第四章第5节开普勒行星运动定律和万有引力定律.docx

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第四章第5节开普勒行星运动定律和万有引力定律

第5节　开普勒行星运动定律和万有引力定律

一、开普勒行星运动定律

1．第一定律：

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．第二定律：

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

[注1]

3．第三定律：

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

二、万有引力定律[注2]

1．内容：

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。

2．表达式：

F＝G，G为引力常量，其值为G＝6.67×10－11N·m2/kg2。

3．适用条件

（1）公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球球心间的距离。

三、经典时空观和相对论时空观

1．经典时空观[注3]

空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。

2．相对论时空观

物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。

[注解释疑]

[注1]面积定律是对同一个行星而言的，不同的行星相等时间内扫过的面积不等。

由面积定律可知，行星在近日点的速度比它在远日点的速度大。

[注2]万有引力定律的“三性”

（1）普遍性：

任何有质量的物体间都存在万有引力。

（2）相互性：

两物体间的万有引力是一对作用力与反作用力。

（3）宏观性：

只有质量巨大的天体间或天体与其附近物体间的万有引力才有实际的物理意义。

[注3]经典力学——牛顿运动定律的适用范畴。

[深化理解]

1．开普勒行星运动定律既适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动。

2．不考虑地球自转时，地球表面上的重力加速度g＝。

3．地球赤道上的物体随地球自转的向心力由万有引力与支持力的合力提供，而地球表面附近做匀速圆周运动的卫星由万有引力提供向心力。

4．在计算中心天体密度时，要注意区分中心天体的半径R和环绕天体的轨道半径r。

[基础自测]

一、判断题

（1）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。

（×）

（2）只有天体之间才存在万有引力。

（×）

（3）只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。

（×）

（4）地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。

（√）

（5）两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。

（×）

（6）牛顿总结了前人的科研成果，在此基础上，经过研究得出了万有引力定律。

（√）

（7）牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。

（×）

二、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．牛顿运动定律就是经典力学

B．经典力学的基础是牛顿运动定律

C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题

D．经典力学可以解决自然界中所有的问题

解析：

选B　经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中所有的问题。

因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围，才能正确解决此类问题。

2．[教科版必修2P44T2改编]火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（　　）

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析：

选C　太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得＝，故＝，C正确。

3．（2016·全国卷Ⅲ）关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（　　）

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

解析：

选B　开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。

高考对本节内容的考查，主要集中在开普勒三定律的内容及应用、万有引力定律及应用，考查的形式以选择题为主，难度一般。

考点一　开普勒行星运动定律[基础自修类]

[题点全练]

1．[对开普勒行星运动定律的理解]

对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是（　　）

A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律

B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置

C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小

D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比

解析：

选C　第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。

2．[对开普勒第二定律的理解及应用]

（多选）（2017·全国卷Ⅱ）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。

若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中（　　）

A．从P到M所用的时间等于

B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C．从P到Q阶段，速率逐渐变小

D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

解析：

选CD　在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。

3.[开普勒第三定律的应用]

（2018·全国卷Ⅲ）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。

P与Q的周期之比约为（　　）

A．2∶1　　　　　　　　　B．4∶1

C．8∶1D．16∶1

解析：

选C　根据开普勒第三定律＝k，得两卫星周期之比为＝＝＝8，故C正确。

[名师微点]

（1）行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

（2）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

（3）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。

考点二　天体质量和密度的计算[师生共研类]

1．“自力更生”法（g－R）

利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。

（1）由G＝mg得天体质量M＝。

（2）天体密度ρ＝＝＝。

（3）GM＝gR2称为黄金代换公式。

2．“借助外援”法（T－r）

测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。

（1）由G＝mr得天体的质量M＝。

（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。

（3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

[典例]　1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。

若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。

下列说法正确的是（　　）

A．地球的质量m地＝

B．太阳的质量m太＝

C．月球的质量m月＝

D．由题中数据可求月球的密度

[解析]　若不考虑地球自转，根据地球表面万有引力等于重力，有G＝mg，则m地＝，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有G＝m地L2，则m太＝，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D错误。

[答案]　B

[延伸思考]

（1）由题中数据可以求出地球的平均密度吗？

（2）由题中数据可以求出太阳的平均密度吗？

提示：

（1）由m地＝和ρ地＝，V地＝πR3，可求出地球的平均密度ρ地＝。

（2）因太阳的半径未知，故无法由ρ太＝计算出太阳的平均密度。

一题悟通

例题及相关延伸思考旨在让学生理解星体质量和密度的计算方法和所需条件。

易错提醒

（1）利用“自力更生”法和“借助外援”法估算天体的质量和密度时，都是针对中心天体，而不是环绕天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。

（2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。

[题点全练]

1．[对天体质量的计算方法的理解]

（2017·北京高考）利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（　　）

A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）

B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期

C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离

D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离

解析：

选D　由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有G＝m0g，故可得M＝，故A项不选；由万有引力提供人造卫星的向心力，有G＝m1，v＝，联立得M＝，故B项不选；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有G＝m22r，故可得M＝，故C项不选；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，故选D。

2．[天体密度的计算]

（2018·全国卷Ⅱ）2018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19ms。

假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2。

以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（　　）

A．5×109kg/m3　　　　　B．5×1012kg/m3

C．5×1015kg/m3D．5×1018kg/m3

解析：

选C　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝kg/m3≈5.2×1015kg/m3。

3．[“借助外援”法计算天体的质量]

（多选）2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。

天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度。

已知引力常量为G，则（　　）

A．高景一号卫星的质量为

B．高景一号卫星的角速度为

C．高景一号卫星的线速度大小为2π

D．地球的质量为

解析：

选BD　高景一号卫星的质量不可求，选项A错误；由题意知，卫星绕地球做匀速圆周运动的角速度ω＝，选项B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动线速度的大小v＝，选项C错误；由v＝ωr得r＝，该卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝mω2r，解得地球的质量M＝，选项D正确。

考点三　天体表面的重力加速度问题[多维探究类]

考法

（一）　求天体表面某高度处的重力加速度

[例1]　宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（　　）

A．0　　　　　　　　　　　　B．

C．D．

[解析]　飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确。

[答案]　B

考法

（二）　求天体表面某深度处的重力加速度

[例2]　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（　　）

A．1－　　　　　　　　　　B．1＋

C．2D．2

[解析]　

如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。

设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝G，又M＝ρV＝ρ·πR3，M′＝ρV′＝ρ·π（R－d）3，联立解得＝1－，A正确。

[答案]　A

考法（三）　天体表面重力加速度与抛体运动的综合

[例3]　据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星。

假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为（地球表面重力加速度g取10m/s2）（　　）

A．5∶2B．2∶5

C．1∶10D．10∶1

[解析]　根据h＝和g＝可得，M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5m。

据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。

[答案]　D

[共性归纳]

重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力等于万有引力，即mg＝G，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。

“融会贯通”归纳好——万有引力的三种计算思路

公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。

当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。

1．（多选）如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上。

设地球质量为M，半径为R。

下列说法正确的是（　　）

A．地球对一颗卫星的引力大小为

B．一颗卫星对地球的引力大小为

C．两颗卫星之间的引力大小为

D．三颗卫星对地球引力的合力大小为

解析：

选BC　由万有引力定律知A项错误，B项正确；因三颗卫星连线构成等边三角形，圆轨道半径为r，由数学知识易知任意两颗卫星间距d＝2rcos30°＝r，由万有引力定律知C项正确；因三颗卫星对地球的引力大小相等且互成120°，故三颗卫星对地球引力的合力为0，则D项错误。

推论Ⅰ：

在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。

推论Ⅱ：

如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对它的引力，即F＝G。

2．如图所示，有人设想要“打穿地球”，从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。

若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度（　　）

A．一直增大　　　　B．一直减小

C．先增大后减小D．先减小后增大

解析：

选D　设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·＝πGρmr，物体的加速度a＝＝πGρr，由题意可知r先减小后增大，物体的加速度先减小后增大，故选项D正确。

（三）填补法求解万有引力

运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。

3．如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。

从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（　　）

A．G　　　　　　　　　B．0

C．4GD．G

解析：

选D　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确。

（1）万有引力定律只适用于求质点间的万有引力。

（2）在质量分布均匀的实心球中挖去小球后其质量分布不再均匀，不可再随意视为质点处理。

（3）可以采用先填补后运算的方法计算万有引力大小。