2012年春季五年制小学奥数四年级策略性问题.doc

2012年春季五年制小学奥数四年级策略性问题.doc

《2012年春季五年制小学奥数四年级策略性问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年春季五年制小学奥数四年级策略性问题.doc（6页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

策略性问题

两人的游戏过程中如何使自己取胜？

怎样找寻胜局和如何把握胜局就成了研究对策问题的关键。

概括起来，我们把用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题。

在解决策略性问题时，常常会结合对称性和数论中的知识，并采用逆推的思想和方法。

例1

桌上放着63根火柴，甲、乙两人轮流每次取走1根至3根。

⑴规定谁取走最后一根谁就获胜。

如果甲先取，是否有必胜的方法？

如有，请写出简要的方法；如没有，请说出理由。

⑵规定谁取走最后一根火柴谁就算输，还是甲先取，是否有必胜的方法？

如有，请写出简要的方法；如没有，请说明理由。

例2

一个圆周被任意地分成2009段，甲、乙二人轮流对它进行涂色，每人每次可以涂染一段或相连的两段，谁涂染完最后一段，谁就获胜。

如果甲先开始涂，那么两人中谁有获胜的策略？

说明理由。

例3

如图是一张3×3的方格纸，甲、乙两人轮流在方格中写下0、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中的一个，数字不3×3能重复。

最后，甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜。

如果甲先乙后，那么甲有没有必胜的策略？

例4

如图所示，在A点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走1步或2步（走2步时可以拐弯），最终将棋子走到B点者获胜。

甲有没有必胜的策略？

策略总结：

直线型——留1吃2，剩1号

吃1留2，剩最大的2n

圆圈型——留1吃2，若总数为2n，则剩1号。

若不是：

（总数－2n）×2＋1

吃1留2，若总数为2n，则剩最后一只;

若不是：

（总数－2n）×2

例5

在一个圆周上依次排着100只老鼠，一只猫按照这样的规律来吃这些老鼠；从第一只老鼠开始，吃掉第1只、留下第2只、吃掉第3只、留下第4只、吃掉第5只、留下第6只、……，依次吃一只留一只，则最后留下的老鼠是最初的第_____只。

例6

黑、白两个棋盒，黑盒中有36个黑子，白盒中有41个白子，甲、乙二人轮流在棋盒中取子，规则是：

⑴每次只能取一个或两个子；⑵一个人一次不能在两个棋盒中取子；⑶一旦在一个棋盒中取子，那接下来就要把它的子取完，才能在另一个棋盒中取。

取出最后一个棋子的人获胜。

如果甲第一个取，那么谁有获胜的策略？

为什么？

测试题

1．桌子上放着根火柴，甲、乙二人轮流每次取走根。

规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

2．今有个小球，其中红、蓝、白、黑。

两个学生轮流一次一个地把它们都分别粘到一个立方体的个顶点上。

如果有一条棱的两端点上的球有相同的颜色，则判第一个粘球的人获胜，否则第二个人获胜。

问：

谁一定能获胜？

并说明理由。

3．如图所示，在点有一枚棋子，甲先乙后轮流走这枚棋子，每次必须向上或向右走步或步（走步时可以拐弯），最终将棋子走到点者获胜。

甲有没有必胜的策略？

4．有个人站成一排，从左到右依次进行、报数，凡是报的人离开队伍，剩下的人继续从左到右进行、报数，最后留在队伍中的人获胜，如此下去，要想获胜，应站在队列中的第几个位置？

5．东东、平平两人轮流从两个箱子中取球，每人每次可以从任一个（也仅从一个）箱子中取出任意个球。

取出最后的球的人为胜者。

若一个箱子中有个球，另一个箱子中有个球。

如果甲先取，谁有必胜的策略？

请说明理由。

6．甲、乙两人轮流从这十个数字中选取个数字，依次填各自的万位、千位、百位、十位、个位（若万位为视为四位数），若这两个数相加的和不能被整除，则甲胜；否则乙胜。

谁有必胜策略？

请说明理由。

答案

1．答案：

解析：

本题可以用逆推分析法。

获胜方在最后一次取走最后根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方根，

此时无论对方取、或根，获胜方都可以取走最后一根；……；

由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是的倍数根，则必胜。

现在桌上有根火柴，甲先取，不可能留给乙的倍数根，而甲每次取完后，

乙再取都可以留给甲的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。

2．答案：

解析：

无论甲把哪个小球放在任何一个顶点上，

乙一定可以把另外一个同色的小球放在其体对角线的位置；

这样任何两个相同颜色的小球的不在同一条棱上，

即一条棱上的两端点上的球颜色不相同；

所以第二个粘球的人获胜。

3．答案：

解析：

因为每次走棋子必须向上或向右走，所以不管走什么路径，从到的步数是定的，都是步。

而每次必须走或步；所以甲第一次走无论多少步后，

乙都可保证每次与甲刚走的步数和为，如甲走步，乙就走步；甲走步，乙就走步。

所以乙一定能走到点获胜。

甲没有必胜的策略。

4．答案：

解析：

将这个人从左到右依次编号为、、、……、、、。

第一次报完后，剩下的是的倍数：

、、、……、、、；

第二次报完后，剩下的是的倍数：

、、、……、、、；

第三次报完后，剩下的是的倍数：

、、、……、、、；

第四次报完后，剩下的是的倍数：

、、、、、；

第五次报完后，剩下的是的倍数：

、、；

第六次报完后，还剩下是的倍数：

；

所以要想获胜，应站在队伍中的第个位置。

5．答案：

解析

东东第一次只要从装有个球的箱子的中取出个球后，

无论平平从箱子中取出多少个球，东东必能从另外一个箱子中取出相同个数的球；

所以东东能拿到最后一个球获胜。

6．答案：

因为；所以乙能使这两个数的和一定为；

因为；所以乙有必胜策略。

6