姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法文档格式.doc
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）
【证：
用数学归纳法。
当时，。
设时，
（*）
则当时，，
将上式的（*）式中的，则有
，
从而，得证。
】
上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，如下表。
的各阶导数
的各阶原函数
下面通过例子给予演示：
（1）“幂三”型
例1.1
解：
120x
120
所以原式=
（2）“幂指”型
例1.2
24
=
（3）“反幂”型（尤其是反三角函数次数高于1时）
例1.3
令，则，
2
从而原式=
（4）“对幂”型（尤其是对数函数次数高于1时）
例1.4
令，则，，
故原式=（这是幂指类型了，用表格法自己解解看吧！
=。
（5）“三指”型（此为循环模式，想想与前面的有何不同？
例1.5
所以有，
求解得。
二、求n阶常系数非齐次线性微分方程特解的微分算子法
n阶常系数非齐次线性微分方程为：
（**）
求解非齐次方程（**）的特解常有三种方法：
待定系数法、常数变易法和微分算子法。
常数变易法在教材中一阶非齐次线性微分方程中已有介绍，待定系数法在二阶非齐次微分方程中着重讲解，因此，在此，主要讲微分算子法。
首先引进记号：
于是，
（**）式变为。
记，
于是，从而得特解。
下面关键是要弄清楚这个算子是如何进行作用的呢？
通常为幂、三、指、幂三、幂指、三指和幂三指几种类型，下面分别讨论（主要采用书上的例子）。
（1）幂：
为多项式函数，采用多项式除法进行计算，什么是多项式除法呢？
例2.1
原方程的一个特解为。
（后面可以继续写下去，但是想想，函数，还有必要吗？
从而。
（2）指：
，当不是特征方程的根时，将直接代入分母的D；
当是特征方程的单根时，将分子乘以一个，分母对D求导数，然后将代入分母；
当是特征方程的二重根时，将分子乘以一个，分母对D求两阶导数，然后将代入分母。
例2.2.1
（因为不是特征方程的根。
例2.2.2
（因为是特征方程的单根。
例2.2.3
（因为是特征方程的二重根。
（3）三：
为正弦函数或余弦函数时，由于欧拉公式连接了正、余弦函数，所以正、余弦函数可以转化为指数函数来求解，一般采用定理3.5进行求解。
例2.3
（实部）
所以先求解方程，
此时，
故原方程的一个特解。
（4）幂三、幂指、三指或幂三指，基本原则：
三角函数看成复数域内指数函数的实部或虚部，从而转化成幂指类型，将指数函数提前，后面的算子中D换成。
例2.4.1（幂指）
（注：
表示两次不定积分）
由于取的是一个特解，所以可以随便取，不妨取为0吧，从而得一个特解
例2.4.2（三指）
所以先求解，
解得
所以原方程的一个特解为。
例2.4.3（幂三）
，所以先求解，
解得（这里用了多项式除法）
例2.4.4（幂三指）
表示求不定积分，且用到了多项式除法哦！
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