机械优化设计Word文档格式.docx
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个使目标函数值下降最快的随机方向作为搜索方向进行搜索。
约束变尺度法是一种最先进的非线性规划计算方法，它将二次规划、线性
近似、拉格朗日乘子、罚函数、变尺度以及不确定搜索这些方法有效地结合在
一起，其基本思想是首先对优化问题产生拉格朗日函数，然后利用该函数在每
个迭代点构造一个带有不等式约束条件的二次规划子问题，由于该子问题不易
求解析解，所以只能借助于数值方法求解其极值，以每次迭代的二次规划子问
题的极值解作为此次迭代的搜索方向，同时采用不精确一维搜索确定搜索步长
因子，产生新的迭代点，经过一系列迭代后，最终逼近原问题的最优解。
广义简约梯度法是一种求解一般非线性规划问题的有效方法，其基本思想
是在优化问题中引进松弛变量，在起作用的约束集合中，将不等式约束转化为
等式约束，并且保留变量的上、下边界值，将原问题转化为只有等式约束和边
界约束的数学规划问题。
将设计变量分为基变量和非基变量两部分，利用目标
函数对非基变量的简约梯度构造该次迭代的搜索方向，沿此方向进行一维搜索
以确定步长，从而获得新的迭代点。
对于非线性约束条件，需要不断运用牛顿
法向边界投影，以确保起作用约束条件的交界处向最优点逼近。
1.2.2间接法
惩罚函数法（Sequential
Unconstrained
Minimization
Technique，SUMT），
即
SUMT
是一种使用广泛的、有效的间接解法，其基本思想是将约束优化问
题中的等式和不等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成一个新
的目标函数—惩罚函数，然后通过求解该惩罚函数的无约束极小值，以期望得
到原问题的约束最优解。
根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数又可分
为内点惩罚函数法、外点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。
增广拉格朗日乘子法也是求解非线性优化问题的有效方法之一，其主要思
想是把惩罚函数与拉格朗日乘子法相结合，即在惩罚函数中引入拉格朗日乘子
或者说是在拉格朗日函数中引入惩罚项。
当采用外点惩罚函数时，试图在惩罚
因子不超过某个适当大的正数的情况下，通过调节拉格朗日乘子，逐次求解无
约束优化问题的最优解，并使之逐渐逼近原约束问题的最优解。
1.3现代优化方法
随着
20
世纪
70
年代初期计算机复杂性理论的形成，科学工作者发现并
证明了大量来源于实际的组合最优化问题是非常难求解的，针对大规模组合优
化问题，传统优化方法已显得无能为力了。
80
年代初期，应运而生出
现了一系列现代优化方法，如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
它们的
共性是基于客观世界中一些自然现象，通过与组合最优化求解进行类比，找出
一些共性，以此为基础建立相应的算法。
这些算法的目标是希望能够求解
NP
完全问题的全局最优解，具有一定的普适性，可用于解决大量实际应用问题。
其基本内容介绍如下。
2.遗传算法
遗传算法（Genetic
Algorithm,
GA）是模拟生命进化机制搜索和优化,并将自然
遗传学和计算机科学结合的优化方法。
美国Michigan大学的JOHNHHOLLAND
（1975）首先提出了GA的概念和方法,其依据是以生物界中基因的遗传变异及达尔
文的自然选择和适者生存原理,对问题进行随机的进化操作,逐步迭代寻求问题最
优解的方法,目前应用范围几乎涉及到传统优化方法难以解决的优化问题。
2.1遗传算法的基本概念
一般的遗传算法由四个部分组成:
编码机制、控制参数、适应度函数、遗传
算子。
（1）编码机制（encoding
mechanism）GA不是对研究对象直接进行讨论,而是通
过某种编码机制把对象统一赋于有特定符号按一定顺序排成的串（string）。
正如
研究生物遗传,是从染色体着手,染色体则是由基因排成的串。
串的集合构成群体,个
体就是串。
在优化问题,一个串对应一个可能的解;
在分类问题中,串可解释为一
个规则。
目前有二进制编码、实数编码、结构编码等。
（2）适应度函数（fitness
function）优胜劣汰是自然进化的原则。
优、劣要有标
准。
在GA中,用适应度函数描述每一个个体的适宜程度。
引进适应度函数的目
的在于可根据其适应度对个体进行评估比较,定出优劣程度。
适应度函数可分为
原始适应度函数和标准适应度函数。
原始适应度函数是问题求解目标的直接表
示,通常采用问题的目标函数作为个体的适应性度量;
标准适应度函数是将原始适
应度函数作一个适当的变换以转换成标准的度量方式,即皆化为极大化情形,并且
适应值非负。
（3）遗传算子（genetic
operator）遗传算法有三个遗传算子:
选择、交叉、变异。
（a）选择算子 也称复制（reproduction）算子,它的作用在于根据个体的优劣程
度决定它在下一代是被淘汰还是被选择。
一般的说,适应度高即优良个体有较大
的选择机会,而适应度小即低劣的个体继续存在的机会也较小。
选择策略有适应
值比例选择、排名选择、局部竞争机制选择等。
（b）交叉算子 交叉的最简单方法是从群体中随机取出两个字符串（父辈个体）,
并随机确定一个交叉点,将交叉点两个字符串的右段互相交换,从而形成两个新串
（后代）。
杂交方式一般有一点交叉、两点交叉、均匀交叉、基于顺序交叉等。
（c）变异算子 它的作用是随机地改变字符串的某个位置上的字符。
如在二
进制编码的字符串中,某位置字符0变为1,或1变为0。
变异有均匀性变异、正态性
变异、非一致性变异、自适应性变异和多级变异。
（4）控制参数（control
parameters）在GA的实际操作时,需适当确定某些参数的
值以提高选优的效果。
这些参数是:
（a）字符串所含字符的个数L,即串长。
（b）每一代群体的大小N,即所包含字符串的个数,也称群体的规模。
（c）交叉率（crossover
rate）Pc,即施行交叉算子的概率。
（d）突变率（mutation）Pm,即施行突变算子的概率。
根据经验,对于算子执行重叠的算法,即遗传操作产生的新的个体替代上一代
中部分较差的个体,而生成新的种群,算法的主要控制参数取值范围一般为:
N=20~100,Pc=0·
60~0·
95,Pm=0·
001~0·
01（或取1/L,此处L为串长）;
对于算子执行非
重叠的算法,即用后代替换掉整个群体产生新种群,取值范围一般为:
5~0·
7,Pm=0·
2~0·
4。
2.2遗传算法的实现
目前,遗传算法经过改进已有各种不同形式的遗传算法,一般把John
Holland
于1975年提出的遗传算法称作标准的遗传算法（Simple
GA,简称GA）,现就SGA应
用在机械优化设计的主要步骤简述如下。
（1）建立优化数学模型。
就是把机械设计的具体问题用数学关系表达出来及
准确地描述出来。
具体地讲,就是确定设计变量、目标函数以及约束函数。
其数
学模型为
maxF（X） X=[x1,x2,…,xn]T
s·
t·
gu（X）≤0 u=1,2,…,p
hv（X）=0 v=p+1,p+2,…,p+m
（2）编码的确定。
遗传算法求解问题不是直接作用在问题的解空间上,而是利
用某种编码表示。
GA在求解之前,首先确定合适的编码方式,如二进制编码,将问
题的所有设计变量编码成子串,再将子串连成一定长度的串,即染色体,一个串对
应一个设计点,即设计空间的一个解。
选择何种编码表示有时将对算法的性能、
效率等产生很大的影响。
（3）适应函数的确定。
适应值是对解的质量的一种度量,用以反映个体对问题
环境适应能力的强弱。
适应函数是个体竞争的测度,控制个体的生存的机会。
一
般以目标函数的形式表示。
（4）选择策略的确定。
选择体现了优胜劣汰的自然法则,适应值越高的个体被
选择的机会就越多。
一般采用适应值比例选择,具体地讲,个体的选择概率为
pi=fi/∑ni=1fi,其中fi为个体的适应值,∑ni=1fi为个体适应值的总和。
实践证明,不
同的选择策略对算法的性能也有较大的影响。
（5）交叉。
交叉是遗传算法的重要的遗传算子,目的是产生新的基因组合,形
成新的个体。
SGA采用的是一点交叉,即随机地在两个父串上选择一个交叉点,然
后交换这两个对应子串。
如设两个父串为θ1=（10111010）,θ2=（01011011）,随机交
叉点是5,交换θ1,θ2的子串（010）与（011）得到两个新串θ′1=（10111011）和
θ′2=（01011010）。
交叉体现了自然界中信息交换的思想。
（6）突变。
交叉完成后即可进行突变操作,突变是按位进行的,即以概率pm改
变串上的某一位,以二进制串为例:
串0101001突变0101101突变的目的在于增强
GA的搜索最优解的能力,通过突变操作,可确保群体中个体的多样性,有效的防止
算法的早熟收敛。
但过多的突变会使GA退化为随机搜索。
（7）终止判据的确定。
目前,确定遗传算法终止条件的主要判据有以下几个:
（a）判断GA进化是否达到了预定的最大代数;
（b）GA是否找到了较优的个体,即问题的较优的解;
（c）个体的适应值是否已趋于稳定,而无改进。
（8）最优解的确定:
若找到的最优解或次优解满意,则结束;
否则,修改数学模型
或调整GA的各控制参数,直到求出最优解。
2.3遗传算法的特点
遗传算法具有十分顽强的鲁棒性，这是因为遗传算法与其它普通的优化搜
索方法相比，采用了许多独特的技术和方法，其主要特点如下：
（1）GA
的自组织、自适应和自学习性（智能性）。
应用遗传算法求解问
题时，在确定编码方案、适应度函数以及遗传算子后，遗传算法将利用进化过
程中获得的信息自行组织搜索，由于基于自然系统的选择策略为“优胜劣汰”，
因而适应度大的个体具有较高的生存概率。
通常适应度大的个体具有更适应环
境的基因结构，再通过基因重组和基因突变等遗传操作，就可能产生更适应环
境的后代。
遗传算法的这种自组织、自适应特性，使它同时具有能根据环境变
化来自动发现环境的特性和规律的能力。
自然选择消除了算法设计过程中的一
个最大障碍，即需要事先描述问题的全部特点，并要说明针对问题的不同特点
算法应采取的措施。
因此，利用遗传算法可以解决复杂的非线性规划问题。
（2）GA
的处理对象不是参数本身，而是参变量编码后的染色体串。
编码
操作使得遗传算法可直接对结构对象进行操作。
所谓结构对象泛指集合、序列、
矩阵、树、图、链和表等各种一维或二维或三维结构形式的对象。
这一特点，
使得遗传算法具有广泛的应用领域。
通过对树结构的操作，用遗传算法可得到
用于分类的最佳决策树。
（3）通过对任务序列的操作，遗传算法可用于规划，而通过对序列的处理，
遗传算法可自动构造顺序控制系统。
（4）GA
同时搜索解空间中的一群点，而非单个点。
如同在解空间中撒网
一样，GA
同时对空间中的不同区域采样，并构成不断进化的群体序列，或者
说
GA
并行地爬多个山峰。
而许多传统搜索方法都是单点搜索方法，即通过一
些变动规则，问题的解从搜索空间中的当前解转移到另一个解。
对于多峰值分
布的搜索空间常常会陷于局部的某个单峰的优化解。
而遗传算法同时处理多个
解，并行爬多个峰，从而使其具有较好的全局搜索性能，减少陷入局部解的可
能。
同时，这使遗传算法本身也十分易于并行化。
（5）在
中，基本上不用搜索空间的知识或其它辅助信息，而仅用适
应度函数值对个体进行评估，并在此基础上进行遗传操作。
需要着重提出的是：
遗传算法的适应度函数不仅不受连续可微的约束，而且其定义域可以任意设定。
对适应度函数的唯一要求是：
对于输入可计算出加以比较的正的输出，这一特
点使得遗传算法的应用范围大大扩展。
不是采用确定性规则，而是采用概
率的变迁规则来指导搜索方向。
遗传算法采用概率仅仅是作为一种工具来指导
其搜索过程朝着搜索空间的更优的解空间移动。
因此遗传算法虽然看起来采用
的是一种盲目的搜索方法，但实际上具有明确的搜索方向。
（6）GA
对给定问题，可以产生许多潜在解，最终选择可以由使用者确定。
遗传算法对于确认可替代解集而言是特别合适的。
同时，GA
算法亦存在过早收敛和易陷入局部最优的问题。
基于上述特点，GA
算法适用于大规模、高度非线性的不连续多峰函数的
优化以及无解析表达式的目标函数的优化。
2.4改进的遗传算法
如何提高遗传算法跳出局部最优的能力和如何提高遗传算法的收敛速度成
为近年来遗传算法的研究热点,许多学者从不同的角度对遗传算法进行了改进,使
遗传算法的寻优能力有了不同程度的提高。
而对遗传算法的研究主要集中在数
学基础、各环节的实现方式以及与其他算法的结合方面,其中,尤以遗传算法与其
他算法相结合方面的研究最为引人关注。
由于遗传算法具有开放式的结构,与同
题的关联性不大,很容易和其它算法进行结合,所以融合了其它的算法思想和遗传
算法思想的混合遗传算法成了目前改进遗传算法研究的一个重要方向。
模拟退火遗传算法:
模拟退火算法的基本思想是通过模拟高温物体退火过程
的方法,来找到优化问题的全局最优或近似全局最优解。
遗传算法的局部搜索能
力较差,但把握搜索过程总体的能力较强,而模拟退火算法具有较强的局部搜索能
力,并能使搜索过程避免陷入局部最优解,但它却对整个搜索空间的了解不多,不
便于使搜索过程进入最有希望的搜索区域,从而使得模拟退火算法的运算效率不
高。
但如果将遗传算法和模拟退火算法相结合,互相取长补短,则有可能开发出性
能优良的新的全局搜索算法。
目前,已有许多学者将退火机制引入到遗传操作中,
使遗传操作产生优良个体的概率增加,并使遗传算法的寻优能力有了明显的提高。
模糊遗传算法:
模糊遗传算法,即融合模糊优化设计思想的遗传算法,它把模
糊优化和遗传算法优化结合起来,构成一种混合优化的设计方法。
其目的是利用
模糊优化设计的优点,克服一般遗传算法优化设计存在的不足,从而使得系统的优
化设计更灵活、方便,取得好的设计效果。
模糊遗传算法运用模糊控制的思想,来
自适应改变遗传算法的种群规模、交叉概率、变异概率、适应度函数以及控制
策略等。
混沌遗传算法:
混沌是自然界广泛存在的一种非线性现象,它充分体现了系统
的复杂性。
混沌运动具有类似随机变量的杂乱表现,具有随机性。
混沌运动的上
述性质作为避免陷入局部极小的优化搜索机制,恰好可以弥补遗传算法易陷入局
部最优、收敛速度慢的缺陷。
可以利用混沌的遍历性产生初始种群,也可以对优
良个体进行变异操作,从而增强了遗传算法的全局寻优能力。
此外,遗传算法的全局搜索能力及免疫算法的局部优化相配合的免疫遗传算
法;
用小生境思想来实现遗传算法的选择操作,使遗传算法的全局寻优能力得到了
明显提高的小生境遗传算法;
量子计算思想与遗传算法结合的产物的量子遗传算
法,可使量子遗传算法表现出比标准遗传算法更好的种群多样性、更强的全局搜
索能力和更快的收敛速度。
蜜蜂进化型遗传算法中,种群的最优个体作为蜂王与
被选的每个个体（雄蜂）以概率进行交叉操作,增强了对种群最优个体所包含信息
的开采能力,结果表明,蜜蜂进化型遗传算法是一种提高遗传算法性能的有效改进
算法。
2.5遗传算法在机械工程中的应用前景
遗传算法作为一种非确定性的模拟自然演化的学习过程的求解问题方法，
在很多领域具有广泛的应用价值，其在机械工程领域的应用前景主要体现在以
下几个方面：
（1）与
CAD
技术相结合，解决总体方案设计方面的优化问题；
（2）利用遗传算法的组合优化特性解决机械系统中多种系列化标准件的组
合选取问题；
（3）将遗传算法和计算机仿真技术相结合，对工程实际问题中难以确定的
参数进行编码，以原设计产品的性能和数学模型的仿真性能之间的差异最小为
目标函数，求解符合原设计要求的设计参数与工艺参数；
（4）用遗传算法进行系统可靠度分配，从而使机械系统获得最高的可靠性；
（5）以能耗降低到最小为目标，运用遗传算法进行节能设计，使设备在满
足功能要求的条件下达到最佳效果。
虽然遗传算法在很多方面还有待于进一步的研究、探讨和完善，但是，随
着计算机技术的进步和生物学研究的深入，遗传算法在操作技术和方法上将更
加通用、更加有效，并且在机械工程领域的应用也会越来越广泛。
3.模拟退火法
模拟退火算法（Simulate
Anneal
Arithmetic，SAA）是一种通用概率演算法，
用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。
模拟退火是S.Kirkpatrick,
C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明。
而V.Čern&
yacute;
在1985年也独立发
明此演算法。
模拟退火算法是解决TSP问题的有效方法之一。
模拟退火的原理
也和金属退火的原理近似：
将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每
一点想像成空气内的分子；
分子的能量，就是它本身的动能；
而搜寻空间内的
每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。
演
算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：
每一步先选择一个“邻居”，然后再
计算从现有位置到达“邻居”的概率。
3.1模拟退火法的实现
模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
重要理解：
假设材料在状态i之下的能量为E（i）,那么材料在温度T时从状态i进入状态j
就遵循如下规律：
如果
E（j）<
=
E（i）,接受该状态被转移
E（j）>
E（i），则状态转移以如下的概率被接受：
exp{[E（i）-E（j）]/KT}
其中，K
是物理学中的波尔兹曼常数，T
是材料温度。
算法关键参数和操作的设定：
从算法的流程上看，模拟退火算法包括三函数两准则，即状态产生函数、
状态接受函数、温度更新函数、内循环终止准则和外循环终止准则，这些环节
的设计将决定模拟退火算法的优化性能。
此外，初温的选择对模拟退火算法性
能也有很大影响。
状态产生函数：
原则：
设计状态产生函数（领域函数）的出发点应该是尽可能保证产生的候
选解遍布全部的解空间。
通常，状态产生函数由两部分组成，即产生候选解的
方式和候选解产生的概率分布。
方法：
在当前状态的领域结构内以一定概率方式（均匀分布、正态分布、指
数分布等）产生。
状态接受函数：
函数一般以概率的方式给出，不同接受函数的差别主要在于接受概
率的形式不同。
设计状态接受概率，应该遵循以下原则：
（1）在固定温度下，接受使目标函数下降的候选解的概率要大于使目标函
数上升的候选解概率；
（2）随温度的下降，接受使目标函数上升的解的概率要逐渐减少；
（3）当温度趋于零时，只能接受目标函数下降的解。
状态接受函数的引入是模拟退火算法实现全局搜索的最关键的因素，
模拟退火算法中通常用
min[1,exp（-△C/t）]作为状态接受函数。
初始温度：
初始温度、温度更新函数、内循环终止准则和外循环终止准则通常被称为
退火历程。
通过理论分析可以得到初温的解析式，但解决实际问题时难以得到
精确的参数；
实际应用时往往要让初温充分大。
实验表明：
初温越大，
获得高质量解的机率越大，但花费较多的计算时间。
（1）均匀抽样一组状态，以各状态目标值的方差为初温；
（2）随机产生一组状态，确定两两状态间的最大目标差值，根据差值，利
用一定的函数确定初温，譬如
t0
=-/lnPr,其中
为初始接受函数；
（3）利用经验公式。
温度更新函数：
温度更细函数，即温度的下降方式，用于在外循环中修改
温度值。
内循环终止准则：
常用的Metropolis
抽样准则：
（1）检验目标函数的均值是否稳定；
（2）连续若干步的目标值变化较小;
（3）按一定的步数抽样。
外循环终止准则
（1）设置终止温度的阈值；
（2）设置外循环迭代次数；
（3）算法搜索到的最优值连续若干步保持不变；
（4）概率分析方法。
模拟退火的基本思想：
（1）
初始化：
初始温度T（充分大），初始解状态S（是算法迭代的起点），
每
个T值的迭代次数L
（2）
对k=1，……，L做第（3）至第6步：
（3）
产生新解S′
（4）
计算增量Δt′=C（S′）-C（S），其中C（S）为评价函数
（5）
若Δt′<
0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp（-Δt′/T）接受
S′作为新的当前解.
（6）
如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通
常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
（7）
T逐渐减少，且T->
0，然后转第2步。
模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S（是算法迭代的
起点）无关；
模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l
收敛于全局最优解的全局优化算法；
模拟退火算法具有并行性。
3.2模拟退火法参数控制问题
模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，
其主要问题有以下三点：
温度T的初始值设置问题。
温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初
始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；
反之，则可节约计算时间，但全局搜索性
升级会员 