6C函数在某点取得极值的条件.docx
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6C函数在某点取得极值的条件
函数在某点取得极值的条件
1、
（2011•上城区）设y=f（x）在R上可导，则f′（x0）=0是y=f（x）在x=x0处取得极值的（ ）条件．
A、充分不必要
B、必要不充分
C、充要
D、既不充分也不必要
考点：
函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
常规题型．
分析：
根据充分条件和必要条件的定义进行求解，y=f（x）在R上可导，举例子f（x）=x3题设和条件能否互推．
解答：
解：
y=f（x）在R上可导，当f（x）=x3在x=0处的导数为0，
但不取得极值．
∴不充分，
∴f（x）在x0处的导数f′（x）=0是f（x）在x0处取得极值的必要不充分条件；
故选B．
点评：
此题主要考查函数在某点取得极值的条件即方程f′（x）=0的根，解题的关键是要学会举反例．
2、
（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A、2
B、3
C、6
D、9
考点：
函数在某点取得极值的条件；基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：
一正、二定、三相等．
解答：
解：
∵f′（x）=12x2-2ax-2b
又因为在x=1处有极值
∴a+b=6
∵a＞0，b＞0
∴ab≤（a+b2）2=9
当且仅当a=b=3时取等号
所以ab的最大值等于9
故选D
点评：
本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：
一正、二定、三相等．
3、
（2007•江西）设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（ ）
A、-15
B、0
C、15
D、5
考点：
函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质；三角函数的周期性及其求法．
分析：
偶函数的图象关于y轴对称，x=0为极值点，f（x）是R上以5为周期，x=5也是极值点，极值点处导数为零
解答：
解：
∵f（x）是R上可导偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在x=0处取得极值，即f′（0）=0，
又∵f（x）的周期为5，
∴f′（5）=0，即曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率0，
故选项为B
点评：
本题考查函数的周期性、奇偶性、导数的几何意义、极值点满足的条件
4、
若函数f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（ ）
A、α＞β
B、α＜β
C、α=β
D、α与β的大小不确定
考点：
函数在某点取得极值的条件．
分析：
利用积的导数法则求f′（x），g′（x）；据函数极值点处的导数为零，列出方程解得．
解答：
解：
∵f′（x）=2xlnx+x，g′（x）=lnx2+2
又f（x）=x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）=xlnx2（x＞0）的极值点为β，
∴2αlnα+α=0，lnβ2+2=0
∴α=e-12，β=e-1
∴α＞β
故选A．
点评：
本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零．
5、
已知关于x的三次函数f（x）=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值，则b-a的取值范围是（ ）
A、（-1，+∞）
B、（-2，+∞）
C、（-3，+∞）
D、（-4，+∞）
考点：
函数在某点取得极值的条件．
分析：
极大值是函数先增再减，相应导数是先增后负得不等式组再利用线性规划解
解答：
解：
f′（x）=ax2+bx+2
∵f（x）=13ax3+12bx2+2x+1在区间（1，2）上只有极大值
∴{f′
（1）＞0f′
（2）＜0即{a+b+2＞04a+2b+2＜0
∴-4＜b-a
故选项为D
点评：
函数在某点处取极值的条件，利用线性规划求范围
6、
函数f（x）=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ）
A、a＞-316
B、-65＜a＜-316
C、a＞-65
D、-65≤a≤-316
考点：
函数在某点取得极值的条件．
分析：
求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同
解答：
解：
f′（x）=ax2+ax-2a=a（x+2）（x-1）
令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反
∴f（-2）=-83a+2a+4a+2a+1=163a+1和为极值，f
（1）=13a+12a-2a+2a+1=56a+1
∵图象经过四个象限
∴f（-2）•f
（1）＜0即（163a+1）（56a+1）＜0
解得-65＜a＜-316
故答案为B
点评：
本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象
7、
已知函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，则实数m的取值范围是（ ）
A、（-2，-1）∪（13，23）
B、（-23，-13）
C、（l，2）
D、（-23，13）∪（l，2）
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
由函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，我们易得函数的导函数在在区间（1，2）内有零点，结合零点存在定理，我们易构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
解答：
解：
∵函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1
∴f'（x）=x2-2mx-3m2，
若函数f（x）=13x3-mx2-3m2x+1在区间（1，2）内有极值，
则f'（x）=x2-2mx-3m2在区间（1，2）内有零点
即f'
（1）•f'
（2）＜0
即（1-2m-3m2）•（4-4m-3m2）＜0
解得m∈（-2，-1）∪（13，23）
故选A
点评：
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法．
8、
已知函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（ ）
A、-13
B、-15
C、10
D、15
考点：
函数在某点取得极值的条件；函数的最值及其几何意义．
分析：
令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．
解答：
解：
∵f′（x）=-3x2+2ax
函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值
∴-12+4a=0
解得a=3
∴f′（x）=-3x2+6x
∴n∈[-1，1]时，f′（n）=-3n2+6n当n=-1时，f′（n）最小，最小为-9
当m∈[-1，1]时，f（m）=-m3+3m2-4
f′（m）=-3m2+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=0时，f（m）最小为-4
故f（m）+f′（n）的最小值为-9+（-4）=-13
故选A
点评：
函数在极值点处的值为0．；求高次函数的最值常用的方法是通过导数．
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
数形结合．
分析：
先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．
解答：
解：
∵函数f（x）=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴{f′（0）＞0f′
（2）＞0f′
（1）＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0
画出区域如图，
而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，
当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，
由图知b-2a-1∈（14，1）．
故选C．
点评：
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
数形结合．
分析：
先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．
解答：
解：
∵函数f（x）=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴{f′（0）＞0f′
（2）＞0f′
（1）＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0
画出区域如图，
而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，
当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，
由图知b-2a-1∈（14，1）．
故选C．
点评：
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．
9、
已知函数f（x）=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b-2a-1的取值范围是（ ）
A、（-1，-14）
B、（-∞，-14）∪（1，+∞）
C、（14，1）
D、（12，2）
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
数形结合．
分析：
先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．
解答：
解：
∵函数f（x）=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴{f′（0）＞0f′
（2）＞0f′
（1）＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0
画出区域如图，
而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，
当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，
由图知b-2a-1∈（14，1）．
故选C．
点评：
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．
10、
已知函数f（x）=13x3+12ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）2+b2的取值范围（ ）
A、（22，2）
B、（12，4）
C、（1，2）
D、（1，4）
考点：
函数在某点取得极值的条件．
分析：
据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
解答：
解：
∵f（x）=13x3+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值
∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根
f′（0）＞0，f′
（1）＜0，f′
（2）＞0
即{b＞0a+2b+1＜a+b+2＞00
（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，
由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离22，平方为12为最小值，
（-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值
故选项为B
点评：
本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值．
11、
已知函数f（x）=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1），f（x2），若x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b-2a-1的取值范围是（ ）
A、（-1，-14）
B、（-∞，-14）∪（1，+∞）
C、（14，1）
D、（12，2）
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
数形结合．
分析：
先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．
解答：
解：
∵函数f（x）=x33+12ax2+2bx+c
∴f′（x）=x2+ax+2b=0的两个根为x1，x2，
∵x1，x2分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴{f′（0）＞0f′
（2）＞0f′
（1）＜0⇒{b＞0a+b+2＞0a+2b+1＜0
画出区域如图，
而b-2a-1可看作点P（1，2）与阴影部分内一点（a，b）连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界，
M，N两个点为边界处的点，
当连线过M（-3，1）时，kPM=2-11+3=14，
当连线过N（-1，0）时，kPN=2-01+1=1，
由图知b-2a-1∈（14，1）．
故选C．
点评：
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．
12、
若函数f（x）=x3+3bx-3b在区间（0，1）内存在极小值，则实数b的取值范围为（ ）
A、-1＜b＜0
B、b＞-1
C、b＜0
D、b＞-12
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
求出函数的导数，然后令导数为零，求出函数的极值，最后确定b的范围．
解答：
解：
由题意得f′（x）=3x2-3b，
令f′（x）=0，则x=±b
又∵函数f（x）=x3-3bx+b在区间（0，1）内有极小值，
∴0＜b＜1，
∴b∈（0，1），
故选A．
点评：
熟练运用函数的导数求解函数的极值问题，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
常规题型．
分析：
求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．
解答：
解：
f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）
∵f（x）有极大值和极小值
∴△=16a2-36（a+2）＞0
解得a＞2或a＜-1
故选B
点评：
本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同．
13、
若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A、-a＜a＜2
B、a＞2或a＜-1
C、a≥2或a≤-1
D、a＞1或a＜-2
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
常规题型．
分析：
求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．
解答：
解：
f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）
∵f（x）有极大值和极小值
∴△=16a2-36（a+2）＞0
解得a＞2或a＜-1
故选B
点评：
本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同．
14、
若函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=1处有极值，则函数f（x）的图象x=-1处的切线的斜率为（ ）
A、1
B、-3
C、8
D、-12
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
对函数f（x）=（x-2）（x2+c）进行求导，根据函数在x=1处有极值，可得f′
（1）=0，求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解．
解答：
解：
∵函数f（x）=（x-2）（x2+c）在x=1处有极值，
∴f′（x）=（x2+c）+（x-2）×2x，
∵f′
（1）=0，∴（c+1）+（1-2）×2=0，
∴c=1，
∴f′（x）=（x2+1）+（x-2）×2x，
∴函数f（x）的图象x=-1处的切线的斜率为f′（-1）=（1+1）+（-1-2）×（-2）=2+6=8，
故选C．
点评：
本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及函数的导数的求法，属基础题．
15、
函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（ ）
A、a=-11，b=4
B、a=-4，b=11
C、a=11，b=-4
D、a=4，b=-11
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题；方程思想．
分析：
根据函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，可知f′
（1）=0和f
（1）=10，对函数f（x）求导，解方程组{f′
（1）=0f
（1）=10，注意验证，可求得答案．
解答：
解：
由f（x）=x3+ax2+bx+a2，
得f′（x）=3x2+2ax+b，
{f′
（1）=0f
（1）=10，即{2a+b+3=0a2+a+b+1=10，
解得{a=4b=-11或{a=-3b=3（经检验应舍去），
故选D．
点评：
考查利用导数研究函数的极值问题，注意f′（x0）=0是x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验，这是易错点，属基础题．
16、
若函数f（x）=x2+ax+1在x=1处取得极值，则a等于（ ）
A、-5
B、-2
C、1
D、3
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
由题意得：
f′（x）=x2+2x-a（x+1）2，由函数f（x）在x=1处取得极值，可得所以f′
（1）=0．进而可得a的值．
解答：
解：
由题意得：
f′（x）=x2+2x-a（x+1）2
因为函数f（x）=x2+ax+1在x=1处取得极值，
所以f′
（1）=0，即a=3．
故选D．
点评：
解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再利用函数的极值求出参数的值即可，通过极值求参数的数值是高考常考的知识点之一．
考点：
函数在某点取得极值的条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
常规题型．
分析：
分别举反例说明充分性和必要性都不成立：
函数y=|x|，在x=0处取极小值但f′（0）≠0，说明充分性不成立；函数f（x）=x3在x=0处，f′（x）=0，而f（0）并非函数的极值，必要性质不成立．由此可得正确答案．
解答：
解：
先说明充分性不成立，
例如函数y=|x|，在x=0处取得极小值f（0）=0，但f′（x）在x=0处无定义，
说明f′（0）=0不成立，因此充分性不成立；
再说明必要性不成立，设函数f（x）=x3，则f′（x）=3x2
在x=0处，f′（x）=0，但x=0不是函数f（x）的极值点，故必要性质不成立．
故选D
点评：
本题以必要条件、充分条件与充要条件的判断为载体，考查了函数在某点取得极值的条件，是一道概念题．
17、
若函数f（x）在x=x0处有定义，则“f（x）在x=x0处取得极值”是“f′（x0）=0”的（ ）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
函数在极值点处的导数值异号，故f（x）的导数f′（x）=x2-2x+a=0有两个实数根，△=4-4a＞0．
解答：
解：
∵函数f（x）=13x3-x2+ax-1有极值点，
∴f（x）的导数f′（x）=x2-2x+a=0有两个实数根，
∴△=4-4a＞0，∴a＜1，
故选C．
点评：
本题考查函数存在极值的条件，利用函数在极值点处的导数值异号．
18、
函数f（x）=13x3-x2+ax-1有极值点，则a的取值范围是（ ）
A、（-∞，0）
B、（-∞，0]
C、（-∞，1）
D、（-∞，1]
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．
解答：
解：
由题意可得：
y′=3x2-3，
令y′=3x2-3＞0，则x＞1或者x＜-1，
所以函数y=x3-3x在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
所以当x=-1时，函数有极大值m=2，当x=1，时，函数有极小值n=-2，
所以m+n=0．
故选A．
点评：
利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．
19、
函数y=x3-3x的极大值为m，极小值为n，则m+n为（ ）
A、0
B、1
C、2
D、4
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．
解答：
解：
由题意可得：
y′=3x2-3，
令y′=3x2-3＞0，则x＞1或者x＜-1，
所以函数y=x3-3x在（-∞，-1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
所以当x=-1时，函数有极大值m=2，当x=1，时，函数有极小值n=-2，
所以m+n=0．
故选A．
点评：
利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．
20、
已知函数f（x）=x（x-c）2在x=2处有极大值，则c的值为（ ）
A、3
B、6
C、3或6
D、2或6
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
对函数f（x）=x（x-c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出c的值．
解答：
解：
f′（x）=（x-c）2+2x（x-c），
f′
（2）=（2-c）2+2×2（2-c）=0，
解得c=6或2．
验证知当c=2时，函数在x=2处有极小值，舍去
故c=6
故选B．
点评：
本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，对函数求导，令导函数等于0即可解出c的值，由于本题明确指出在该点出取到极大值，故需对求出的c的值进行验证，如本题，c=2必需舍去，做题时要注意考虑周详．
21、
函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10，则a，b的值为（ ）
A、{a=3b=-3或{a=-4b=11
B、{a=-4b=1或{a=-4b=11
C、{a=-4b=11
D、以上皆错
考点：
函数在某点取得极值的条件．
专题：
计算题．
分析：
首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值
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