时滞中立型随机系统均方指数稳定性研究Word下载.doc
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有Markov跳变参数的同时又考虑了系统具有时变时滞和非线性干扰，该模型中所考虑的状态时滞和分布式时滞的均依赖于Markov跳变参数。
通过构造新的Lyapunov泛函，利用积分不等式方法，得到了具有Markov跳变的时变时滞中立系统的均方指数稳定的充分条件，通过数值例子说明了该结论是有效的。
2.针对一类带有饱和执行器的随机中立系统的均方指数稳定性问题。
考虑具
有Markov跳变的随机中立系统，同时又考虑了系统状态的时变时滞依赖和分布时滞效应，设计了一个无记忆饱和状态反馈控制，通过构造的Lyapunov-Krasovskii函数，利用时滞分割法使得系统在估计吸引区域中得到的最大时滞上界，利用LMI的方法，使得该系统指数稳定的充分条件具有较弱的保守性。
数值例子说明该方法的有效性。
关键词：
随机中立系统；
Markov跳变；
均方指数稳定；
非线性不确定干扰；
饱和执行器；
时变时滞；
分布式时滞
ABSTRCT
Recently,thestabilityanalysisofneutralsystems,whichhavedelaysinbothitsstateandthederivativesofitsstates,hasbeenwidelyinvestigatedbymanyresearchers.Asweallknow,time-delayexistswidelyinautomaticcontrolsystems,whichresultsinmainlyinstabilityandpoorperformanceofsystems.Stabilityisofimportancetodynamicsystems,whichisnotonlythedemandoftheneutralsystems,butalsonecessityoftherealisticmeaning.Therefore,thesystemshavebeenpaidattentionmoreandmoreinthelastfewyears.Manyfactorscancausetheinstabilityofsystems,forexample，stochasticperturbations、uncertaintiesparameters、therandomjumpsinsystemsandsoon.Therefore,itisnecessarytoaddthatfactorsintheneutralsystems.
Accordingtothecontroltheory,theexponentialstabilityinmean-squareforstochasticneutralsystemswithMarkovianjumpingparametersandmixedtime-delaysisstudiedinthisarticle.ByconstructinganewMarkovianjumpinglyapunov-krasovskiifunction,usingintegralinequalities,thestabilityconditionisderivedintermsofLIMS.Themaincontentsareasfollows:
1.Theexponentialstabilityisstudiedforaclassofstochasticneutralsystemwith
Markovianjumpingparametersanddistributeddelays.Thejumpingparametersareregardedasacontinuous-time,continuousstateMarkovprocessanddelaysisrelatedtoMarkovjumping.Basedonanewlyapunov-krasovskiifunctionalandstochasticanalysis,anewdelaystabilityconditionisderivedintermsoflinearmatrixinequalitybyusingsomeintegralinequalities,whichinfavorofexponentialstabilityinmean-squareoftheneutralsystems.Anumericalexampleshowthatthemethodiseffective.
2.Theexponentialstabilityinmean-squareofstochasticneutralsystemswith
saturatingactuatorsandmixedtimevaryingdelaysisconcerned.ThestochasticpropertyoftheMarkovprocessisfullyconsideredintheneutralsystemsandamode-dependentmemorylesssaturatingstatefeedbackcontrollerisdesigned.Byutilizingadelay-decomposition,aupperboundoftime-delayisobtained.Alessconservativeconditiontoensuringtheexponentialstabilityofthestochasticneutralsystemsisderivedbyusingalyapunov-krasovskiifunctionalontheverticesofthepolytopicdescriptionoftheactuatorsaturations.Numericalexamplesdemonstratetheeffectivenessofthisproposedmethods.
Keywords：
stochasticneutralsystems;
Markovianjumping;
Exponentialstabilityinmean-square;
nonlinearperturbations;
saturatingactuators;
time-varyingdelays;
distributiondelays
致谢
三年的时光是长的，同时又是短的。
研究生生活即将结束，回想起这三年历历在目，感慨万千。
首先，我要感谢的是我的导师焦贤发教授，在这三年里他对我的鞭笞，教诲与鼓励，让我获益匪浅，尤其是他的那种持之以恒的科研精神，一丝不苟的科研态度和广阔的科研思路，让我受用一生。
给我的以后的工作和学习指明了方向，并将受益终身。
其次，还要感谢数学学院的各位老师们在这三年期间给我的鼓励与帮助，感谢你们对我的学习做出指导，使我的思维得到了很大的启发，衷心感谢你们给我的支持。
我还要感谢数学创新实验室的给我提供了一个优良的学习环境，在这里我能够同师姐师兄，学弟学妹们一起学习，共同讨论，得到了很大的帮助和进步，尤其感谢徐启敏、刘宗润、陶玉、吴艳、石兵兵等以及全体应用数学的同学，三年里，我们一起成长，一起快乐，一起学习，我永远怀念这难得的三年时光。
我还要感谢我的父母，在这三年里除了给我经济上支持，精神上的支持是我前进的最大动力，还要感谢妻子谢明琴对我的默默关怀和支持，对他们表示深深的感谢。
最后感谢在论文答辩时出席的各位专家学者，感谢你们所给的批评指正，这些宝贵的意见是我以后前进的动力和方向。
作者：
岳生伟
2013年4月10日
目录
第一章绪论 1
1.1中立型系统的研究背景及意义 1
1.2中立型时滞系统稳定性的研究现状 3
1.2.1稳定性概述 3
1.3具有Markov跳变的中立型时滞系统的研究概况 4
1.3.1Markov跳变的提出 4
1.3.2具有Markov跳变的中立系统的研究发展概况 5
1.3.3具有饱和执行器的中立型时滞系统的研究现状 5
1.4本文的基本内容和安排 6
第二章预备知识 8
2.1稳定性基本理论 8
2.1.1Lyapunov意义下的运动稳定性的基本概念 8
2.1.2Lyapunov主要定理 10
2.2系统数学模型的基本概念 10
2.2.1随机过程的基本概念 10
2.3基本理论和重要的不等式引理 15
第三章具有Markov跳的时滞中立系统的均方指数稳定 17
3.1引言 17
3.2系统模型的描述与假设 17
3.3主要定理及证明 19
3.4数值算例 25
3.5小结 25
第四章具有饱和执行器的随机中立型时滞系统的指数稳定 26
4.1引言 26
4.2系统模型的描述和假设 26
4.3主要定理及证明 28
4.4数值算例 33
4.5小结 36
第五章总结 37
5.1全文总结 37
5.2进一步研究工作 37
参考文献 38
攻读硕士学位期间发表的论文 44
图表目录
图2.1Lyapunov意义下稳定性示意 9
图2.2渐进稳定的几何示意 9
图2.3具有饱和特性的动力系统 14
图2.4饱和函数示意图 14
表4.1最大时滞上界的取值 35
图4.2系统状态随时间变化轨迹 36
第一章绪论
在现代化的生产中，自动控制技术已经被广泛的应用于农业生产、工厂制造、金融交通、航空航天。
尤其是二十世纪后期，基本上实现了通信行业和金融行业全面自动化，太空探测仪的应用的促进了对太空的研究机遇等，同时这也推动了现代控制理论的发展及完善，并得到越来越多的应用。
工业生产实现综合自动化，能够节能减排，降低能耗，从而提高经济效益，可以解决如何使用最少的燃料或最短的时间能把宇宙飞船或火箭卫星准确无误的送到预定的轨道等诸如此类的控制性的问题。
由于现代计算机的高速发展和广泛应用，现代控制领域行业向着连续化，大型化，集成复杂化发展，也深刻的影响了控制理论和控制工程的发展方向，就产生了以计算机技术为核心的网络化控制方式。
因此，现代系统的控制方法就越来越多的应用到生活每一个领域，成为人们研究和关注的焦点[1-4]。
1.1中立型系统的研究背景及意义
在实际的工程问题中，实现控制系统的自动化，其稳定性是不可避免的受到各种因素的干扰的，如系统中总是包含不确定的非最小相位对象、外界的随机干扰以及各种输入信号的限制等都会在一定程度上影响系统达到稳定状态。
因此，在控制系统理论中，对实际的控制过程建立相应的数学模型时，就必须考虑到这些因素对实际的工程的应用的影响。
时滞是普遍存在的一个现象，表现为一个系统的当前状态的变化率依赖于过去的状态。
在控制系统理论中，具有这种特征的系统被称为时滞系统。
实际上任何的过去的状态都会对当前的状态产生一定的影响，如金融系统，机械传输系统，网络控制系统，遗传问题，电路信号传输系统，生产制造系统等等[5-6]。
时滞是导致系统不稳定的一个重要的原因之一。
因此，如何在建立动力学系统模型时消除时滞对系统所造成的影响从而达到稳定成为热点问题，受到研究者的关注[7-9]。
产生时滞的原因是有很多的，主要有：
第一，在形成的动力系统中，在设备之间的衔接过程中所产生的固有的时滞现象，例如具有反馈控制器、显示器、测量仪器等的动力系统；
第二，控制系统本身所具有的时间滞后特性，如神经网络系统、生物环境系统、电子电路及机械生产制造等。
时间的滞后对系统的稳定性能造成了极为不利的影响，在这个滞后的时间内，动力系统的特性趋向如震荡等形式，并且滞后的时间越长，可控性就变得越难。
既使是在特定的系统中加入时间滞效应，那么也要对其进行有效的控制。
因此，大量的研究者在实践的基础上做了大量的研究，提出了许多行之有效的控制方法，如：
鲁棒控制、Smith预估控制、自适应控制、大林算法、预测控制、变结构控制、智能控制等方法[10-12]。
在控制系统理论中，建立一个正确的数学模型反应动力系统显得尤其的重要。
许多的动力系统都是用微分方程来建立模型，并且是考虑当前的状态和过去的状态没有联系，这并不能精确的描述实际的系统模型。
即形如如下的一阶微分方程：
（1.1.1）
其仅仅只是体现了和本身之间的关系，这于实际有很大的误差。
从连续的角度看，带有时滞的系统是一个无穷维的动力系统模型，其特征方程是超越方程，从离散的角度看，时滞系统的维数随着时滞的增加而增加，从而增加了建立系统模型的难度。
对于时滞系统的基本理论在二十世纪五六十年代就已经建立，研究成果非常的丰富[13-16]。
到目前为止，常见的时滞系统模型有：
脉冲时滞系统，Lurie时滞系统，奇异时滞系统，中立时滞系统以及随机时滞系统，它们的系统模型都是微分方程的形式，其一般形式如下：
（1.1.2）
其中：
表示系统状态空间，表示系统时滞，，初始条件为定义在上的连续函数。
实际生活中，诸如城市交通管理系统、电路信号系统、股票价格波动、销售系统、电磁雷达系统等控制系统中都会不可避免的受到外界的随机因素的扰动，如正是因为随机因素的干扰，影响了Lotka-Volterrra时滞系统预期所要达到的效果[17]。
航天探测器在探索外空时，会受到各种外界不可预测的随机因素的干扰，影响其接受或者发送稳定的信号。
因此，在统模型中加入随机干扰因素更加能精确的定量分析实际的动力系统。
二十世纪，随着人们对随机过程和微分方程不断的研究，在各个领域人们建立随机数学模型来刻画现实问题[18-20]，直到伊藤建立了完整的随机理论，在控制系统理论中逐渐引入了随机系统模型，使得该理论得到了不断发展和成熟[21-22]。
伊藤随机微分模型来描述随机时滞系统：
（1.1.3）
其中表示随机因素干扰，是定义在概率空间上的布朗运动。
中立型时滞系统是一类特殊的时滞系统，该系统状态和状态的导数中都存在时滞项，能更准确地描述了动力系统，同时处理起来也变得复杂的多，该系统不仅客观的存在，如真空二极管震荡模型、物体追踪模型、非线性流体增长系统模型等,而且常常被应用到实际的物理系统中，如具有反复控制的系统就是典型的中立系统、诸如微波振子、喷气式飞机的引擎系统等都是中立系统[23-25]，其一般的微分形式如下：
（1.1.4）
其中，表示系统状态时滞，表示中立时滞。
中立型是一类特殊的时滞系统，该系统本身也具有自己的特性，其数学模型中具有中立时滞和状态时滞，一般式（1.1.4）中，离散时滞和中立时滞在系统模型中可以相等或者不相等，同时它们可以是常量也可以是变量，随着研究的不断深入，中立时滞模型已经取得了丰富的成果[26-29]，自动控制越来越多的被应用到实际的生产生活中去，对控制系统理发展提出了更高的要求，对中立型时滞系统的研究具有深刻的理论价值和应用价值。
1.2中立型时滞系统稳定性的研究现状
对于一个动力学系统模型，稳定性成为衡量一个系统的首要标准，是一个系统正常工作的前提条件。
基于本文研究的内容，下面分别从几个方面对系统的稳定性及采用哪些方法可以获得系统稳定等的国内外研究状况加以概括。
1.2.1稳定性概述
稳定性指的是一个控制系统的系统状态在相对于内部或者外部干扰时是否具有维持自身系统稳定的性能，是人们研究动力学系统一个最基本的问题。
起初，稳定性属于物理力学的范畴，1892年，数学家Lyapunov在“运动稳定性的一般问题”一文中给出了运动稳定性的精确描述，为运动稳定性基本理论开辟了先河，从此成为研究控制系统稳定性理论中最具重要和普遍的理论—A.M.Lyapunov方法[30]。
控制系统的运动稳定性有两类：
第一是基于输入和输出的外部稳定，第二是基于状态空间的内部稳定。
李亚普诺夫创立的稳定判定方法有两种：
间接法和直接法。
间接法是一种在小范围内把系统模型近似线性化，这种方法是对实际的系统具有很大的局限性。
直接法是使用最广泛的方法，直接的去判定系统内部稳定的一种方法。
二十世纪六十年代，李亚普诺夫第二方法被引入到动力系统中，通过构造合适的利亚普诺夫函数的方法并判断是否是负定矩阵，导出稳定性判据，方法简便清晰，成为现代控制系统领域的稳定性研究的有效方法。
随着科技进步，理论的深刻研究，该方法已经被拓展到非线性时滞系统、随机时滞系统中去。
到目前为止，研究系统稳定性分析的方法分成三大类[31]：
第一，无限维系统理论方法；
第二，代数系统理论方法；
第三，泛函微分方程理论方法。
第三种方法是基于系统过去的状态对当前系统状态的影响，利用有限维空间和泛函空间的去描述系统的状态变化，成为研究时滞系统稳定性分析的主要工具。
在控制系统领域内，研究时滞系统的稳定性分析的方法主要有两大类：
第一是频域法，其是基于方程的特征根的分布或者复Lyapunov矩阵函数方程的解来判定系统的稳定[32]。
但是对于处理具有多变量的多维系统、中立系统时等复杂系统时，该方法具有很大的局限性，因此对于给系统设计一个反馈控制的时候，其很难处理具有带有时变时滞的系统。
第二是时域法，二十世纪五十年代前后，由Krasovskii和Razumikhin分别提出，其主要包含Lyapunov-Krasovskii泛函法和Razumikhin函数法，随着研究的进一步深入，利用线性矩阵不等的方法[33]，通过构适当的李亚普诺夫泛函并判定其弱无穷小算子的定号性，判定系统是否稳定。
对于时滞系统，稳定性是首要考虑的因素，那么如何在一定时滞范围内，使得得到的稳定判定条件具有较小的保守性，成为研究的重点问题。
为了获得系统稳定的时滞最大上界，研究者们提出了很多方法：
交叉项界定方法、模型转换方法[34]、Lyapunov-Krasovskii泛函法、自由权矩阵法[35]、积分不等式法等等。
对于中立时滞系统，由于其中立时滞项和状态时滞项是同时存在的，之前大量的研究者研究了与中立时滞项无关的系统。
引入中立项时滞之后，需要同时考虑到差分算子以及中立时滞项对获得最大时滞上界的影响，使得该模型的稳定的充分条件获取变得复杂和困难，随着研究的进一步深入，中立项时滞相关的系统有丰富的研究并获得了很好的结果[36-37]。
1.3具有Markov跳变的中立型时滞系统的研究概况
众所周知，中立型系统是现代控制理论中的一个重要的研究领域，随着科技不断更新和对系统研究的深入，为了使建立的数学模型更加精确，就必须在数学模型系统中考虑更多的因素，这使得对模型的稳定性分析变得困难复杂。
近几年来，对具有Markov跳变的时滞系统稳定分析成为研究的热点，对带有Markov跳变的时滞中立系统的稳定性条件的推导越来越多受到学者们的关注，并取得了丰富的研究成果[38-39]。
1.3.1Markov跳变的提出
实际的系统控制中，如相互连接的系统之间的转换、外界因素的突然干扰、控制系统的突发故障等等的模型，因为这些突然的随机突变而引起系统模态的改变，称之为Markov跳变现象[40]。
自从1961年Lidskii和Krasovskii第一次把这种跳变的因素引入到线性系统模型中去，因此具有Markov跳变的时滞系统在控制领域成为研究的热点[41-42]。
其简单的数学模型如下表示：
（1.2.1）
其中表示系统状态空间向量，表示系统模态。
表示依赖于模态的具有适当维数的矩阵。
是定义在上的取值于有限状态空间中取值的右连续Markov过程，密度矩阵满足
（1.2.2）
其中且，表示的是由状态到状态的模态转移率，且。
1.3.2具有Markov跳变的中立系统的研究发展概况
Markov跳变是一个随机过程，它遵循随机过程论中相关规律，伴随着伊藤对随机过程理论的建立，在动力系统中加入具有随机特性的Markov跳变，从而可以将系统模型写成随机微分方程或者差分方程的形式，利用Lyapunov-Krasovskii泛函法去分析其稳定性。
近年来，大量的研究者对具有具有Markov跳变的中立系统进行了研究，取得了很好的成果。
ShupingHE[43]等通过选择合适的Lyapunov泛函，利用积分不等式的方法获得了含有Markov跳变中立系统稳定的充分条件。
Qiu等人研究了带有马尔科夫跳变的时变时滞的中立系统，通过自由权矩阵估
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