近世代数基础课后答案docxWord文档格式.docx
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读者还应自己给出几个虫的代数运算.
4.结合律
1-A=｛所有不等于零的实数｝•o是普通除法:
aob=
这个代数运算适合不适合结合律？
解这个代数运算。
不适合结合律・例如,
当
0=4b=c=2
时
（aob）oc=（4o2）o2=豆o2=y=1
所以当a,b和c取上述值时
（ao6）o<
?
丰ao（boc）
2.力={所有实数}.代数运算
ot（a,fe）a+26=aob
适合不适合结合律？
解读者可以用解上一题的方法来证明，所给代数运算不适合结合律.
3.^4={a,6,c}.由表
••••••••・■
I
aabc
bbca
ccQb
给出的代数运算适合不适合结合律？
解所给代数运算。
适合结合律.为了得出这个结论，
需要对元素bfc的27（=3^种排列（元素允许重复
出现）加以验证・但是利用元素a的特性，可以把验证简化.仔细考察运算表，我们发现以下规律*对集合X的任意元素兀来说，都有
aox=xoa-x
由此得出，对于有a出现的排列，结合律都成立.这一点读者可以自己验证.还剩下Q不出现的排列.这样的排列共有8（=23）种.我们在这里验证4种，其余4种读者可以自己验证.
（bob）ob=cob=a
bo（bob）=boc=a
所以（bob）ob=bo（bob）
（bob）oc=coc=b
bo（boc）=boa=6
所以（bob）cc=bo{boc）
（hoc）ob=aob-b
bo（cob）=boa-b
所以（boc）ob-bo（cob）
（boc）OC=QQC=c
bo（coc）=bob=c
所以（boc）oc=bo（coc）
5.交换律
K/=｛所有实数人。
是普通减法「
*<
«
•<
八*
aob=a-b这个代数运算适合不适合交换律？
解容易验证，当0=1,fc=2时^・aobboa
所以这个代数运算不适合交换律.
6,c,d}.由表
ab
bcl
所给的代数运算适合不适合交换律？
解要冋答这个问题，只须考察一下运算表，看一看关于主对角线对称的位置上，有没有不相同的元素.
6•分配律
假定G）,㊉是4的两个代数运算，并且㊉适合結合律,
O,㊉适合两个分配律.证明
（^10^1）©
（0）0^2）®
（a20&
a）
=（a1G6]）@（a20&
1）@（a1G62）®
（a2Ob2）
解（alGt>
1）©
（aiO6i）㊉（sObjeKsO乂）
=6001©
&
2）+a2O（6l（+）62）
=（5㊉a?
）O（&
i®
fr2）
=（<
2i®
（72）O^xt+Xa^Gi）Qbz
k（aiO6i）.®
（azQbL）（±
）（a2）®
（azQbz）、
7.—一映射.变换
1<
N=｛所有〉0的实数｝.A=｛所有实数｝•找
••一个N与万间的一一映射.
解①:
XX对一切
是一个£
与7?
间的——映射.
首先9给了任一工W/,即任一大于0的实数兀，1昨是-个实数，即l&
r€A9并且lgi是唯一确定的，所以⑦是一个-4到"
7的映射•..•-
其次，对于任一万，即任一实数y,ioy-是-个大于o的实数，.而在⑦之下，
x—igx=igi=y所以c是一个力到7的満射.
最后，若是"
工20儿并旦孙*巧，那么Ig心知g®
所以①是一个力到万的单射•
这样，①是一个必与刁间的映射.•
若^>
1
是一个虫到2的满射•
首先，0替每一工规定了一个唯一确定的象0（对,
而o所以。
是一个乂到7的映射•其次，在⑦之下，刁的每一元万都是力中一个元，即万本身的象，所以0是一个M到刁的满射.
读者可以证明：
都是乂到必的满射._
3.假定①是虫与万间的一个——映射，。
是力的一个
0■工0（0门=?
⑦（。
）]=?
若0是N的一个一一变换，这两个问题的回答又该是什解当⑦是.4与万间的一个一一映射时，
0T[⑦（a）]=a未必有意义.
若①足/的一个——变换，那么
0-3[0（a）J=a（a）=a
读者可以做一做以下补充习题.
（i）A-｛所有二0的整数｝
万=｛所有＞0的整数｝
证明
0:
xx+1对一切咒
是H与yl间的一个映射.
（ii）A=｛所有20的实数｝
A=｛所有N0的实数｝利用（i）题找一个虫与刁间的-一映射.
8•同态
1・力=｛所有实数咒｝•虫門代数运算是普通乘法.
以下映射是不是Z到力的一个子集万的同态满射？
•
x~^\x\b）x-*2xc）x-*x2
x—x
取万二｛所有=0的实数几则ACZA,
Q）
d）
解a）
而
①1:
是力到N的一个同态满射・因为，对任一实数咒，|戈|是一个唯一确里的20的实数，所以0」是虫到万的一个映射,若是豆€7,那么iEA,
（可工|另[二金
所以01是虫到万的一个满射；
对任意％,yeA9
①1Uy）=lx>
|=\x\]y\=（P1（x）（Pl（y）所以0!
是/到灭的一个同态满射.
6）当％取遍一切实数值时，2“也取遍一切实数值.读者容易证明
是虫到H的一个满射，但02不是力到虫的一个同态满射.因为：
取虫的数2和3,那么
①2（2・3）=©
2（6）=12*^2（2厂％（3）
c）取7=.｛所有NO的实数几那么万u虫•读者可以自己证明
<
J>
38X-^x2=^>
3（X）XEA
是虫到万的一个同态满射.
d）当兀取遍一切实数值时，-％也取遍一切实数值•容易证明
^41■X-X=（p4（X）久€/
是乂到力的-个满射，偵不是一个同态满射••_
_2•-假定力和万妙于代数运算。
和孑来说迥态，而万和万对于企数运算5和厶来说同态•证明，力和肓对于代数运算。
和3说同态•
解由题设存在/到万的一个同态满射_
^1：
a—厂=O]（a）EA
并且对于力的任意洌个元素。
和b来说
①i（%）=ao&
=<
>
（a）o3（b）同样存在万孕万的一个同态满射_—
©
2：
Q7Q=02（a）aGA,aEA
并且对于万的汪总两个些2和5来说
02（ao6）—ao5=<
P2（a）o（Pz（6）
如下圮义
①xaT©
2[0i（a）Z）a€■A
那么①是力到3?
的一个同态满射・因为：
（i）_由于0】和是同态满射，所以对于任何a^A9◎（q）是万的八个唯一确定的元素，遁。
2[⑦」a门是万的一个唯一确定的元素，因而⑦是加到黃的一个映射•
（H）
素
pLa）=i
由于同一原因，对于任何盲令肓，存在一个元使①2（万）=石\并且存在一个元素Q€虫,使几因此在①之下，
［⑦］（。
门=⑦2（a）=a
而0是/到的一个满射.
（iii）由于同一原因，对于/的任何两个元索Q和b&
{aob）=⑦2［①1=①纟匸⑦I（a）u<
Pj（6）J
-<
2C^L（^）Jo<
2L^i<
6）］
=（a）oCp（6）
而C是/到7的一个同态满射・
9•同构、自同构
K{a9b9c}.代数运算。
由下表给定’
找出所有力的一一变换，对于代数运算。
来说，这些——变换是否都是M的自同构？
N共有6（=31）个…一变换，即
52
afa
bfbcfc
022
a7a
b—ccfb
①3，
a—b
ibfcc〜Q
①4?
Qfbb_ac〜c
•g—>
c6—ctq
Pa:
Qfcb—acfb
对于代数运算。
来说，0i和©
4是力的自同构，其余4个都不是.这是因为，若是一个力的自同构，那么对虫的任何元素％和，，将有
（1）①6（xo^y）=4（c）=0；
（^）o4｛y）—c
因而
（2）c）=c
反过来，若
（2）成立，那么
（1）也成立•
2.A-（所有有理数｝•找一个虫的对于普通加法来说的自同构.（映射一乂除外）•-
解设上是任一有理数，且任丰Q,k^l.
那么
5
是力的一个对于加法来说的自同构，并且①显然不是映射—災・⑦是虫的一个——变换，读者可以自已证明。
令兀和，是力的任意两个元素，那么
工+$f①〈r+y）=k（x+y）kxky（x）+<
f>
（y）所以⑦是“4的一个自同构•
读者可以试证，X只有以下对于加法来说的自同构
任是#0的有理数
_3.｛所有有理数｝的代数运算是普通加法.
万=｛所有#0的有理数门万的住数运算是普通乘法.证明，对于给的代数运算来说，£
与刁间没有同构映射存在.
（先决定0在一个同构映射下的象.）
解设⑦是虫与虫间对于所给代数运算的一个同构映射，而0（0）-Oe那么由于①是同构映射，育
（P（O）=<
p（0+0）=0（0）<
2>
（0）=a
但同构映射是单射，所以得于是有但石CTJ,所以a¥
=0,因而a—1=0,即«
=1<
这样
0（0）=1
（1）
由于0是满射，另的元-1必是/的某一元a的象'
（a）=：
-1
由是得
0（2a）（a^a）-<
i>
（a）CP（^）=（-1）2=1于是由0是单射，得2a=0,即。
=0,而0（0）=-1,与
（1）矛盾.这说明，在力与万间对所给代数运算来说不存在同构对应.
渎者可以用以下方法得出本题的另一证明'
设。
（a）=2•考虑0（・；
+号）
10.等价关系与集合的分类
1.4二｛所有实数｝•力的元间的关系〉以及二是不是等价关系？
解>
不是等价关系■•这个关系不满足反射律z不成立.
二也不是等价关系，它不满足对称律，例如，3>
2,
••
但2>
3不成立.
2・有人说，假如一个关系/?
适合对称律和推移律，那么它也适合反射律.他的推论方法足」因为7?
适合对称律
a7?
bbRa
因为尺适合推移律
aRb,bRa=>
aRa
这个推论方法有什么错误？
解这个推论方法的错误在于，对于“等价关系”定义的陈述没有准确地理解・
aRb=>
bRQ
的意思是：
由QRb可得bRJ假如对于某一元素"
，找不到任何元素b,使得aRb成立，那么就得不出bRo,因而也就得不出aRa.例如x令力是藥数集，如下定义虫的元间的关系7?
：
QFb当且仅当ab>
0.
R显然满足对称律和推移律，但R不满足反射律，因为
0/?
0
不戍立.
3.仿照例3规定整数间的关系
Q三h（—5）
证明你所规定的是一个等价关系，并且找出模-5的剩余类。
解可以完全仿照例3来做.
第二章群论
1・群的定义
1・全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
解不是，因为習•通减法不适合结合律.
例如
3-（2-1）=3-1=2（3-2）-1=1-I=o
（2—7）#（3—2）—1
2.举一个有两个元的群的例.
解令G={匕，a},G的乘法由下表给出
ca
「一
eea
首先，容易验证，这个代数运算满足结合律
〈1〉（*>
'
）名=%（»
*）X,y9zQQ
因为，由于。
Q=ae=a,若是元素e在（丄）中出现，那么
（1）成立•■（参考第一章，§
4,习题3.）若是£
不在
（1）中出现，那么有
••••・•••
其次，G有左单位元，就是£
）e有左逆元，就是
a有左逆元，就是所以G耀一个群.
读者可以考虑一下，以上挂算表是如何作出的.
3.证明，我们也可以用条件I,II以及下面的条件IT,V，来做群的定义=
NrG里至少存在一个右逆元q"
能让
ae=a
对于G的任何元。
都戒立｝
W对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a"
aa'
1=e
解这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,I,IV,V来做群定义的证明，但读者一定要自己写-下・
2.单位元、逆元、消去律
1・若群G的每一个元都适合方程护二勺那么G是交换群.
解令Q和b是G的任意两个元.由题设
（a6）（a6）=（a6）2=e
另一方面
（ob）（6a）=abza=aea=a2e
于是有（ab）（ab）=（ab）（ba）e利用消去律，得
ab=ba
所以G是交换群.
2.卷一个莆隈鏈离无于讷元芮个数一定是偶数.
解令G是一个宥限时皱G有元a而a的阶n>
2.
考我们有
a"
（o"
、）n=ee（a~!
）"
=（a'
l）M=e
设正整数而（a"
）E=£
那么同上可得沪与并是a的阶的假设矛盾.这样，加也是a"
的阶，易见a~l^a.否则
a2=aa^1=e
与n>
2的假设矛盾.这样，我们就有一对不同的阶大于2的元a和a"
.
设G还有元几bi,并且b的阶大于2・
那么b"
的阶也大于2,并且b■'
丰b.我们也有丰a.否则
e=b_'
b=aa"
1=b_】a_1
消去6“得b-a*1,与假设矛盾.同样可证这样，除Q和旷】外，又有一对不同的阶大于2的元£
和犷】.
由于G足有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里这种元的个数一定是偶数•
3.假定G是一个阶是偶数的有限群.在O里阶等于2
的元的个数一定是奇数.
G只有一个阶是1的元，就是单位元£
.于是由于G的阶是偶数，得G里阶等于2的元的个数是奇数.
4.一个有限群的每一个元的阶都有限•
解令G是一个有限群而。
是G的任一元素，那么
6ci29a3,y5"
不能都不相等.因此存在正整数二iW>
i,使a'
=M・用ar乘两边，得…"
（1）.（jLi=$
这样，存在正整数:
便
（1）成立.因此也存在最小的正整数"
，使犷二内这就是说，元。
的阶是〃•
4.群的同态
假定在两个群G和石的一个同态映射之下，a-Na与匚的阶是不是一定相同？
解不一定.例如，令G是本章§
1中例2所给出的群而0是该节中例1所给出的群.那么读者容易证明（Pl舁ig兄是G的任意元
是G到0的一个同态映射.但G的每一个元"
士0都是无限阶的，而g的阶是1•
5・变换群
1.假定r是集合力的一个非变换.厂会不会有一
个左逆元广】便得r^r=C?
解可能有•例如令虫=｛所有正整数｝,则
r•1—1.n-^n-1n>
l
显然是/的一个非——变换.而虫的变换r"
1•+1n（^A
就能使厂％=£
•^
18
房间看
假定.4是所有实数作成的集合。
证明，所有虫的可以写成
x-^ax^rba和6是有理数，a护0
形式的变换作成一个变换群.这个群龛不是一个交换群？
解令G是由一切上述变换作成的集合・考察G的任何两个元素
2x-^ox+b。
和b是有埋数，a=^0
兀x-*cx4-dC和d炬有理数，（7^=0
（ax+6）z=c（ox-bb）+d
=（ca）x+（cb+d）
这里cQ和cb+J都是有理数，并且ca¥
=0.
所以t久仍屈于G•
结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立.单位变换
Ei
属于G・
容易验证，疋在G中有逆，即
因此G作成一个变换群.
但G不足一个交换群.令
Tj:
力—6+1
^2：
£
-*2龙
X—（XT1）T2=（工+1）匕2=2x+2
r2r1:
=（2工）G=2r十1
3.假定S是一个集合厦的所有变换作成的集合.我们暂时仍用符号
r:
a——af=t（a）
来说明一个变换r・证明，我们可以用7^2：
a—（a）]=r）r2（a）
来规定一个S的乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，£
还是S的单位元・
解令6和一是S的任雹两个元而。
是力的任意一个元・那么5（Q）和5匚珂（。
）]都是Z的唯一确定的元.因此如上规定的仍是S的一个唯一确定的元而我们得到了一个S的乘法.
令心也是S的一个任意元，那么
C（t-1t2）t3J<
a）=riT2Er3（a）J=厂{r2Cr3（}
E（厂2匸3）]（a）=口1>
汀3（a）I=rjr2^s（«
）]}所以（r1r2）r3=rJ（r2r3）而乘法适合结合律.
令厂是S的任意元.由于对一切。
€力，都有£
@）=a,所以
“（a）=fr（«
）]-r（a）
r£
（q）=t^e（a）]=r（a）
即et=t£
=t而e仍是S的单位元.
4.证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换.
解设G是由某一集合力的变换组成的一个变换群，而£
是6的单位元・任取G的一个元「和力的一个元a.由于
aer=（ae）*=ar
由于7•是力的一个变换，所以厅=。
而£
是&
的恒等变
换.
5.证明，实数域上一切有逆的〃X猝矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群.
解这个题的解法很容易，这里从略.
6.置换群
1・找出所有S3的不能和（；
；
〉交换的元.
解S3有6个元$
其中的
3.证明f
（i）两个不相连的循环置换可以交换,
（ii）（匚订…W=（U九i…珀）.
解（i）看S“的两个不相连的循环程换。
和我们考察乘积使数字1,2,…，h如何变动.有三种情况.
（Q）数字，在。
中出现，并且＜7把d变成心这时由于cj和了不相连，，不在丁中出现，因而r使,不变，所以"
仍把F变成j•
（b）数字上在厂中出现，并且疋把b变成2.这时上不在Q中出现，因而o•使上不变，所UX"
仍把七变成
（c）数字力不在cr和了中出现.这时＜7匸使税不动・
如上考察2池数宇1,2,…，归如何变动，显然得
到同样的结果.因此
（ii）由于…⑺（W—…讥〉=（1〉,所以
（珀i2…彳订7=（?
1…讥）
4・证明一个k-循环置换的阶是k•
解.一个匕-循环觀换兀=（八论…讥•）的一次方，二次方，…，*2次方分别吧讥变成（2,订，…9G-同理於把「2变成订，…，把和变成心因此沪=
（1）.由上面的分析，若是Kk,那么次律
（1）.这就证明了，冗的阶是上.
5.证明S”的每一个元都可以写成
（12）,（13）,…，（1n）
这n-1个A循环置换中的若干个的乘积.
解由于每个置换都可以写成不相连的循环殖换的乘积，所以只须证明，一个循环労换可以写成若干个（1门形的置换的乘积•设兀是一个花-循坏直换・我们分两个情形加以讨论.
（a）.1在《中出现，这时"
可以写成
容易验算
（1=（1H）（1H）（1：
r*-i）
（b）1不在兀中出现，这时
7T=（匚订…讥）=（1沐匚2…让）（1H）
=（1it）（1：
2）…（1u）（1»
i）
7.循环群
1.证明，一个循坏群一定是交换群.
解设循环群G=（g）・那么G的任何两个元都可以写成旷和a"
（tn,t?
是整数）的形式.但
（ran=am+n=a,H，，1==
所以G是一个交换群•
2・假赴群的元。
的阶足n•证明/的阶是寻，这里
d=（r,Q是:
r和«
的藪大公因子・
解由于d|r,r=ds,所以
（ar）d=（adi）:
=（a11）J=e
现在证明，子就是/的阶•设/的阶为―那么fe<
^
6
e=（aF）^=（ar）=（ar）kg（ar）r1=（ar）
但r,<
k而七是a1■的阶，所以rx=0而
于是得艮号.（参看本节定理的第二种情形•）
为了证明匕备只须反过来证明》k.由Q样=£
姦是a的阶，同上有n\rk9因而务寺“
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