总电场E=E1+E2D=D1+D2t
总磁场B=B1+B2fH=H1+H2i
下标1表示静止的场、下标2表示变化的场。
则有
（电场的髙斯泄理）；
（法拉第电磁感应左律）：
（磁场的''高斯定理〃）：
（全电流定律）O
在有介质存在时，E和鸟都与介质的特性有关，因此上述麦克斯韦方程组是不完备的，还需要再补充描述介质性质的下述方程
b=ε^εrE二WE
B≡μ0μrH≡μH
j-σE
式中的£,μ,Q分别是介质的介电常数、磁导率和电导率。
相应的微分方程组为：
▽0二PU
VB=O
-∂b
Vx∕7=jo+-
Ct
例12.1半径为R=OAOm的两块圆板,构成平行板电容器,放在真空中.今对
（IP
电容器匀速充电,使两极板间电场的变化率为——=LO×1O,3V∙∕√・"・求两板dt
间的位移电流，并计算电容器内离两板中心连线r（r
^D=φ0E∙S）sdE2dE
"Chdt°dt°dt
代入数值Id=8.85X10-12×Λ∙XO」02×1.0x1013=2.8（A）O以两板中心线为圆
心、取l=2∕rr,贝U
r„」］dΦD7dE
IHr∙dl=——=——{dt0dt
即
ME
2∕τr∙Hr=W（）∙kl—
所以
H=dE、B=WCiE
r2dtr2dt
同理
UWURdEDMQoRdE
X2dtR2Cit
代入数值
BR=5.6x10~6（T）O
复习与思考
1•举例子说明楞次定律是能量守恒的必然结果.
2.电动势与电势差有什么区别？
3.变压器的铁心为什么要做成片状，并涂上绝缘漆相互隔开？
4.当扳断电路时，开关的两触头之间常有火花发生，为什么会这样？
5•通电螺线管内，磁场能量为W=Ilz2.这能量是什么能量转化来的？
怎2
样才能使它以热的形式释放出来。
6.麦克斯韦方程组积分形式中各方程的意义？
7.位移电流的热效应服从焦耳一楞次定律吗？
为什么？
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