中考数学培优满分专题突破专题2图形变式与拓展Word文件下载.docx

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（1）如图1，过点P作PF∥AQ交BC于点F，求证：

△PDF≌△QDC；

（2）如图2，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（3）如图3，过点P作PE⊥BC于点E，在点P从点B向点A移动的过程中，线段DE的长度是否保持不变？

若保持不变，请求出DE的长度，若改变，请说明理由．

解：

（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.

∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP.

由题意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ.

∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC.

（2）如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.

∵点P为AB的中点，

（3）线段DE的长度保持不变．

如图，过点P作PF∥AC交BC于点F.

由

（1）知，PB＝PF.

∵PE⊥BC，∴BE＝EF.

由

（1）知，△PDF≌△QDC，CD＝DF.

2.如图1，△ABC中，∠ABC＝45°

，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.

（1）求证：

BD＝AC；

（2）将△BHD绕点H顺时针旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.

①如图2，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC＝3，求AE的长；

②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°

得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．

（1）在Rt△AHB中，∠ABC＝45°

∴AH＝BH.

在△BHD和△AHC中，

∴△BHD≌△AHC（SAS）．∴BD＝AC.

（2）①在Rt△AHC中，

∵tanC＝3，

设CH＝x，则BH＝AH＝3x.

∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1.

由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°

，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1，

∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3.

如图，过点H作HP⊥AE于点P，

∴HP＝3AP，AE＝2AP.

在Rt△AHP中，AP2＋HP2＝AH2，

∴AP2＋（3AP）2＝9.

②EF＝2GH.理由如下：

设AH与CG交于点Q，

由①知，△AEH和△FHC都为等腰三角形．

又∵旋转角为30°

，∴∠FHD＝∠BHE＝30°

∴∠EHA＝∠FHC＝120°

.∴∠HCG＝∠GAH＝30°

∴△AGQ∽△CHQ.∴∠AGQ＝∠CHQ＝90°

又∵∠GQH＝∠AQC，∴△GQH∽△AQC.

3.[教材改编题]

（1）问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，则∠AEB的度数为________，线段AD，BE之间的关系为________；

（2）拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°

，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.

①请判断∠AEB的度数，并说明理由；

②当CM＝5时，AC比BE的长度多6时，求AE的长．

（1）60°

　相等

（2）①∠AEB＝90°

.理由如下：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°

.∴∠ACD＝∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝135°

，∠BEC＝135°

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°

②∵在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°

，CM⊥DE，则有DM＝CM＝ME＝5.

在Rt△ACM中，AM2＋CM2＝AC2.

设BE＝AD＝x，则AC＝6＋x.

∴（x＋5）2＋52＝（x＋6）2，解得x＝7.

∴AE＝AD＋DM＋ME＝17.

类型2关于四边形的变式拓展问题

【例2】如图1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：

DE∥BC，且DE＝（不需要证明）

【探究】如图2，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．

【应用】

（1）在【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？

你添加的条件是：

　　　　.（只添加一个条件）

（2）如图3，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O.若AO＝OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为　　　　.

【思路分析】【探究】利用三角形的中位线定理可得出EF＝HG，EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状．【应用】

（1）同【探究】的方法判断出即可判断出EF＝FG，即可得出结论；

（2）先判断出S△BCD＝4S△CFG，同理：

S△ABD＝4S△AEH，进而得出

再判断出OM＝ON，进而得出

【探究】四边形EFGH是平行四边形．

证明：

如图1，连接AC.

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，

综上，EF∥HG，EF＝HG.

故四边形EFGH是平行四边形．

（1）添加AC＝BD.

理由：

连接AC，BD，

∵AC＝BD，∴EF＝FG.

又∵四边形EFGH是平行四边形，∴▱EFGH是菱形．

故答案为：

AC＝BD.

（2）如图2，由【探究】，得四边形EFGH是平行四边形．

∵F，G分别是BC，CD的中点，

∴S△BCD＝4S△CFG.

同理，S△ABD＝4S△AEH.

∵四边形ABCD面积为5，

设AC与FG，EH相交于点M，N，EF与BD相交于点P.

∵OA＝OC，∴OM＝ON.

易知，四边形ENOP，FMOP是面积相等的平行四边形．

满分技法►此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，解【探究】的关键是判断出解【应用】的关键是判断出是一道基础题目．

1.阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：

如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题时，有如下思路：

连接AC.

结合小敏的思路作答：

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？

说明理由；

参考小敏思考问题方法解决一下问题；

（2）如图2，在

（1）的条件下，若连接AC，BD.

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：

如图，连接AC，

∴EF∥HG，EF＝HG.

（2）①当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．理由如下：

由

（1）知，四边形EFGH是平行四边形，

∴当AC＝BD时，FG＝HG.∴▱EFGH是菱形．

②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．

2.如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.

△BDF是等腰三角形；

（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．

（1）证明：

根据折叠的性质，得∠DBC＝∠DBE.

又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，

∴△BDF是等腰三角形．

（2）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.∴FD∥BG.

又∵DG∥BE，即DG∥BF，

∴四边形BFDG是平行四边形．

∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．

②∵AB＝6，AD＝8，

假设DF＝BF＝x，

∴AF＝AD－DF＝8－x.

∴在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋（8－x）2＝x2.

3.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.

（1）请判断：

FG与CE的数量关系是　　　　，位置关系是　；

（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请作出判断并给予证明；

（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请直接写出你的判断．

（1）FG＝CE　FG∥CE

（2）成立．

如图，过点G作GH⊥CB的延长线于点H，

∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°

∵∠GEH＋∠HGE＝90°

，∴∠DEC＝∠HGE.

在△HGE与△CED中，

∴△HGE≌△CED（AAS）．∴GH＝CE，HE＝CD.

∵CE＝BF，∴GH＝BF.

∵GH∥BF，∴四边形GHBF是平行四边形．

∴FG＝BH，FG∥CH.∴FG∥CE.

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝BC.∴HE＝BC.∴HE＋EB＝BC＋EB.

∴BH＝EC.

∴FG＝EC.

（3）仍然成立．

类型3关于圆的变式拓展问题

【例3】如图1至图4中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考

如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α.当α＝　　度时，点P到CD的距离最小，最小值为　　　.

探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO＝度，此时点N到CD的距离是　　　.

探究二

将图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图3，当α＝60°

时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．

【思路分析】在“思考”的图1中，当OP⊥CD时，点P到CD的距离最小；

在“探究一”的图2中，半圆形纸片不能再转动时，⊙O与CD相切于点Y；

在“探究二”的图3中，当PM⊥AB时，点P到CD的距离最小；

当与AB相切时，旋转角∠BMO的度数最大．图4中，当弦MP＝6时，α取最小值；

当与CD相切于点P时，即半径OP⊥CD于点P时，α取最大值．

思考：

根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α＝90度时，点P到CD的距离最小．

∵MN＝8，

∴OP＝4.∴点P到CD的距离最小值为6－4＝2.

90,2.

探究一：

∵以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图1，

∴MO＝4，OY＝4.∴UO＝2.

∴得到最大旋转角∠BMO＝30度，此时点N到CD的距离是2.

图1

30,2.

探究二：

（1）由已知得M与P的距离为4，

∴当MP⊥AB时，点P到AB的最大距离为4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2.当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，与AB相切，此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°

（2）如图2，由探究一可知，点P是与CD的切点时，α达到最大，

即OP⊥CD.此时延长PO交AB于点H，

图2

α最大值为

∠OMH＋∠OHM＝30°

＋90°

＝120°

如图3，当点P在CD上且与AB距离最小时，

MP⊥CD，α达到最小，连接MP，作OH⊥MP于点H，

由垂径定理，得MH＝3，在Rt△MOH中，MO＝4，

图3

∴∠MOH＝49°

.

∵α＝2∠MOH＝98°

，∴α最小为98°

∴α的取值范围是98°

≤α≤120°

满分技法►在拓展变化的图形中求最值（比如最大（小）距离，角的最大（小）度数，线段的最大（小）长度等），关键是确定相关图形的特殊位置；

确定几何图形中角度的取值范围，要考查它的最大角度和最小角度两种极端情况．另外，几何直观与生活经验的积累与训练也是不容忽视的，本题中很多结论如果用纯粹的数学原理严格论证起来，是很困难的，比如“思考”中，为什么OP⊥AB时点P到CD的距离最小？

“探究一”中，怎样说明半圆形纸片不能再转动时，⊙O与CD相切于点P？

“探究二”

（1）中，为什么MP⊥AB时点P到CD的距离最小？

为什么当与CD相切于点P时，旋转角∠BMO的度数最大？

（2）中，为什么当弦MP＝6时，α取最小值；

为什么当半径OP⊥CD于点P时，α取最大值？

对于这些问题，在考场上是没有时间、也没有必要深究的，其结论的得出主要依靠几何直观与生活经验．

满分变式必练►

1.如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，∠ACB＝90°

，∠BAC＝30°

，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．

（1）当点B与点O重合时，求三角板运动的时间；

（2）三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示．

①求证：

EF平分∠AEC；

②求EF的长．

（1）∵当点B与点O重合时，BO＝OD＋BD＝4（cm），

∴三角板运动的时间为2s.

（2）①证明：

如图，连接点O与切点F，则OF⊥AC.

∵∠ACE＝90°

，∴EC⊥AC.∴OF∥CE.∴∠OFE＝∠CEF.

∵OF＝OE，∴∠OFE＝∠OEF.∴∠OEF＝∠CEF，即EF平分∠AEC.

②由①知，OF⊥AC.

∴△AFO是直角三角形．

∵∠BAC＝30°

，OF＝OD＝3cm，

2.如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；

设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：

探究：

（1）若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°

时，圆心O′到射线AB的距离是　.

如图2，当α＝　　　　°

时，半圆O与射线AB相切；

（2）如图3，在

（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°

即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由；

发现：

（3）如图4，在0°

＜α＜90°

时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R，m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；

cosα＝　　　　；

（用含有R，m的代数式表示）

拓展：

（4）如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是　　　　，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值．（用m表示）

（1）如图1，作O′E⊥AB于点E，MF⊥O′E于点F，则四边形AMFE是矩形，EF＝AM＝1.

在Rt△MFO′中，∵∠MO′F＝30°

，MO′＝2，

如图2，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于点E，

则四边形O′EAF是矩形．

∴AE＝O′F＝2.

∵AM＝1，∴EM＝1.

（2）如图3，设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．

∵在Rt△O′MQ中，O′M＝R，∠MO′Q＝α＝30°

（3）如图4，设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．

在Rt△O′QM中，O′Q＝R·

cosα，QP＝m.

∵O′P＝R，

∴R·

cosα＋m＝R.

（4）如图5，当半圆与射线AB相切时，此时α＝90°

，之后开始出现两个交点；

当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时，∵MN′＝2AM，∴∠AMN′＝60°

.∴α＝120°

.∴当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是90°

<

α≤120°

90°

当N′落在AB上时，阴影部分面积最大，

3.如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为C.

阅读理解：

（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周；

（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°

，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°

，⊙O在点B处自

实践应用：

（1）在阅读理解的

（1）中，若AB＝2c，则⊙O自转　　　周；

若AB＝l，则⊙O自转　　　周．在阅读理解的

（2）中，若∠ABC＝120°

，则⊙O在点B处自转　　　周；

若∠ABC＝60°

（2）如图3，∠ABC＝90°

，⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A－B－C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转　　　周．

拓展联想：

（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？

请说明理由；

（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．

4.平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°

，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°

≤α≤60°

）．

发现

（1）当α＝0°

，即初始位置时，点P________直线AB上．（填“在”或“不在”）

求当α是多少时，OQ经过点B?

（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？

并指出这个最小值；

（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．

拓展　如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．

发现

（1）在

当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，

得∠DOQ＝∠ABO＝45°

∴α＝60°

－45°

＝15°

故α＝15°

时，OQ经过点B.

（2）如图1，连接AP，有OA＋AP≥OP，

当OP过点A，即α＝60°

时，等号成立．

∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.

∴当α＝60°

时，点P，A间的距离最小．

PA的最小值为1.

（3）如图1，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E.

在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，

∴∠POH＝30°

－30°

＝30°

由AD∥BC知，∠RPQ＝∠POH＝30°

∴∠RKQ＝2×

30°

＝60°

拓展∵∠OAN＝∠MBN＝90°

∠ANO＝∠BNM，

∴△AON∽△BMN.

探究半圆与矩形相切，分三种情况：

①如图3，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°

，作KG⊥OO′于点G.

在Rt△OSK中，