偶数阶幻方填法Word格式.doc
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奇数阶幻方的一种用公式表达的构造方法：
设x是要填入的数，（xx,yy）是坐标。
坐标如何确定呢？
k=（x-1）divn+（n+3）div2+（x-1）
yy=k-（k-1）divn*n
p=（n+1）div2+（x-1）-（x-1）divn
xx=n+1-p+（p-1）divn*n
二、双偶阶（4k）阶幻方的构造方法。
就是说，阶数可以被4整除。
看看4阶幻方的制作方法：
先把数字，按顺序写（从左到右，从上到下）：
4
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10
11
12
13
14
15
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然后把对角线，换成互补的数字。
定义：
互补：
如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
16
13
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人们从4阶幻方的制作方法，找到了构造双偶阶幻方的方法：
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。
把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，换成互补的数字，就构成幻方。
事实上，有些小方阵的对角线是连着的。
但是因为没有办法画图，我只能这样子描述。
双偶阶幻方另一种用PASCAL程序语句表达的构造的方法如下:
fori:
=1tondo
forj:
begin
ifjmod4>
1thenm:
=1
elsem:
=0;
k:
=n-i-（n-2*i+1）*m;
ifimod4>
L:
=n-j+1-（n-2*j+1）*m;
a[i,j]:
=k*N+L;
end;
三、单偶阶（4k+2）幻方的构造
阶数是偶数，但是，又不能被4整除。
这是最难的一种幻方。
一种构造n=4k+2幻方的方法：
（1）先排出4k的双偶阶幻方
（2）根据幻方的性质，每个数都同时加上8k+2
（3）把它扩展成为4k+2的方阵。
这样，四周包围着一圈。
我们只要把
1,2,3……,8k+2,（4k+2）^2,（4k+2）^2-1,……,（4k）^2+1+8k+2
这些数字，填入最外一圈，使得：
对角线两端，每行、每列两端数字互补。
当然，最后圈的两横，两列各数之和要等于变幻常数。
以制作6阶幻方为例：
先制作出4阶幻方。
方阵的每个数字，加上8k+2=10
再把它扩大成6阶，如下图：
26
12
23
21
20
18
19
17
22
24
25
1,2,3,……,9,10,
36,35,34,……27
填入外圈。
不过，当n较大时，外圈的填法也不太容易。
有一种公式来填外圈。
坐标（j,i）为j行i列的。
先固定填下这10个数：
a[1,1]=1
a[n,1]=4
a[n-1,1]=10
a[2,n]=3
a[3,n]=5
a[4,n]=7
a[n,n-2]=2
a[n,n-1]=9
a[1,2]=6
a[1,3]=8
当n=4k+2时，
a[j,i]=
11,12,…,k+9
（j=1,
i=4..k+2）
k+10,k+11,…,2k+8
（j=5..k+3,
i=n）
2k+9,2k+10,…,3k+7
（j=n,i=2k+2..3k）
3k+8,3k+9,…,5k+5
（j=2k+3..4k,i=1）
5k+6,5k+7,…,6k+4
（j=n,
i=3k+1..4k-1）
6k+5,6k+6,…,7k+3
（j=k+4…2k+2,
i=n）
7k+4,7k+5,…,8k+2
i=k+3..2k+1）
按公式算出来后，实际上外圈已经填好了一半了。
剩下来的工作，只要把剩下的相对应元素，填下去。
（同行两端的数相对应、同列两端的数相对应、两条对角线两端的数相对应，每对之和为n*n+1）。
介绍另外一种构造单偶阶幻方的方法：
<
1>
基本图（是个6阶方阵）
42
12
13
43
12
42
43
13
这个方阵要把它按2*2把大方阵分割成3*3个格，每个格子里4个数都是1,2,3,4，只是方向上不同。
2>
如果要作的幻方不是6阶，是更大的阶数：
每次同时在最上面、最下面加入下面方阵：
每加一次，多出4行来，直至想要的阶数。
这样加后是个长方形方阵，左边、右边怎么办？
左边都用
同时，右边都用
填充，每次多出4列来，直至想要的阶数。
下面是加成10*10方阵的例子：
如果把每2*2的小格子四个数，看成一个格子，这是一个2k+1奇数阶方阵。
画个（2k+1）*（2k+1）的格子吧，格子画大一点，我们要按奇数阶幻方的填法，填写这些格子，只不过每次要填写的是四个数。
方向跟着制作出来的参考图方向一样。
例：
我们要做一个6阶的幻方。
参考图当然是用<
基本图，不需要迭加了。
然后，列成3*3个大格子，大格子的顺序我们按奇数幻方的顺序填写，小格子里的顺序按1,2,3,4这四个数字的方向填写，按顺序每次填入4个数：
**
**
56
87
=============================================
1210
56
1614
87
1315
…………
继续直至填完。
三、练习
1、用1、4、7、10、13、16、19、22、25填出三阶幻方。
2、用95、85、75、65、55、45、35、25、15填出三阶幻方。
3、用1—81八十一个自然数填出一个九阶幻方。
4、用1/2、1/3、2/3、1/4、3/4、1/6、1/12、5/12、7/12九个分数摆一个三阶幻方。
奇数阶幻方程序
/**
*n阶幻方程序
*完成者：
meteor135
*完成日期：
2003.9.8
*编译环境：
VC6.0
*/
#include<
iostream.h>
iomanip.h>
math.h>
voidshowFangzhen（intn）;
intmain（）
{
//输出10组幻方
for（intn=0;
n<
10;
n++）
showFangzhen（2*n+1）;
cout<
"
Pressentertoquit!
;
cin.get（）;
return0;
}
voidshowFangzhen（intn）
if（!
（n%2））return;
inti,j,**array;
//为指针分配动态内存
array=newint*[n];
for（i=0;
i<
n;
i++）
array[i]=newint[n];
//初始化数组
for（j=0;
j<
j++）
array[（（n-1）/2+i-j+n）%n][（3*n-1+j-2*i）%n]=i*n+j+1;
//or
//array[（n+2*i-j）%n][（（n-1）/2+n+j-i）%n]=i*n+j+1;
//输出n阶幻方
n<
阶幻方:
endl;
j<
j++）
setw（int（log10（n*n））+2）<
array[i][j];
//释放动态内存
delete[]array[i];
//原来是deletearray[i];
delete[]array;
可能是n阶幻方的程序
这是我的幻方程序，在TC3。
0下通过可以动态显示其中M=n*n+1（n为幻方阶数）？
？
#include<
stdio.h>
dos.h>
conio.h>
#defineN3
#defineM226
voidmain（）
{textmode（C40）;
clrscr（）;
intx,y,p,q,n,num=1;
inta[M][M];
intflag=0;
intk,s;
for（k=0;
k<
=M-1;
k++）
for（s=0;
s<
s++）
a[k][s]=0;
printf（"
n=?
）;
while（flag==0）
scanf（"
%d"
&
n）;
if（n>
=1&
&
=M-1&
n%2!
=0）
flag=1;
//
inputerror!
7）
textmode（C80）;
gotoxy（（n/2+1）*N,N）;
num）;
x=n/2+1;
y=1;
a[x][y]=num;
num++;
while（num<
=n*n）
if（p=x,x-1<
1）
x=n;
else
x--;
if（q=y,y-1<
y=n;
y--;
if（a[x][y]==0）
a[p][q+1]=num;
x=p;
y=q+1;
gotoxy（x*N,y*N）;
delay（300）;
charch;
ch=getchar（）;
任一阶幻方
stdlib.h>
voidswap（int*a,int*b）
intt;
t=*a;
*a=*b;
*b=t;
voidhf1（intn,int*p）
intm=1,i,j,k,l;
i<
i++）
*（p+i*n+j）=0;
for（i=0,j=（n-1）/2;
）{
*（p+i*n+j）=m++;
if（m>
n*n）
break;
k=i-1;
l=j+1;
if（k==-1）
k=n-1;
if（l==n）
l=0;
if（*（p+k*n+l）!
=0）{
i++;
continue;
i=k;
j=l;
voidhf2（intn,int*p）
inti,j,*q;
q=malloc（n*n/2）;
hf1（n/2,q）;
n/2;
i++）{
j++）{
*（p+i*n+j）=*（q+i*n/2+j）;
*（p+（i+n/2）*n+j+n/2）=*（p+i*n+j）+n*n/4;
*（p+i*n+j+n/2）=*（p+（i+n/2）*n+j+n/2）+n*n/4;
*（p+（i+n/2）*n+j）=*（p+i*n+j+n/2）+n*n/4;
（n/2-1）/2;
swap（p+i*n+j,p+（i+n/2）*n+j）;
for（j=n-1;
j>
=n-（n-4）/4;
j--）
swap（p+（n/2-1）/2*n,p+（3*n/2-1）/2*n）;
swap（p+（n/2-1）/2*n+（n/2-1）/2,p+（3*n/2-1）/2*n+（n/2-1）/2）;
voidhf3（intn,int*p）
inti,j,k,m=1;
k+=4）{
for（i=k,j=0;
i++,j++）{
if（i==n）
i=0;
swap（p+i*n+j,p+（n-1-i）*n+n-1-j）;
for（i=k,j=n-1;
=n/2;
i++,j--）{
inti,j,n,*p;
Entern:
p=malloc（2*n*n）;
if（n%2!
hf1（n,p）;
elseif（n%4!
hf2（n,p）;
hf3（n,p）;
%-4d"
*（p+i*n+j））;
\n\n"
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