九上第三次月考题含一元二次方程二次函数旋转圆.docx

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九上第三次月考题含一元二次方程二次函数旋转圆

九年级（上）第三次月考数学试卷

班级学号姓名成绩

一、选择题（共10题，每题4分共40分）

1．下列是二次函数的是（）

A．y=ax2+bx+cB．y=

+xC．y=x2﹣（x+7）2D．y=（x+1）（2x﹣1）

2．剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A．

B．

C．

D．

3．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）

A．y=（x﹣4）2﹣6B．y=（x﹣4）2﹣2C．y=（x﹣2）2﹣2D．y=（x﹣1）2﹣3

4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）

A．（2，10）B．（﹣2，0）

C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）

5．某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x元，则可得方程（）

A．300（x﹣30）=8700B．x（x﹣50）=8700

C．（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]=8700D．（x﹣30）（300﹣x）=8700

6．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定

7．若关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A．﹣

B．

C．

D．k≥﹣

且k≠0

8．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）

A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°

9．若函数y=mx2+（m+2）x+

m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）

A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：

①abc＜0；②

＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣

．

其中正确结论的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4=0有一个实数根是x=0，则a的值为__________．

12．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有__________个．

13．已知点A（4，y1），B（

，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________．

14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是__________．

15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是__________．

三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）

16．解下列方程：

（1）﹣

x2﹣3x+6=0

（2）7x（3﹣x）=3（x﹣3）

17．先化简，再求值：

，其中m满足一元二次方程

四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）

18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣2，﹣3）

（1）作出△ABC向上平移6个单位，再向右平移7个单位的△A1B1C1；

（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；

（3）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后得到△A3B3C3，请你画出旋转后的△A3B3C3．

19．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：

EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长．

五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）

20．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：

当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？

最大利润是多少？

21、如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系？

并说明理由；

（2）若OB=BG=2，求CD的长．

六、解答题（本题满分12分）

22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

七、解答题（本题满分12分）

23．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．

（1）求证：

直线FG是⊙O的切线；

（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

八、解答题（本题满分14分）

24．已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且

=﹣2，

（1）求抛物线的解析式．

（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？

若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．

九年级（上）月考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1．下列是二次函数的是（）

A．y=ax2+bx+cB．y=

+xC．y=x2﹣（x+7）2D．y=（x+1）（2x﹣1）

【考点】二次函数的定义．

【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．

【解答】解：

A、a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，故A错误；

B、y=

+x不符合二次函数，故B错误；

C、y=x2﹣（x+7）2是一次函数，故C错误；

D、y=（x+1）（2x﹣1）是二次函数，故D正确；故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．

2．剪纸是我国最古老民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A．

B．

C．

D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确．故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）

A．y=（x﹣4）2﹣6B．y=（x﹣4）2﹣2C．y=（x﹣2）2﹣2D．y=（x﹣1）2﹣3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【专题】几何变换．

【分析】先把y=x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

【解答】解：

y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），

把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），

所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．

故选：

B．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：

由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：

一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）

A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】分类讨论．

【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．

【解答】解：

∵点D（5，3）在边AB上，

∴BC=5，BD=5﹣3=2，

①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，

所以，D′（﹣2，0），

②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，

所以，D′（2，10），

综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．

故选：

C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．

5．某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x元，则可得方程（）

A．300（x﹣30）=8700B．x（x﹣50）=8700

C．（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]=8700D．（x﹣30）（300﹣x）=8700

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】销售问题．

【分析】设定价为x元，则每件内衣的利润为（x﹣30）元，销售的件数为[300﹣（x﹣50）]，利用每一件的销售利润×销售的件数=总利润列出方程即可．

【解答】解：

设定价为x元，由题意得

（x﹣30）[300﹣（x﹣50）]=8700．

故选C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．

6．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（）

A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定

【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；三角形中位线定理．

【专题】压轴题．

【分析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，即可求解．

【解答】解：

∵AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，∴AD=5，

∵点O是AC中点，点P是CD中点，∴OP是△CAD的中位线，OC=OA=3，∴OP=

AD=2.5，

∵OP＜OA，∴点P在⊙O内，故选A．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：

当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．

7．若关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A．﹣

B．

C．

D．k≥﹣

且k≠0

【考点】根的判别式．

【分析】由于关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，

①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；

②当k≠0时，方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此即可求出k的取值范围．

【解答】解：

∵关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根，

∴①当k=0时，方程为一元一次方程，此时一定有实数根；

②当k≠0时，方程为一元二次方程，

如果方程有实数根，那么其判别式△=b2﹣4ac≥0，

即（2k+1）2﹣4k2≥0，∴k≥﹣

，

∴当k≥﹣

，关于x的方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有实数根．故选B．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题要注意题干并没有说明方程一定是一元二次方程，因此要将所有的情况都考虑到．

8．点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）

A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．

【专题】分类讨论．

【分析】利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．

【解答】解：

如图所示：

∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，

∴∠A=40°，∠A′=140°，

故∠BAC的度数为：

40°或140°．故选：

C．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．

9．若函数y=mx2+（m+2）x+

m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）

A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】分类讨论．

【分析】分为两种情况：

函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．

【解答】解：

分为两种情况：

①当函数是二次函数时，

∵函数y=mx2+（m+2）x+

m+1的图象与x轴只有一个交点，

∴△=（m+2）2﹣4m（

m+1）=0且m≠0，解得：

m=±2，

②当函数是一次函数时，m=0，

此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选：

D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：

①abc＜0；②

＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣

．

其中正确结论的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=

，于是OA•OB=﹣

，则可对④进行判断．

【解答】解：

∵抛物线开口向下，∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴

＜0，所以②错误；

∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），

把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；

设A（x1，0），B（x2，0），

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，

∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=

，∴OA•OB=﹣

，所以④正确．故选：

B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：

抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2+3a﹣4=0有一个实数根是x=0，则a的值为﹣4．

【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．

【分析】把x=0代入已知方程，得到关于a的一元一次方程，通过解该一元一次方程即可得到a的值．

【解答】解：

∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得a2+3a﹣4=0，解此方程得到a1=﹣4，a2=1；

又∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数a﹣1≠0，即a≠1；综合上述两个条件，a=﹣4，

故答案是：

﹣4．

【点评】本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义．逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．

12．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有2个．

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，可得点P在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特点可得a的取值范围，然后可得a的整数解．

【解答】解：

∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，

∴点P在第三象限，∴

，解得：

﹣

＜a＜2，

∵a为整数，∴a=0或1，共2个，故答案为：

2．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，以及四个象限内点的坐标符号，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

13．已知点A（4，y1），B（

，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=﹣（x﹣2）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=2，再比较点A、B、C到直线x=2的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．

【解答】解：

二次函数y=﹣（x﹣2）2+k的图象的对称轴为直线x=2，

因为点B（

，y2）到直线x=2的距离最小，点C（﹣2，y3）到直线x=2的距离最大，

而抛物线的开口向下，所以y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：

二次函数图象上点的坐标满足其解析式．熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．

14．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°．

【考点】圆锥的计算．

【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．

【解答】解：

设母线长为R，底面半径为r，

∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=

lr=πrR，

∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，

设圆心角为n，有

=πR=2πr，∴n=180°．故答案为：

180．

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：

解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：

（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；

（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．

15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是

．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

【专题】压轴题．

【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出

=

，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．

【解答】解：

解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，

∴∠BCD=180°﹣60°=120°，

∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠CAD=∠CAB=30°，

如图1，

将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，

则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，

∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，

∴A、B、E三点共线，

过C作CM⊥AE于M，

∵AC=CE，

∴AM=EM=

×（5+3）=4，

在Rt△AMC中，AC=

=

=

；

解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，

∵点C为弧BD的中点，

∴

=

，

∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=CF，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠D=∠CBE，

在△CBE和△CDF中

∴△CBE≌△CDF，

∴BE=DF，

在△AEC和△AFC中

∴△AEC≌△AFC，

∴AE=AF，

设BE=DF=x，

∵AB=3，AD=5，

∴AE=AF=x+3，

∴5=x+3+x，

解得：

x=1，

即AE=4，∴AC=

=

，故答案为：

．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）

16．解下列方程：

（1）﹣

x2﹣3x+6=0

（2）7x（3﹣x）=3（x﹣3）

【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．

【分析】

（1）首先把二次项系数化为1，找出一元二次方程中a，b和c的值，求出△=b2﹣4ac，进而利用公式法求出方程的根；

（2）首先移项，再提取公因式（x﹣3）得到（x﹣3）（7x+3）=0，最后解两个一元一次方程即可．

【解答】解：

（1）∵﹣

x2﹣3x+6=0，

∴x2+6x﹣12=0，

∴a=1，b=6，c=﹣12，

∴△=b2﹣4ac=84，

∴x=

，

∴x1=﹣3+

，x2=﹣3﹣

；

（2）∵7x（3﹣x）=3（x﹣3），

∴3（x﹣3）+7x（x﹣3）=0，

∴（x﹣3）