电路基础2分解.docx

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电路基础2分解

一：

电路的物理量和参考方向

i=dQ/dt

Q为电荷量。

I=Q/T

u=dW/dQ

W电场力，

U=W/Q

E为电动势，

E=W/Q

dW=uidt

dW=udQ

dW单位为焦耳J

能量相对时间的变化率为电功率，

P=dW/dt=ui

线性电阻以及欧姆定律

R=pl/s

p为电阻率，

l为长度，

s为横截面积。

u=Ri

有时候也用电导表示一个电阻元件的性质，

电导定义为电阻的倒数，

G=1/R

基尔霍夫定律

电阻：

u=iR

电感：

u=Ldi/dt

电容：

i=Cdu/dt

基尔霍夫电流定律KCL

E出=E入

基尔霍夫电压定律KVL

EU升=EU降

二：

电路的等效变换和一般分析方法

电路Y型和A型电路的等效变换

1：

将Y转换为A型连接时候

R12=（R1R2+R1R3+R2R3）/R3

R13=（R1R2+R1R3+R2R3）/R2

R23=（R1R2+R1R3+R2R3）/R1

当R1=R2=R3时，

RA=3RY

2：

将A型转换为Y型连接时

R1=R12R13/（R12+R13+R23）

R2=R12R23/（R12+R13+R23）

R3=R32R13/（R12+R13+R23）

当R12=R13=R23时

RY=RA1/3

单节点偶电路

弥尔曼定理，

在多个电流源和多个电阻组成的单节点偶电路中，两节点之间的电压等于流入高电位节点

的电流源之代数和除以所有电阻倒数之和。

叠加原理

在含有多个电源的电路中，各支路的电流以及元件两端的电压是多个电源共同作用的结果。

对于线性电路，任何一条支路的电流或任何一个元件两端的电压，都可以看成是由电路中各个电源分别单独作用时，在此支路中所产生的电流或在此元件两端所产生的电压代数和。

电压源=短路

电流源=开路

戴维南定理

任何一个线性有源二端网络都可以用一个恒定电压Us和内阻Rs串联的电压源来等效代替，等效电源的电压Us就是有源二端网络的开路电压，等效电压源的内阻Rs就是有源二端网络中所有电源为零后所得到的无源二端网络的等效电阻。

电压源=短路

电流源=开路

最大功率传输定理

PL=I^2RL=（Us/（Rs+RL））^2RL

数学分析，要使PL最大，应使dPL/dRL=0

负载获得最大输出的条件是RL=Rs

RL=Rs时，称为功率匹配，此时负载获得的功率是

PLmax=Us^2/4Rs

三：

正弦稳态电路

αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω

i=Imsin（ωt+φ）

f=1/T

ω=2π/T=2πf

幅值和有效值

Q=∫i^2Rdt（0~T）

Q’=I^2RT

由上式可得出周期电流的有效值

I=√1/T（）∫i^2Rdt

i=Imsinωt

I=Im/√2

同理

U=Um/√2

E=Em/√2

相位和相位差

ωt+φ称为正弦量的相位或相位角

u=Umsin（ωt+φ）

i=Imsin（ωt+φ）

正弦量的表示方法

复数

A=a+jb

a，b分别为复数A的实部和虚部，j=√-1为虚数单位。

复数A可以用实轴与虚轴组成的复平面上的有向线段OA向量来表示

r=√a^2+b^2

r是复数的大小，称为复数的模，

φ=arctanb/a

φ是复数与实轴正方向间的夹角，称为复数的辐角

a=rcosφb=rsinφ

复数的三角函数形式为

A=r（cosφ+jsinφ）

将欧拉公式ejφ=cosφ+jsinφ

A=rejφ

实用上，常把指数形式写成极坐标形式

A=r∠φ

复数的4种表示形式可互相转换，

加减运算

A1+A2=（a1+a2）+j（b1+b2）

乘除运算

A1A2=r1∠φ1*r2∠φ2=r1r2∠（φ1+φ2）

A1/A2=r1∠φ1/r2∠φ2=r1/r2∠（φ1-φ2）

作为两复数相乘的特例，是一复数乘以+j或-j

cos90+jsin90=0+j=j

j是模为1，辐角为90的复数。

只有正弦量才能用相量来表示，相量不能表示非正弦周期量。

单一元件的正弦电路

u=Ri=√2Risin（ωt+φ）=√2Usin（ωt+φ）

功率

P=ui=UmsinωtImsinωt=√2U√Isin^2ωt=UI（1-cos2ωt）

通常说的功率是指在一个周期内电路所消耗功率的平均值，称为平均功率又称为有用功率

P=1/T∫Pdt=1/T∫UI（1-cosωt）dt=UI=I^2R=U^2/R

纯电容电路

i=dQ/dt=Cdu/dt

u=Umsinωt

i=Cdu/dt=ωCUmcosωt=ωCUmsin（ωt+90）=Imsin（ωt+90）

I=ωCU

φ=+90

相量关系式

I=jωCU=U/（1/jωC）

U=1/（jωC）I=-j1/（ωC）*I

正弦电路中,电容上的电流相位超前电压相位90°

等效阻抗为1/ωC

容抗Xc

Xc=1/ωC=1/（2πfC）

功率

P=ui=Umsinωt*Isin（ωt+90°）=UIsin2ωt

电容元件电路中,平均功率

P=1/T∫Pdt=1/T∫UIsin2ωtdt=0

电容元件不消耗能量,能量交换的大小用Qc无功功率来衡量.

Qc=UI=I^2Xc=U^2/Xc

纯电感电路

u=Ldi/dt

i=Imsinωt

u=Ldi/dt=ImωLcosωt=ImωLsin（ωt+90°）=Umsin（ωt+90°）

U=ωLI

φ=90°

相量关系

U=jωLI

I=U/（jωL）

正弦电路中,电感上电压超前电流相位90°,

I=U/（ωL）

Xl=ωL=2πfL

功率

P=ui=Umsin（ωt+90°）Imsinωt=UIsin2ωt

平均功率

P=1/T∫Pdt=1/T∫UIsin2ωtdt=0

无功功率

Ql=UI=I^2Xl=U^2/Xl

RLC串联正弦电路

Z=U/I

Zr=R

Zl=jωL=jXl

Zc=1/（jωC）=-jXc

i=√2Isinωt

I=I∠0°

U=Ur+Ul+Uc=RI+IjXl–IjXc

=（R+j（Xl-Xc））I=（R+jX）I=ZI

X=Xl–Xc=ωL–1/（ωC）

RLC串联电路的阻抗为

Z=R+j（Xl-Xc）=R+jX

阻抗角和电路的性质

Z=R+jX=Z∠φ

复阻抗的模Z=√（R^2+X^2）=√（R^2+（Xl-Xc）^2）

φ=arctanX/R=arctan（Xl-Xc）/R

显然,Z,R,X的三者的关系,可用一直角三角形—阻抗三角形表示.

R=Zcosφ,X=Zsinφ

正弦电路的功率以及功率因素的提高

u=Umsin（ωt+φ）

i=Imsinωt

无源单口网络是瞬时功率为

P=ui=UmImsin（ωt+φ）sinωt

因为

sin（ωt+φ）sinωt=cosφ/2–cos（2ωt+φ）/2

UmIm/2=UI

所以P=UIconsφ-UIcos（2ωt+φ）

瞬时功率由两部分组成

一部分为UIcosφ,是与时间无关的恒量,

另一部分是幅值UI,按2ωt角频率变化的正弦量.

相应的平均功率为

P=1/T∫Pdt=1/T∫（UIcosφ-UIcos（2ωt+φ））dt=UIcosφ

由电压三角形可知

Ucosφ=Ur=IR

P=UIcosφ=UrI=I^2R

cosφ称为功率因素

无功功率

Q=Ql-Qc=UlI–UcI=UxI

Ux=Usinφ

Q=UxI=UIsinφ=I^2（Xl-Xc）

视在功率

用S表示

S=UI=I^2Z=U^2/Z

有功功率P,无功功率Q,视在功率S

S=√（P^2+Q^2）

cosφ=P/S=Ur/U=R/Z

P=∑Pk=∑Ik^2Rk

复功率

二端网络的P,Q,S之间的关系,可用一个复数来表示,这个复数称为复功率,为了和一般的复数和相量相区别,复功率用S_表示.

S_=P+jQ

P=UIcosφ,Q=UIsinφ

S_=UIcosφ+jUIsinφ=UI（cosφ+jsinφ）

=UI∠φ=UI∠（φu–φi）

=U∠φu*I∠-φi

=U_I_

正弦交流电路中的电压与电流的关系以及功率式子

电路相位关系大小关系复数式功率式

Rφ=0°I=U/RI=U/RP=I^2R

Lφ=90°I=U/XlI=U/jXlP=0,Ql=I^2Xl

Cφ=-90°I=U/XcI=U/（-jXc）P=0,Qc=-I^2Xc

RL串联φ>0°I=U/√（R^2+Xl^2）,I=U/（R+jXl）,P=UIcosφ=I^2R,Q=UIsinφ=I^2Xl

RC串联φ<0°I=U/√（R^2+Xc^2）,I=U/（R-jXc）,P=UIcosφ=I^2R,Q=UIsinφ=-I^2Xc

RLC串联I=U/√（R^2+（Xl-Xc）^2）,I=U/（R+j（Xl-Xc））,P=UIcosφ=I^2R,Q=UIsinφ=I^2（Xl-Xc）

功率因素的提高

I_=U/Z=U/（R+jXl）=U∠0°/Z∠φ=I∠-φ

cosφ=R/Z

Ic=-U/jXc=jU/Xc

基尔霍夫定律以及欧姆定律的相量形式

任意一节点∑i=0,

∑u=0

第四章:

谐振电路

RLC串联电路电抗的频率特性

在正弦电压us=Usmsinωt的作用下,

电阻的复阻抗为

Z=R+jωL+1/（jωC）=R+j（ωL-1/ωC）=R+j（Xl-Xc）=R+jX=Z∠φ

当X=Xl-Xc=ωL-1/ωC=0时,

Z=R,且φ=arctan（X/R）=0

电路呈纯阻性,RLC串联电路的这种工作状态称为串联谐振.

电路的谐振频率

ωoL-1/ωoC=0

ωo=1/√LC

fo=1/（2π√LC）

电路电抗的频率特性

Xc=Xl=ωoL=L/√LC=√L/C=ρ

ρ称为串联谐振电路的特性阻抗,单位为Ω,

ω>ωo时,Xl>Xc,电路程感性

ω<ωo时,Xl

谐振条件

当电路中L和C为固定值时,只要电源频率等于电路的固有频率,电路就发生谐振.

谐振电路的谐振条件是:

电源频率等于谐振频率,

Co=1/ω^2L

Lo=1/ω^2C

串联谐振的特点

串联谐振时,Z=R,电路程纯电阻性,阻抗值最小

串联谐振时,φ=0°,电流与电压同相位,电路中电流最大,

Xl=Xc,电感电压与电容电压等值反向,电源电压等于电阻上的电压.

若Xl=Xc=ρ>>R,则Ul=Uc>>Ur,电感或电容上的电压远大于电源电压,这是串联谐振特有的.

故串联谐振又称为电压谐振,

电阻为0时,

Z=jX=j（Xl-Xc）=j（ωL-1/ωC）

LC串联组合相当于短路.

串联谐振电路的谐振曲线和选择性

RLC串联电路中电流

I=U/√（R^2+（Xl-Xc）^2）

=U/√（R^2+（ωL-1/ωC）^2）

=Io/√（1+（ωL/R-1/ωCR）^2）

=Io/√（1+（ρ/R）^2*（ω/ωo-ωo/ω）^2）

当电流下降到0.707Io时对应的上限频率和下限频率之差称为通频带的带宽.

在实际LC谐振电路中,频带宽度是有具体要求的,

Q=ρ/R=ωoL/R=1/ωoCR

Q称为谐振回路的品质因素,它是一个无量纲的量.

RLC并联谐振电路

电路的导纳为,注意以导纳为计算!

!

Y=1/R+1/jωL+jωC

=1/R-j（1/ωL-ωC）

=G–j（BL-BC）

=G–jB

=Y∠φ

当BL=BC时,

Y=G,电路呈阻性,φ=-arctanB/G=0

电压与电流同相位,电路发生谐振.

电路的谐振频率

ωo=1/√LC

fo=1/（2π√LC）

并联谐振的特点

1:

并联谐振时,电路呈现阻性,Y=G即Z=R,复导纳最小,阻抗值最大

2:

φ=0,U=Uo=IR,电压值最大,

3:

并联谐振时,BL=BC,电感电容电流等值相反,电源电流Is全部流过R,

4:

并联谐振时,BL=BC>>G,电感支路和电容支路电流将远大于电源的电流,这是并联谐振特有的.

5:

并联谐振时,电路的总无功功率为0,

并联谐振的品质因数

Q=Ico/I=ILo/I=BL/G=R/ωoL=ωoCR

当ICo=ILo=IQ,当BL=BC>>G时,Q>>1

电容三点式LC振荡电路.

回路总电容

C=C1C2/（C1+C2）

U2/U1=C/C2

fo=1/（2π√LC1C2/（C1+C2））=1/（2π√LC）

串并联电路的谐振

复阻抗的频率特性

Z=1/（jωC1）+（jωL*1/jωC）/（jωL+1/jωC）

=（1-ω^2LC-ω^2LC1）/（jωC1（1-ω^2LC））

=（jω^2（LC+LC1）-1）/（ωC1（1-ω^2LC））

1:

当1-ω^2LC=0时,式中的分母为0,可得并联谐振频率ω1=1/√LC,

2:

当ω=0时分母也为0,也可看做是并联谐振频率,

3:

当式中分子为0时,即ω^2（LC+LC1）-1=0时,可得串联谐振频率ω2=1/√（LC+LC1）

此时电路中阻抗Z=0,相当与短路.

谐振频率的计算

1:

根据电路写出电路的复阻抗表达式

2:

令表达式中复阻抗的虚部为0,并计算出相应的频率.

3:

如果表达式中复阻抗的虚部为分数形式,则当分子为0时,计算出的频率为串联谐振频率,当分母为0时,计算出的频率是并联谐振频率.

谐振电路分析说明

1:

LC串联谐振相当于短路

2:

LC并联谐振相当于开路

3:

注意通频带宽和品质因素的关系,

通频带宽宽些,则品质因素下降,

第六章二端口网络

二端口网络按其内部是否含有电源,分为含源二端口网络和无源二端口网络

二端口网络按其内部电路是否含有非线性元件,分为非线性二端口网络和线性二端口网络.

二端口网络的Y参数方程和Z参数方程

U=I^2Z

线性二端口网络Y参数（导纳）

Y11输出端短路,输入端的入端导纳

Y21输出端短路,输出端对输入端的转移导纳

Y12输入端短路,输入端对输出端的转移导纳

Y22输入端短路,输出端的入端导纳

Y参数是在短路情况下确定的,又称为短路参数,Y参数的单位为S

对于线性无源二端口,可以证明

两个转移导纳相等Y12=Y21

意义是电源在输入端作用,在输出端产生的电流,等于电源在输出端作用,在输入端产生的电流.这种性质称为互易特性.对于线性无源二端口网络,只有三个独立参数Y11,Y12,Y21=Y12

二端口网络的Z参数方程

Y参数是用端口的电压U1,U2来表示端口电流I1,I2的一种参数.

如果已知端口的电流I1,I2,求端口电压U1,U2,要用Z参数方程.

U1=I1Y22/Y–I2Y12/Y

U2=I2Y11/Y–I1Y21/Y

Z11=Y22/Y,Z12=-Y12/Y

Z21=-Y21/Y,Z22=Y11/Y

U1=Z11I1+Z12I2

U2=Z21I1+Z22I2

线性无源二端口网络的复阻抗Z参数方程

Z参数方程是用开路法确定的

Z11=U1/I1

Z21=U2/I1

Z12=U1/I2

Z22=U2/I2

Z参数和Y参数都是UI的比例系数,是与网络内部结构,元件参数,信号源的频率有关的物理量,而与信号源的电压的幅值和负载无关.

Z11输出端开路,输入端的入端复阻抗,称为输入阻抗

Z21输出端开路,输出端对输入端的转移阻抗,称开路转移阻抗

Z12输入端开路,输入端对输出端的转移阻抗

Z22输入端开路,输出端的输入阻抗

二端口网络的A参数方程和H参数方程

U1=-U2Y22/Y21+I2/Y21

I1=（Y12-Y11Y22/Y21）U2+I2Y11/Y21

二端口网络的T形等效电路

U1=I1Z1+（I1+I2）Z3=I1（Z1+Z3）+I2Z3

二端口网络的π形等效电路

U2=0

I1=U1（1/Za+1/Zb）

Y11=I1/U1|U2=0=1/Za+1/Zb

I2=-U1/Zb

U1=0

I2=U2（1/Zb+1/Zc）

二端口网络的T形网络和π形网络互换.

第七章非正弦周期信号

产生非正弦周期信号的原因

f（t）=u=u1+u2=U1sinωt+U2sin3ωt

电路中存在非线性元件,

若电源电压为正弦波,但电路中存在非线性元件,电路中的电流将是非正弦的.

傅里叶级数

分析非正弦周期电路,需利用傅里叶级数将非正弦电压电流分解成一系列不同频率的正弦电压电流之和.分解后的各量称为谐波分量.然后分别计算各谐波分量单独作用于电路时产生正弦电压或电流,根据叠加原理将各正弦电压或电流进行叠加,得到最终结果.

这种分析方法称为谐波分析法

f（t）=a0+a1cosωt+…+b1sinωt+b2sinωt+…

=a0+∑（akcosωt+bksinωt）

a0为直流分量,

a1cosωt+b1sinωt称为基波或一次谐波.

a2cosωt+b2sinωt称为二次谐波

系数a0,ak,bk的计算式为

a0=1/T∫f（t）dt

ak=2/T∫f（t）coskωtdtk=1,2,3…

bk=2/T∫f（t）sinkωtdtk=1,2,3…

非正弦周期函数的另外一种傅里叶级数表示形式为

f（t）=A0+∑Akmsin（kωt+φk）

根据三角函数知识

Akm=√ak^2+bk^2

φk=arctanak/bk

a0=A0,ak=Akmsinφt,bk=Akmcosφt

波形对称性和傅里叶级数的关系

如果函数的波形具有某种对称性,则傅里叶级数中的某些项将为零,这样就大大方便了傅里叶级数的计算.

关于原点对称的奇函数

波形对称于原点,在数学上称为奇函数,则

f（t）=-f（-t）

因函数

f（t）=a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）

则函数

-f（-t）=-a0+∑（-akcoskωt+bksinkωt）

要两函数相等,必须是a0=0,ak=0

由此可知,原点对称的奇函数不含直流和其余弦分量,即

f（t）=∑bksinkωt

关于纵轴对称的偶函数

波形对称于纵轴,在数学上称为偶函数,则:

f（t）=f（-t）

因函数

f（t）=a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）

则函数

f（-t）=a0+∑（akcoskωt-bksinkωt）

要使两函数相等,必须是bk=0,

由此可知,纵轴对称的偶函数不含各正弦分量,即

f（t）=a0+∑akcoskωt

奇次谐波函数

当两个相差半个周期的函数值大小相等,符号相反,波形后半周对横坐标轴的镜像是前半周的重复,称为奇次谐波函数（奇函数）

f（t）=-f（t+T/2）

因f（t）=a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）

-f（t+T/2）=-a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）（k=1,3,5…）-∑（akcosωt+bksinkωt）（k=2,4,6…）

显然要满足奇次谐波函数条件,必须有a0,a2,b0,b2…为零

即

f（t）=∑（akcoskωt+bksinkωt）（k=1,3,5…）

式中只有奇次谐波项,故称为奇次谐波函数.

偶次函数

当一个非正弦周期函数的两个相差半个周期的函数值大小相等,符号相同,称为偶谐函数.

f（t）=f（t+T/2）

f（t）=a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）（k=1）

而

f（t+T/2）=a0-∑（akcoskωt+bksinkωt）（k=1,3,5…）+∑（akcosωt+bksinkωt）（k=2,4,6…）

显然要满足偶次谐波函数条件,必须有a1,a3,b1,b3为零

即

f（t）=a0+∑（akcoskωt+bksinkωt）（k=2,4,6…）

式中只有直流量和偶次谐波项,故称为偶次谐波函数.

几种常见的非正弦周期信号波形及傅里叶级数表达式

方波

f（t）=4Am/π*（sinωt+1/3（sin3ωt）+1/5（sin5ωt）…）

有效值Am,

平均值Am,

锯齿波

f（t）=Am（1/2-1/π（sinωt+1/2（sin2ωt）+1/3（sin3ωt）…））

有效值Am/√3

平均值Am/√2

三角波

f（t）=8Am/π^2（sinωt-1/9（sin3ωt）+1/25（sin5ωt）…）

有效值Am/√3

平均值Am/√2

梯形波

f（t）=4Am/（aπ）（sina.sinωt+1/9（sin^3a.sin3ωt）+1/25（sin^5a.sin5ωt）…）

有效值Am√（1-4a/3π）

平均值Am（1-a/π）

单相全波整流

f（t）=4Am/π（1/2-1/3cos2ωt-1/15cos4ωt-1/35cos6ωt…）

有效值,平均值和平均功率

有效值

非正弦周期函数的有效值与正弦函数的有效值其定义是一样的.

以正弦电流

i=Imsin（ωt+φ）

其有效值为

I=√（1/T∫i^2dt）

设有一非正弦周期电流,其傅里叶级数表达式为

I=Io+∑Ikmsin（kωt+φ）

非正弦周期电流的有效值为

I=√（1/T+∫（Io+∑Ikmsin（kωt+φ））^2dt）

=√（Io^2+∑Ik^2）=√（Io^2+I1^2+I3^2…）

同理,非正弦周期电压有效值为

U=√（Uo^2+∑Uk^2）=√（Uo^2+U1^2+U2^2…）

非正弦周期函数的有效值等于它的直流分量与各次谐波分量有效值平方和的平方根.

直流分量的有效值就是其本身,

各次谐波分量的有效值等于其最大值的1/√2

平均值

假设非正弦周期函数的平均值为Aav,有

Aav=1/T∫f（t）dt

即非正弦周期函数f（t）的平均值为f（t）的绝对值在