鸡兔同笼的公式共24页.docx
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鸡兔同笼的公式共24页
鸡兔同笼的公式
鸡兔同笼的公式：
解法1：
（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数解法2：
（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数解法3：
总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数和差问题的公式（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数和倍问题的公式和÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或者和－小数＝大数）
差倍问题的公式差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数（或小数＋差＝大数）
植树问题的公式1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数＝段数＋1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数－1）
株距＝全长÷（株数－1）
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数＝段数－1＝全长÷株距－1全长＝株距×（株数＋1）
株距＝全长÷（株数＋1）
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间追及问题追及距离＝速度差×追及时间追及时间＝追及距离÷速度差速度差＝追及距离÷追及时间流水问题顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2浓度问题的公式溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量利润与折扣问题的公式利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）
利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
奥数公式（3~6年级）
五年级学生的心理特点及学习要领五年级是小学学习的最高、最后阶段。
随着对小学教育的不断适应，这一时期的学生无论是在生理，还是心理上都比初入学时的儿童稳定，并在此基础上不断发展。
这一阶段学生的心理年龄特征具体有以下几方面：
一、心理特点：
1、认知的发展。
在注意力方面，学生的有意注意逐步发展并占主导地位，注意的集中性、稳定性、注意的广度、注意的分配、转移等方面都较低年级学生有不同程度的发展。
在记忆方面，有意记忆逐步发展并占主导地位，抽象记忆有所发展，但具体形象记忆的作用仍非常明显。
在思维方面，学生逐步学会分出概念中本质与非本质，主要与次要的内容，学会掌握初步的科学定义，学会独立进行逻辑论证，但他们的思维活动仍然具有很大成分的具体形象色彩。
在想象方面，学生想象的有意性迅速增长并逐渐符合客观现实，同时创造性成分日益增多。
2、情意的发展。
小学高年级学生情感的内容进一步扩大、丰富，他们能逐渐意识到自己的情感表现及随之可能产生的后果，并且控制和调节自己情感的能力也逐步加强。
在道德情感方面，学生主要以具体的社会道德行为规范为依据，同时也开始出现内化的抽象道德观念作为依据的道德判断。
在意志方面，自觉性、果断性、自制性、坚持性有一定发展，但不显著。
他们的独立能力增强，放学以后几个同学会自发组织团体活动，并且具有明确的目的和行动方法，带有一些普通社会团体活动特点，而且这些小团伙还不会轻易解散。
3、个性的发展。
在自我意识方面，幼儿期儿童的心理活动和行为更多地受情境因素的支配，变化较大，因此，还不能形成真正稳定的个性。
进入小学后，特别是通过低年级阶段的学习适应性锻炼，他们逐步把握个人与他人的关系，形成集体意识，学生的自我意识、道德观念和道德行为在这过程中逐渐发展起来。
小学高年级学生的自我意识逐步深刻，渐渐摆脱对外部控制的依赖，逐渐形成了内化的行为准则作为监督、调节、控制自己的行为的依据，而且开始从对自己表面行为的认识、评价转向对自己内部品质的更深入的评价。
此外，这一时期的学生已经不轻信吹捧的话。
对于：
“你是一个好孩子，应该……”这样的话，他会马上反驳：
“我不是好孩子，所以……”，并且会马上避开。
所以，哄骗方法用在五年级学生身上已经无效了。
孩子对许多事情有自己的打算和想法，学会了自己安排时间和活动。
家长最好不要干涉孩子的正当活动。
这是家长和孩子在权利和义务方面互相尊重的体现。
二、学习要领：
1、学习的特点。
小学高年级学生已初步形成了一定的学习态度，并且随着主体意识的觉醒，自我意识、自我主张、自我控制能力进一步加强。
通过几年集体生活的训练，已经比较习惯于有组织的自觉性的班集体生活，能把自己看成是集体的一员，重视班集体的舆论和评价作用。
随着自主、自律能力的增强，对学习、对集体的责任感进一步提高，同时逐渐形成了对作业的自觉负责的态度，开始认识到学习是一种义务，出现了意识较强的学习动机，对他们学习的指导要有针对性和启发性。
（1）加强预习，学会总结。
在学校学习，低年级的学生压力并不大，没有必要进行预习。
三四年级的学生可以在父母的指导下进行预习。
五年级学生的学习能力已经加强，自己有能力独立进行课前预习和课后复习，这样可以很好地掌握所学习的知识。
只有在理解的基础上，知其然而知其所以然，所学的知识才能内化为本人的东西，学到的知识才能牢固。
有时老师把一些简单的内容省略不讲，或有重点地介绍一下难点部分，剩下的部分让学生自己理解，这就是对学生个人能力的考验。
要养成综合地考虑问题和融会贯通各科知识的习惯。
当今综合各科知识的题型的层出不穷，无疑为这一习惯的“培养必要”作了很好的注脚。
五年级学生需要从三四年级“听课+完成作业”的学习方法和习惯基础上进一步提高，总结知识点便成为一个“法宝”！
总结老师讲过的知识点，总结做过的题型，在总结的过程中找到知识点或题型之间的联系，并注意它们的区别（难度上的不同、做题思考的角度等）。
这样，面对考试难度的增加和知识点的综合，总结的越多，思考的越多，应对也一定会越自如。
另外，每次上课后，建议把老师讲过的例题再重新梳理一遍，当堂听懂了不等于会做了，避免出现题目稍稍变化就不会应付的情况。
重新梳理+整理一遍能够达到及时巩固的效果，并能做到举一反三。
另外，还要养成在生活中随时随地应用所学知识的习惯，因为学以致用是现代教育的一个关键任务。
（2）练习写书信五年级学生应该学会写书信。
这是一生中运用最频繁的一种书写文体。
（3）接触自然、了解社会学习中会遇到许多自然和社会观察问题，没有实践操作经验，很难准确理解其中的内涵，应利用可能的机会接触自然界的生物和社会中的人和事，增加实践感受。
接触社会的另一个好处是培养学习兴趣，保持主动学习的态度，有利于迎接更复杂的挑战。
2、竞争意识增强，敬佩优秀同学。
五年级学生无论在学习还是在生活中，都不甘落后。
如果说中低年级学生是为了应付老师家长而做作业，那么，五年级学生则是为了不负于同学而积极学习。
动力不一样，比照对象变成了成绩比自己好的同学，所以他们会非常关心学习成绩，对于学习优秀的同学开始产生敬佩的心理。
这个阶段的心理健康培养非常重要，让孩子正确对待成绩和缺点、先进与落后，避免把羡慕变成嫉妒，还要注意不能因为一时的落后就灰心丧气；也不能因为一时的优秀就骄傲自满。
三、应注意的问题：
1、完整做事。
五年级学生有能力完整地做一件事，家长要鼓励和支持孩子去做。
无论做什么，都应该先易后难，彻底完成。
如果不做有针对性的训练，孩子会出现类似虎头蛇尾的做事习惯。
要把将来成为什么人、应该怎么做、不准做什么这样的概念和想法隐含在行为中，让孩子在独立完成一件事的过程中去体会。
2、互开玩笑。
一年级学生不懂得开玩笑，遇到什么事都是一种很认真的模样。
二三年级学生可以听明白笑话和一般对话的区别，但是自己不会用，常常张冠李戴。
五年级学生嘲弄人的“本事”增长很快，不仅会开别人的玩笑，而且对事情喜欢用“不伦不类”的语气描绘一番，自己创作笑话。
有时一句俏皮话开头，后面就会层出不穷。
很平常的一件事，到了他们那里则能渲染得天花乱坠。
这是学会开玩笑以后形成的一种语言习惯，引导好了，会形成许多幽默体裁的“作品”。
不过，由玩笑引出对他人的嘲弄就不值得提倡。
要提醒孩子：
不能因为开玩笑而伤害他人的感情。
例如身体有缺陷，体胖或着装等。
由此可见，五年级学生的心理健康教育和学习目标归纳起来为：
增强学习技能训练，培养良好的智力品质；引导学生树立学习苦乐观，激发学习的兴趣、求知欲望和勤奋学习的精神；培养正确的竞争意识；鼓励参与社会实践活动，提高做事情的坚持性；建立进取的人生态度，促进自我意识发展。
小学奥数知识点回顾
1、和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①（和－差）÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②（和＋差）÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷（倍数-1）=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数
2、年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3、归一问题的基本特点：
问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：
根据题目中的条件确定并求出单一量；
4、植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系
5、鸡兔同笼问题基本概念：
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
6、盈亏问题基本概念：
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量、基本思路：
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量、基本题型：
①一次有余数，另一次不足；基本公式：
总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：
总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：
总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：
对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：
确定对象总量和总的组数。
7、牛吃草问题基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：
原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：
确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
8、周期循环与数表规律周期现象：
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。
周期：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题：
确定循环周期。
闰年：
一年有366天；①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平年：
一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9、平均数基本公式：
①平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数基本算法：
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算、②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。
10、抽屉原理抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
理解知识点：
[X]表示不超过X的最大整数。
例[
4、351]=4；[0、321]=0；[
2、9999]=2；关键问题：
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。
1
1、定义新运算基本概念：
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
1
2、数列求和等差数列：
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示、基本思路：
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1+（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1）
×公差；数列和公式：
sn,=（a1+an）×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：
n=（an+a1）÷d＋1；项数=（末项-首项）÷公差＋1；公差公式：
d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式；1
3、二进制及其应用十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100注意：
N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）二进制：
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意：
An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
1
4、加法乘法原理和几何计数加法原理：
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m
2、+mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的分类方法。
基本特征：
每一种方法都可完成任务。
乘法原理：
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
m1×m
2、×mn种不同的方法。
关键问题：
确定工作的完成步骤。
基本特征：
每一步只能完成任务的一部分。
直线：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：
没有端点，没有长度。
线段：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：
有两个端点，有长度。
射线：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：
总数＝1+2+3+…+（点数一1）；②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）；③数长方形规律：
个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数1
5、质数与合数质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N=，其中a
1、a
2、a3……an都是合数N的质因数，且a1求约数个数的公式：
P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×……×（rn+1）
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
1
6、约数与倍数约数和倍数：
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：
12的约数有
1、
2、
3、
4、
6、12；18的约数有：
1、
2、
3、
6、
9、18；那么12和18的公约数有：
1、
2、
3、6；那么12和18最大的公约数是：
6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：
先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：
1
2、2
4、3
6、48……；18的倍数有：
1
8、3
6、5
4、72……；那么12和18的公倍数有：
3
6、7
2、108……；那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；最小公倍数的性质：
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：
1、短除法求最小公倍数；
2、分解质因数的方法1
7、数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：
如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：
整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1、能被
2、5整除：
末位上的数字能被
2、5整除。
2、能被
4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被
4、25整除。
3、能被
8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被
8、125整除。
4、能被
3、9整除：
各个数位上数字的和能被
3、9整除。
5、能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6、能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7、能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
1、如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
2、如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3、如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4、如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
1
8、余数及其应用基本概念：
对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数的性质：
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
1
9、余数、同余与周期
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b（modm），读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：
a≡a（modm）；②对称性：
若a≡b（modm），则b≡a（modm）；③传递性：
若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）；④和差性：
若a≡b（modm），c≡d（modm），则a+c≡b+d（modm），a-c≡b-d（modm）；⑤相乘性：
若a≡b（modm），c≡d（modm），则a×c≡b×d（modm）；⑥乘方性：
若a≡b（modm），则an≡bn（modm）；⑦同倍性:
若a≡b（modm），整数c，则a×c≡b×c（modm×c）；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被
3、
9、11除后的余数特征：
①
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