小学奥数思维训练-余数通用版.docx
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2014年五年级数学思维训练：
余数
1．（4分）72除以一个数，余数是7．商可能是多少？
2．（4分）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？
3．（4分）20080808除以9的余数是多少？
除以8和25的余数分别是多少？
除以11的余数是多少？
4．（4分）4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193．规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数．请问：
比赛盘数最多的运动员打了多少盘？
5．（4分）某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．请问：
最后一包有多少个零件？
6．（4分）
（1）220除以7的余数是多少？
（2）1414除以11的余数是多少？
（3）28121除以13的余数是多少？
7．（4分）8+8×8+…+除以5的余数是多少？
8．（4分）一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？
9．（4分）有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？
10．（4分）100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1，2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，…，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：
一共有多少名小朋友？
11．（4分）1111除以一个两位数，余数是66．求这个两位数．
12．（4分）
（1）除以4和125的余数分别是多少？
（2）除以9和11的余数分别是多少？
13．（4分）一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个．请问：
最后一包有多少个零件？
14．（4分）自然数的个位数字是 ．
15．（4分）算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数是多少？
16．（4分）一个自然数除以49余23，除以48也余23．这个自然数被14除的余数是多少？
17．（4分）一个自然数除以19余9，除以23余7．这个自然数最小是多少？
18．（4分）刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有6只．请问：
刘叔叔一共养了多少只兔子？
19．（4分）除以99的余数是多少？
20．（4分）把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：
剩下个数最多的水果剩下多少个？
21．（4分）有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数．
22．（4分）用61和90分别除以某一个数，除完后发现两次除法都除不尽，而且前一次所得的余数是后一次的2倍，如果这个数大于1，那么这个数是多少？
23．（4分）从l依次写到99，可以组成一个多位数12345…979899．这个多位数除以11的余数是多少？
24．（4分）算式计算结果的末两位数字是多少？
25．（4分）算式1×3×5×7×…×2007计算结果的末两位数字是多少？
26．（4分）有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：
如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根．原来一共有牙签多少根？
27．（4分）有三个连续自然数，它们小道大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？
28．（4分）请找出所有的三位数，使它除以7、11、13的余数之和尽可能大．
29．（4分）已知21!
=．那么四位数是多少？
30．（4分）有一些自然数n，满足：
2n﹣n是3的倍数，3n﹣n是5的倍数，5n﹣n是2的倍数，请问：
这样的，n中最小的是多少？
试卷第1页，总2页
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参考答案
1．商可能是5．
【解析】
试题分析：
根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数最小为：
余数+1，进而根据“被除数﹣余数=商×除数”解答即可．
解：
72﹣7=65
65=13×5，所以，72除以一个数，余数是7．商可能是5．
点评：
解答此题的关键：
根据在有余数的除法中，余数总比除数小，得出余数最大为：
除数﹣1，然后被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可．
2．这个除数可能是8或16．
【解析】
试题分析：
要求这个除数可能是多少，根据同余定理，先求出100和84这两个数的差，再求出这三差的公约数，然后找出不能整除100和84的数，即为这个除数．
解：
余数相同，那么除数是100﹣84=16的约数，
除数可能是1，2，4，8，16
其中不能整除100和84的有8和16
所以除数是8或者16．
答：
这个除数可能是8或16．
点评：
解答此题的关键是理解同余定理，求出两个数之差的公因数，进而解决问题．
3．20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．
【解析】
试题分析：
根据在有余数的除法中，“被除数=商×除数+余数”解答即可．
解：
20080808÷9=2231200…1807280
20080808÷8=2510101
20080808÷25=803232…8
20080808÷11=1825528
答：
20080808除以9的余数是1807280；除以25的余数是8；除以8和11没有余数．
点评：
解答此题根据被除数、除数、商和余数四个量之间的关系进行解答即可．
4．打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．
【解析】
试题分析：
能被3整除的条件是：
这个整数的各位数字和是3的整数倍；如15，1+6=6，6=3×2，所以15能被3整除；
再如19，1+9=10，10÷3=3…1，则19不能被3整除，19÷3=6…1，通过此题说明了一个问题：
数字和除以3余数是几，则这个数字除以3就余数是几；此题从101、126、173、193中任意选出2个数有6种，求和，除以3，再看和的数字除以3余数是几，再分别求出每个运动员打球的盘数，即可得解．
解：
101+126=227，2+2+7=11，11÷3=3…2；
101+173=274，2+7+4=13，13÷3=4…1；
101+193=294，2+9+4=15，15÷3=5；
126+173=299，2+9+9=20，20÷3=6…2；
126+193=319，3+1+9=13，13÷3=4…1；
173+193=366，3+6+6=15，15÷3=5；
101号运动员打球的盘数为：
2+1+0=3（盘），
126好运动员打球的盘数为：
2+2+1=5，
173号运动员打球的盘数为：
1+2+0=3（盘），
193号运动员打球的盘数为：
0+1+0=1（盘），
答：
打球盘数最多的运动员是126号，打了5盘．
点评：
完成本题关键是根据题意，得出每个运动员打球的盘数，然后得出答案．
5．16个零件.
【解析】
试题分析：
用每人每天可以生产的零件个数乘以人数，乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数，最后一包有的零件个数．
解：
300×128×23÷17
=38400×23÷17
=883200÷17
=51952（包）…16（个）
答：
最后一包有16个零件．
点评：
本题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．
6．
（1）4；
（2）4；（3）2.
【解析】
试题分析：
（1）分别求出23、24、25、26…除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；
（2）首先根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11；然后分别求出33、34、35、36…除以11的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可；
（3）首先根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，然后分别求出24、25、26、27…除以13的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可．
解：
（1）因为23÷7=1…1，24÷7=2…2，25÷7=4…4，26÷7=9…1，…
所以从23开始，除以7的余数分别是1、2、4、1、2、4…，每3个一循环，分别是1、2、4，
因为（20﹣2）÷3=6，
所以220除以7的余数是4；
（2）根据1414=（11+3）14，可得1414除以11同余314除以11，
因为33÷11=2…5，34÷11=7…4，35÷11=22…1，36÷11=66…3，37÷11=198…9，38÷11=596…5，…
所以从33开始，除以11的余数分别是5、4、1、3、9、5…，每5个一循环，分别是5、4、1、3、9，
因为（14﹣2）÷5=2…2，
所以1414除以11的余数是4；
（3）根据28121=（13×2+2）121，所以28121除以13同余2121，
因为24÷13=1…3，25÷13=2…6，26÷13=4…12，27÷13=9…11，28÷13=19…9，
29÷13=39…5，210÷13=78…10，211÷13=157…7，212÷13=315…1，213÷13=630…2，
214÷13=1260…4，215÷13=2520…8，216÷13=5041…3，
所以从24开始，除以13的余数分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8、3…，
每12个一循环，分别是3、6、12、11、9、5、10、7、1、2、4、8，
因为（121﹣3）÷12=9…10，
所以28121除以13的余数是2．
点评：
此题主要考查了带余除法的性质的应用，以及同余定理的应用．
7．2.
【解析】
试题分析：
被5整除的数的特点是个位数字是0和5，所以只要看个位数字，即可，余数只能是0、1、2、3、4中的一个．
解：
乘积的个位数字分别是8，4，2，6，8，4，2，6，8，4；
所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字和是：
8+4+2+6+8+4+2+6+8+4=52，
所以8+8×8+8×8×8+…+8×8×8×8…×8（10个8）的个位数字是2，
2即为余数；
答：
除以5的余数是2．
点评：
解决此题的关键是理解被5整除的特征．
8．437.
【解析】
试题分析：
因为这个数除以21，除以20都余17，要求这个数最小是多少，就是用20、21的最小公倍数加上17即可．
解：
21和20的最小公倍数是21×20=420
420+17=437
所以这个数最小是437．
答：
这个数最小是437．
点评：
此题考查了带余除法，根据题目特点，先求2个数的最小公倍数，然后加上余数，解决问题．
9．5.
【解析】
试题分析：
利用带余数的除法运算性质，将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数，得出A可以被3或4整除，再结合已知这个数除以3余2，除以4余1，得出B也相同，归纳出符合要求的只有5．
解：
将这个数看成A+B，A为可以被12整除的部分，B则为除以12的余数．
A可以被12整除，则也可以被3或4整除．
因为这个数“除以3余2，除以4余1”，
所以B也是“除以3余2，除以4余1”，
又因为B是大于等于1而小于等于11，在这个区间内，只有5是符合的．
答：
这个数除以12余数是5．
点评：
此题主要考查了带余数的除法运算，假设出这个数，分析得出符合要求的数据．
10．141.
【解析】
试题分析：
由题意知，一共有多少名小朋友，也就是求11和13的最小倍数，由此解答问题．
解：
因为9=11﹣2，11=13﹣2，
所以只要再多2个人，人数就是11与13的公倍数，
11与13的公倍数为143，所以共有143﹣2=141人，符合题意；
而143×2＞100，不符合题意．
答：
共有141人．
点评：
此题主要把实际问题转化为求最小倍数的数学问题，解决数学问题，回到实际问题，这是数学中常用的一种方法．
11．95.
【解析】
试题分析：
因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，所以两位因数有：
11，19，55，95；又因为余数小于除数，但是11，19，55＜66，所以只有95符合题意，即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．
解：
因为1111﹣66=1045，1045=5×11×19，
所以两位因数有：
11，19，55，95；
∵余数小于除数，但是11，19，55＜66，
∴只有95符合题意，
即这个两位数是95，此时1111÷95=11…66．
答：
这个两位数是95．
点评：
此题主要考查了带余除法的性质的应用，解答此题的关键是求出1111与66的差，进而将其分解质因数．
12．
（1）除以4和125的余数分别是1和46．
（2）除以9和11的余数分别是3和5．
【解析】
试题分析：
（1）421被4除后余数是1，放到下一个421，得到1421，除以4，余数仍然是1，再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．
同理421除以125余数是46，放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．
（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，48÷9=5…3，所以余数是3；
一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为几，即可得解．
解：
（1）421÷4=105…1
1421÷4=355…1
再放到下一个421里，又得到1421，余数还是1，依此类推，无论多少个421，余数都是1．
421÷125=3…46
46421÷125=371…46
放到下一个421中，得到46421，除以125，余数仍然是46，以此类推，无论多少个421，余数都是46．
答：
除以4和125的余数分别是1和46．
（2）被9整除的数的特点是数字和是9的倍数，所以9个808一定被9整除，18个808同样被9整除，还有3个808，数字和是（8+8）×3=48，
48÷9=5…3，所以余数是3；
808÷11=73…5
5808÷11=528
一个808除以11余数是5，与下一个808得到5808，除以11，结果余数是0，所以每两个808可以被整除11，则20个808被11整除，只要看最后一个808除以11余数为5．
答：
除以9和11的余数分别是3和5．
点评：
完成本题要根据余数的不同分别讨论解决．
13．15个零件
【解析】
试题分析：
用每天生产的零件个数乘以天数得到零件的总个数，用零件的总个数除以每包的个数，得到的商是包数，余数是剩下的零件个数就是最后一包有的零件个数．
解：
1234×365÷19
=450410÷19
=23705（包）…15（个）
答：
最后一包有15个零件．
点评：
本题关键弄清得到商表示量是什么，得到的余数表示什么量．
14．7.
【解析】
试题分析：
除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，故用（67﹣1）除以4，得出是16组余2，所以个位数字是8，最终确定自然数的个位数字是7．
解：
除去第一个2外，其余的每4个2相乘都有个位数字是4、8、6、2的循环出现，为一组；
（67﹣1）÷4=16（组）…2（个）；
所以67个2相乘的个位数字是8，
则自然数的个位数字是8﹣1=7．
故答案为：
7．
点评：
此题考查乘法中的巧算，关键是找出2连乘时积的变化规律，再进一步求得解．
15．1.
【解析】
试题分析：
12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，即它的个位数是1，据此解答即可．
解：
12007的个位数是1，22007的个位数是8，32007的个位数是7，42007的个位数是4，
52007的个位数是5，62007的个位数是6，72007的个位数是3，82007的个位数是2，
92007的个位数是9，102007的个位数是0，112007的个位数是1…，
每10个数一循环，依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0；
因为1+8+7+4+5+6+3+2+9+0=45，2006÷10=200…6，
所以算式12007+22007+32007+…+20062007计算结果的个位数同算式200×45+1+8+7+4+5+6=931的个位数相同，
即它的个位数是1．
点评：
此题主要考查了乘积的个位数问题的应用，解答此题的关键是判断出：
12007、22007、32007、…的个位数依次为1，8，7，4，5，6，3，2，9，0，每10个数一循环．
16．9.
【解析】
试题分析：
一个自然数除以49余23，除以48也余23，则这个自然数是49和48的最小公倍数加23，因为48和49互质，所以这个数是49×48+23，然后除以14，49×48÷14=7×24整除，只要看23除以14的余数，即可得解．
解：
23÷14=1…9
答：
这个自然数被14除的余数是9．
点评：
关键是明白这个自然数是49×48+23，49×48能被14整除．
17．237.
【解析】
试题分析：
设这个自然数为x，根据这个自然数除以19余9，除以23余7，列出方程，求解即可．
解：
设这个自然数为x，根据题意，可得
x=19m+9=23n+7（m、n都是自然数），
整理得：
x﹣7=19m+2=23n，
因为23×10=19×12+2，
所以x﹣7=230，
解得x=237，
即这个自然数最小是237．
答：
这个自然数最小是237．
点评：
此题主要考查了有余数的除法各部分之间的关系的应用．
18．419只.
【解析】
试题分析：
求3、5、7的最小公倍数，进一步找出比400多一些的公倍数，用这个公倍数减去1即可得到答案．
解：
3、5、7这三个数两两互质，
所以它们的最小公倍数是这三个数的乘积，
3×5×7=105
105×2=210
105×3=315
105×4=420
420﹣1=419
答：
刘叔叔一共养了419只兔子．
点评：
本题关键理解好“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只”可以理解为“每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里少1只”由此理解后面的内容，即求出3，5，7的公倍数减去1即可得到答案．
19．90.
【解析】
试题分析：
6个123除以99刚好整除，这样求出123里有多少个6，余数是几，就看几个123并列除以99的余数，即可得解．
解：
123123123123123123÷99=1243667910334577
每6个整除1次，
123÷6=20…3
前120个123并列能整除99，
123123123÷99=1243667…90
答：
123个123并列除以99的余数是90．
点评：
找到几个123并列可以被99整除，是解决此题的关键．
20．20.
【解析】
试题分析：
求出苹果、梨、橘子的总个数，然后用水果的总个数减去25即可得到剩下的水果的总数，然后把水果的总个数分解质因式，确定出学生的人数，然后进一步求出剩下水果的个数，进一步确定剩下个数最多的水果．
解：
63+90+130﹣25=258
258=2×3×43
由此可知学生的人数是43人，
余下的苹果的个数：
63﹣1×43=20（个）
余下橘子的个数：
90﹣2×43=4（个）
余下梨的个数：
130﹣3×43=1（个）
20＞4＞1
所以余下的苹果最多，剩下20个．
答：
剩下个数最多的水果剩下20个．
点评：
本题关键求出发给的学生的人数，然后确定出余下水果最多的是那种水果．
21．19.
【解析】
试题分析：
a，b数被一个数d去除，有相同的余数，那么d可以整除（a﹣b），由此找出300与262的差，以及262与205的差，它们的非1的公约数就是要求的数．
解：
这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300﹣262=38，
同理，这个数整除262﹣205=57，
因此，它是38、57的公约数19．
点评：
本题利用同余定理的性质，得出要求的数是被除数两两之间差的公约数，从而得解．
22．17.
【解析】
试题分析：
假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则180除以a的余数就是2c；那么两个等式左右相减，余数被减去了，即得到的被除数能被a整除，所以只要把180减去61，分解质因数，即可得解．
解：
假设这个数是a，61除以a余数是2c；90除以a余数是c，则：
61÷a=b…2c
90×2÷a=d…2c
则90×2﹣61=119=17×7
因为61÷17=3…10
90÷17=5…5
10=5×2符合题意；
答：
这个数为17．
点评：
解决此题的关键是理解90的2倍减去61就是所求的数的整数倍，从而转化为求90×2﹣61的因数．
23．4.
【解析】
试题分析：
被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除，因此可以先求出此数奇数位上的和以及偶数位上的和．
解：
在此数前补一位0不影响．即012345…67891011…99
如上每两位一段．易知，被11整除的数，奇数位和，与偶数位和的差，能被11整除．则上数，从10往后，偶数位上，数字1到9均出现10次．奇数位上，0到9出现9次．
因此奇数位和=（0+1+2+3…+9）×9+（1+3+5+7+9）=45×9+25
偶数位和=（1+2+3…+9）×10+（0+2+4+6+8）=45×10+20则他们的差，
偶﹣奇
=45×10+20﹣45×9﹣25
=45﹣5=40不能被11整除，而要是调整奇数位的最后一位（99的个位9），减少4的话．这个差将被11整除．
意味着012345…95能被11整除，则原数被11除余4．
答：
这个多位数除以11的余数是4．
点评：
解决此题的关键是理解被11整除的数，奇数位和与偶数位和的差能被11整除．
24．00.
【解析】
试题分析：
要求算式计算结果的末两位数字是多少，只要求出的和除以100的余数，即为其末两位数字，据此解答即可．
解：
7除以100的余数为7，7×7除以100的余数为49，
7×7×7除以100的余数为43，7×7×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；
而7×7×7×7×7除以100的余数等于7，…
则7+7×7+…+7×7×…除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7，49，43，1，
因为2008÷4=502，
所以算式计算结果除以100的余数同余502×（7+49+43+1）=50200，
又因为50200除以100余数
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