动态规划解决算法背包问题实验报告含源代码Word文档下载推荐.doc
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VisualC++6.0
二.实验内容
1.设计一个O（n^2）时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列
2.将算法分析题3—1中算法的计算时间减至O（nlogn）
3.给定n种物品和一个背包。
物品i的重量是，其价值为，背包容量为C。
问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
三．方案设计
1.动态规划的一个计算两个序列的最长公共子序列的方法如下：
以两个序列X、Y为例子：
设有二维数组f[i,j]表示X的i位和Y的j位之前的最长公共子序列的长度，则有：
f[1][1]=same（1,1）;
f[i,j]=max{f[i-1][j-1]+same（i,j）,f[i-1,j],f[i,j-1]}
其中，same（a,b）当X的第a位与Y的第b位相同时为“1”，否则为“0”。
此时，二维数组中最大的数便是X和Y的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
该算法的空间、时间复杂度均为O（n^2），经过优化后，空间复杂度可为O（n）。
核心代码：
voidLCSL（intm,intn,int*x,int*y,intc[][N],intb[][N]）
{
c[0][0]=0;
inti,j;
for（i=1;
i<
=m;
i++）
c[i][0]=0;
=n;
c[0][i]=0;
for（i=1;
for（j=1;
j<
j++）
{
if（x[i]==y[j]）
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
elseif（c[i-1][j]>
=c[i][j-1]）
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
else
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
cout<
<
c[m][m]<
endl;
}
voidLCS（inti,intj,int*x,intb[][N]）
if（i==0||j==0）return;
if（b[i][j]==1）
{
LCS（i-1,j-1,x,b）;
for（inty=1;
y<
i;
y++）
if（x[y]==x[i]）
return;
cout<
x[i]<
"
"
;
}
elseif（b[i][j]==2）
LCS（i-1,j,x,b）;
else
LCS（i,j-1,x,b）;
voidQuickSort（inta[],intp,intr）
if（p<
r）
intq=Partition（a,p,r）;
QuickSort（a,p,q-1）;
//对左半段排序
QuickSort（a,q+1,r）;
//对右半段排序
通过动态规划求出最长公共子序列，再用任意排序算法，得出最长单调递增序列，我选用的排序方法是快速排序。
2.一个长度为i的候选子序列的最后一个元素至少与一个长度为i-1的候选子序列的最后一个元素一样大，通过只想输入序列中元素的指针来维持候选子序列。
3.0/1背包问题:
现有n种物品，对1<
=i<
=n，第i种物品的重量为正整数Wi，价值为正整数Vi，背包能承受的最大载重量为正整数C，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C且总价值尽量大。
动态规划算法描述:
根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：
寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量，使得，而且达到最大。
0-1背包问题具有最优子结构性质。
假设是所给的问题的一个最优解，则是下面问题的一个最优解：
。
如果不是的话，设是这个问题的一个最优解，则，且。
因此，，这说明是所给的0-1背包问题比更优的解，从而与假设矛盾。
按照上面的情况，可以得到递推公式：
设最优值为m（i,j）。
max{m（i+1,j）,m（i+1,j-）+}
m（i,j）=
m（i+1,j）
m（n,j）=0
#include<
stdio.h>
intV[200][200];
//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
intmax（inta,intb）
if（a>
=b）
returna;
elsereturnb;
intKnapSack（intn,intw[],intv[],intx[],intC）
inti,j;
for（i=0;
V[i][0]=0;
for（j=0;
=C;
V[0][j]=0;
=n-1;
for（j=0;
if（j<
w[i]）
V[i][j]=V[i-1][j];
else
V[i][j]=max（V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]）;
j=C;
for（i=n-1;
i>
=0;
i--）
{
if（V[i][j]>
V[i-1][j]）
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
x[i]=0;
}
printf（"
选中的物品是:
\n"
）;
for（i=0;
n;
printf（"
%d"
x[i]）;
returnV[n-1][C];
voidmain（）
ints;
//获得的最大价值
intw[15];
//物品的重量
intv[15];
//物品的价值
intx[15];
//物品的选取状态
intn,i;
intC;
//背包最大容量
n=5;
printf（"
请输入背包的最大容量:
scanf（"
%d"
&
C）;
输入物品数:
n）;
请分别输入物品的重量:
scanf（"
w[i]）;
请分别输入物品的价值:
v[i]）;
s=KnapSack（n,w,v,x,C）;
最大物品价值为:
%d\n"
s）;
四．运行结果
1.
2.
3.
五．心得体会
通过这次实验，对动态规划法求最长公共子序列有更深的理解。
其实无非就是抓住书上的递推公式进行写，动态规划依赖于上一个或者上一行的解，就是在输出子序列的时候有问题。
自己对动态规划、贪心、回溯法、分支限界法的原理不是非常的理解，花了很多时间看了课本上的相关内容。
同时课本所提供的代码也是不能直接翻译过来用，当懂得算法的基本原理后，会发现数组下标会出错，所以在参考课本所提供的代码的同时，必须结合算法的实际情况对代码中的相关变量进行修改，这样才能充分利用课本所提供的代码完成本次实验。
通过本次试验，自己基本上掌握上述算法原理，达到实验的目的。
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