温州中学提前招生数学模拟卷一.doc
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2017年温州中学提前招生数学模拟卷
（一）
题 号
一
二
三
总分
1－8
9－14
15
16
17
18
得 分
评卷人
复查人
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．把一根3米长的水管截成0.5米和0.2米两种规格，设截得长为0.5米的水管x根，长为0.2米的水管y根，且没有浪费，每种规格的水管至少有一根，则可能的截法种数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．若M=10a2+2b2﹣7a+6，N=a2+2b2+5a+1，则M、N的大小关系是（ ）21教育网
A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N
3．凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若=+1无解，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．在一堂“探索与实践”活动课上，小明借助学过的数学知识，利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽，设计图案如下：
如图，两条线段EF、MN将大长方形ABCD分成四个小长方形，已知DE=a，AE=b，AN=c，BN=d，且S1的面积为8，S2的面积为6，S3的面积为5，则阴影三角形的面积为（ ）
A． B．3 C．4 D．21*cnjy*com
6．你玩过这种游戏吗？
如图所示的螺线图，一个小朋友从外往里跑，跑到最里面后，又从里往外跑，在此过程中，圈外的小朋友往他身上丢沙包，如果打中了，里面跑的小朋友就输了，如果在这个过程中没有打中，里面的小朋友就赢了，现在假设两相邻的平行线之间的距离都是1米，那么螺线（实线）的总长度是（ ）【出处：
21教育名师】
A．35 B．36 C．37 D．38
7．已知点A是双曲线y=在第一象限上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（ ）
A．y=﹣（x＜0） B．y=﹣（x＜0） C．y=﹣（x＜0） D．y=﹣（x＜0）
8．如图是一面长为a，宽为b（a＞b）的矩形旗子，其四个角是蓝色的四个全等矩形（阴影部分），面积之和等于整面旗子面积之半；旗子中间两条直交白条纹的宽度相等，则蓝色矩形的最短边y=（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．若抛物线y=x2﹣1998x+1999与x轴交于点（a，0）、（b，0），则（a2﹣1999a+1999）•（b2﹣1999b+1999）的值是 ．
10．如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数 （填函数解析式）的图象上运动．
11．已知无论m为任何实数，二次函数y=（x﹣2m）2+m的图象的顶点总在定直线上，则此定直线的解析式为 ．21世纪教育网版权所有
12．如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值是 ．
13．一旅游团来到十堰境内某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏如图所示，请根据公告栏内容回答下列问题：
设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式．
y=
① x=（0，1，2，…10）
② （x＞10，且x为整数）
14．如图，若将正方形分成k个完全一样的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k= ．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．（12分）阅读下列材料：
1×2=×（1×2×3﹣0×1×2），
2×3=×（2×3×4﹣1×2×3），
3×4=×（3×4×5﹣2×3×4），
由以上三个等式相加，可得1×2+2×3+3×4=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=×3×4×5=20．21·世纪*教育网
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= ．
16．（12分）星期天，小亮与爷爷进行登山锻炼，如图所示，表示小亮与爷爷沿相同的登山路线同时从山脚出发的登山锻炼过程，各自行进的路程随时间变化的图象，请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）请你分别写出小亮和爷爷登山过程中路程S1（千米）、S2（千米）、与时间t（小时）之间的函数关系（不必写出自变量t的取值范围），S1= ，S2= ；
（2）当小亮到达山顶时，爷爷行进到山路上某点A处，则A点到达山顶的路程为 千米；
（3）已知小亮在山顶休息1小时，沿原路下山，在B处与爷爷相遇，此时B点到山顶的路程为1.5千米，相遇后，他们各自沿原来的路线下山和上山，问当爷爷到达山顶时，小亮离山脚下的出发点还有多远？
小亮的整个登山过程用了几小时？
17．（12分）如图、AC、AB是⊙O弦（AB＞AC）
（1）如图1，请在AC上确定一点E，使AC2=AE•AB，证明你的结论；
（2）在
（1）的结论下延长EC到P，连结PB，若PB=PE，求证：
PB是⊙O的切线；
（3）在条件
（2）的情况下，若E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？
若是，请证明；若不是，说明理由．
18．（14分）在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式及点C；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，当点P运动到什么位置时，PE最长是多少？
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．【分析】根据把一根3米长的水管截成0.5米和0.2米两种规格，得出二元一次方程，进而利用二元一次方程的解得出答案．
解：
设截得长为0.5米的水管x根，长为0.2米的水管y根，根据题意得出：
0.5x+0.2y=3，
当x=1，y=12.5不合题意，
当x=2，y=10，
当x=3，y=7.5，不合题意，
当x=4，y=5，
当x=5，y=2.5，不合题意，
故可能的截法种数是2种，
故选：
C．
2．【分析】先由原式得到M﹣N=10a2+2b2﹣7a+6﹣（a2+2b2+5a+1）=9a2﹣12a+5=9（a﹣）2+1．．由非负数的关系可以得出M与N的大小关系．21·cn·jy·com
解：
∵M=10a2+2b2﹣7a+6，N=a2+2b2+5a+1，
∴M﹣N=10a2+2b2﹣7a+6﹣（a2+2b2+5a+1）=9a2﹣12a+5=9（a﹣）2+1．
∵9（a﹣）2≥0，
∴9（a﹣）2+1＞0
∴M﹣N＞0，
∴M＞N．
故选A．
3．【分析】如图，延长EA、CB交于点K，连接EC、DK，EC交DK于O．只要证明四边形DEKC是菱形，根据S五边形ABCDE=S菱形DEKC﹣S△ABK计算即可．
解：
如图，延长EA、CB交于点K，连接EC、DK，EC交DK于O．
∵∠EAB=∠CBA=120°，
∴∠KAB=∠KBA=60°，
∴△ABK是等边三角形，
∴AB=AK=BK=2，
∵AE=AB=BC=2，
∴EK=CK=4，
∵DE=DC=4，
∴DE=EK=KC=DC，
∴四边形DEKC是菱形，
∴∠EDC=∠EKC=60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴OD=2，DK=4，EC=DE=4，
∴S五边形ABCDE=S菱形DEKC﹣S△ABK=×4×4﹣•22=7．
故选B．
4．【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得整式方程的解，根据分式方程无解，可得答案．
解；方程两边都乘以（x﹣2）（x﹣1），得
（x﹣1）2=m（x﹣2）+（x﹣2）（x﹣1）
x（1﹣m）=1﹣2m
x=，
分式方程无解，得
x=1或x=2，
=1或=2，
解得m=0．
5．【分析】首先根据题意可知ac=8，ad=6，bd=5，根据后两式求出ab之间的关系，再求出bc的值，又知阴影三角形的面积为bc，即可得到答案．www-2-1-cnjy-com
解：
根据题意：
DE=a，AE=b，AN=c，BN=d，
且S1的面积为8，S2的面积为6，S3的面积为5，
故知ac=8…①
ad=6…②
bd=5…③，
②÷③得：
a=b…④，
把④代入①可得bc=，
∵阴影三角形的面积=bc=．
故选A．
6．【分析】根据两平行线之间的距离都为1米，可求出正方形1的边长为1米，正方形2的边长为3，正方形3的边长为5，从而结合图形可得出螺线的长度．2-1-c-n-j-y
解：
由题意得，两平行线之间的距离都为1米，
故可求出正方形1的边长为1m，正方形2的边长为3m，正方形3的边长为5m
螺线的长度为：
三个正方形的周长+（a+b）﹣（m+n）=36m．
故选B．
7．【分析】设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，继而得出y与x的函数关系式．
解：
过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，
设A（a，），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
则B（﹣a，﹣）
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=AO，
∵AO=，
∴CO=×=，
∵∠BOD+∠COD=∠COD+∠OCD=90°，
∴∠BOD=∠OCD，
设点C的坐标为（x，y），则tan∠BOD=tan∠OCD，即=，
解得：
y=﹣x，
在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+，
将y=﹣x代入，得（）x2=3（），
解得：
x2=，
故x=，y=﹣a，
则xy=﹣6，
故可得：
y=﹣（x＞0）．
故选C．
8．【分析】设长边为x（x＞0），短边为y（y＞0）；然后根据矩形的面积与阴影部分的面积关系、图形中的线段间的数量关系列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得y值即可．【来源：
21·世纪·教育·网】
解：
设长边为x（x＞0），短边为y（y＞0）．则
由①得，x=，③
将③代入②，解得y=．
故选D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将点（a，0）、（b，0）分别代入已知函数解析式，分别求得a2﹣1998a+1999﹣a=0﹣a=﹣a，b2﹣1998b+1999﹣b=0﹣b=﹣b；然后根据题意知a、b是方程x2﹣1998x+1999=0的两个实数根，所以根据根与系数的关系可以求得ab=1999；最后将所求的代数式转化为（a2﹣1999a+1999）•（b2﹣1999b+1999）=ab=1999．【版权所有：
21教育】
解：
∵抛物线y=x2﹣1998x+1999与x轴交于点（a，0）、（b，0），
∴a、b是方程x2﹣1998x+1999=0的两个实数根，a2﹣1998a+1999﹣a=0﹣a=﹣a，b2﹣1998b+1999﹣b=0﹣b=﹣b，
∴ab=1999，（a2﹣1999a+1999）•（b2﹣1999b+1999）=ab=1999，即（a2﹣1999a+1999）•（b2﹣1999b+1999）的值是1999．
故选A．
10．【分析】如图分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b），则ab=1．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出BD•OD的积，进而得出结果．2·1·c·n·j·y
解：
分别过A、B作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D．设A（a，b）．
∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴ab=1．
在△OAC与△BOD中，∠AOC=90°﹣∠BOD=∠OBD，∠OCA=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴OC：
BD=AC：
OD=OA：
OB，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠B=30°，∴OA：
OB=1：
，
∴b：
BD=a：
OD=1：
，
∴BD=b，OD=a，
∴BD•OD=3ab=3，
又∵点B在第四象限，
∴点B在函数（x＞0）的图象上运动．
故答案为：
（x＞0）．
11．【分析】根据无论m为任何实数，二次函数y=（x﹣2m）2+m的图象的顶点总在定直线上，即可得出m=0，进而得出答案．21*cnjy*com
解：
∵无论m为任何实数，二次函数y=（x﹣2m）2+m的图象的顶点总在定直线上，
∴x=2m是定值，即m=0，
∴此定直线的解析式为：
y=x．
故答案为：
y=x．
12．【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥AD于G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的长．
解：
作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，
过F作FG⊥AD于G，过F作FG⊥AD于G，
在Rt△E′FG中，
GE′=AD﹣AE﹣CF=7﹣3﹣1=3，GF=7，
所以E′F===．
故答案为：
．
13．【分析】①由一次购买10张一下（含10张），每张门票180元，即可求得在x=（0，1，2，…10）时，该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式．www.21-cn-
②首先根据题意得：
当x＞10，且x为整数时，该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式为：
y=180×10+180×0.6×（x﹣10），然后化简即可求得答案．
解：
①∵一次购买10张一下（含10张），每张门票180元，
∴当x=（0，1，2，…10）时，该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式为：
y=180x；
②∵根据题意得：
y=180×10+180×0.6×（x﹣10）=108x+720，
∴当x＞10，且x为整数时，该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式为：
y=108x+720．
故答案为：
①180x，②108x+720．
14．【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据正方形的边长相等列方程从而可求得长与宽，从而不难求得k的值．21教育名师原创作品
解：
设小长方形的长为x，宽为y，则根据题意可知：
2x=x+2y，
即x=2y，长是宽的2倍，
所以当上、下各横排两个时，中间竖排有4个，
故k=8．
三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）
15．【分析】由1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），…，得出n（n+1）=[（n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]，由此规律进一步拆开抵消得出答案即可．
解：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+…+10×11×12﹣9×10×11）
=×10×11×12
=440．
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=[1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+…+n（n+1）（n+2）﹣（n﹣1）n（n+1）]
=n（n+1）（n+2）．
16．【分析】
（1）由图象可以设S1=k1t，S2=k2t，从图中，当t=2时，S1=6，当t=3时，S2=6，可以求出k1=3，k2=2，从而可以得到小亮和爷爷登山过程中路程S1（千米）、S2（千米）、与时间t（小时）之间的函数关系；
（2）根据S1=3t，先求出小亮到达山顶所用的时间，S1=12，则t=4，这时爷爷走了S2=2t=2×4=8（千米），所以点A到达山顶的路程为12﹣8=4千米
（3）从图中可以看出小亮下山时的速度与上山时的速度不一样，从题中可以知道小亮在山顶休息1小时，沿原路下山，在B处与爷爷相遇，此时B点到山顶的路程为1.5千米从中可以得到小亮的下山速度，从而根据关系得出当爷爷到达山顶时，小亮离山脚下的出发点还有多远，小亮的整个登山过程用了几小时．
解：
（1）由题意：
S1=k1t，S2=k2t，从图中，当t=2时，S1=6，当t=3时，S2=6，可以求出k1=3，k2=2【来源：
21cnj*y.co*m】
∴S1=3t，S2=2t；
（2）S1=3t，S1=12，则t=4，这时爷爷走了S2=2t=2×4=8（千米）
所以点A到达山顶的路程为12﹣8=4千米；
（3）因为S1=3t，当S1=12千米时，t=4（小时），
由于小亮休息了1小时，所以返回时已过了5小时，
而爷爷距离山顶为1.5千米时，
即爷爷走了12﹣1.5=10.5千米，所需时间为10.5÷2=5.25小时．
所以小亮在（5.25﹣5）小时走了1.5千米，
所以小亮返回时的速度为1.5÷（5.25﹣5）=6（千米/小时）
即爷爷到达山顶时，小亮走了6﹣5.25+0.25=1小时，
即离山脚下的出发点还有12﹣6×1=6（千米），
所以小亮的整个登山过程为4+1+2=7（小时）．
17．【分析】
（1）能找到一点E，使AC2=AE•AB．当△ACE∽△ABE时就有这个结论；
（2）在条件
（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．利用
（1）的结论可以得到∠ACB=∠AEC．根据PB=PE，可以得到∠PBE=∠PEB．再利用圆内接四边形的性质和直径所对的圆周角是直角，可以证明∠PBE+∠BAE=90°，从而证明题目结论；
（3）C是PE的中点．根据切线长定理可以得到PB2=PC•PD，而E是PD的中点，可以得到PE=PD，代入PB2=PC•PD中，变换就可以得到题目结论．
解：
（1）能找到一点E，使AC2=AE•AB．
当∠AEC=∠ACB时，又∵∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABE，
∴=，
故AC2=AE•AB；
（2）在条件
（1）的结论下，PB和⊙O相切．
如图连接BC，BO，并延长BO交圆与F，连接AF．
∵AC2=AE•AB，
∴△ACE∽△ABC．
∴∠ACB=∠AEC，而PB=PE．
∴∠PBE=∠PEB，而∠ACB+∠F=180°，∠AEC+∠PEB=180°，
∴∠F=∠PEB．
∴∠PBE=∠F，而∠F+∠ABF=90°，
∴∠ABF+∠PBE=90°．
∴PB和⊙O相切．
（3）根据
（2）可以得到PB2=PC•PD．
而E是PD的中点，可以得到PE=DE．
∴PE2=（PE﹣CE）×2PE=2PE2﹣2PE•CE．
∴PE=2CE，
∴C是PE的中点．
18．【分析】
（1）先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值，以及点C的坐标；
（2）设P点横坐标为m，求出P点纵坐标以及点E的纵坐标，求出PE的长度，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值．
解：
（1）∵直线y=x+4与x、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
将点A、B坐标代入解析式得：
，解得：
，
则二次函数的解析式为：
y=﹣x2﹣3x+4，
令﹣x2﹣3x+4=0，解得：
x1=4，x2=1，
点C坐标为（1，0）；
（2）设P点横坐标为m，
则纵坐标为﹣m2﹣3m+4，
E点纵坐标为m+4，
则PE=﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）=﹣m2﹣3m+4﹣m﹣4=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
当m=﹣2时，PE有最大值4，
此时点P纵坐标为6，
故当点P运动到（﹣2，6）时，PE最长为4．
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