那么ai=aiqaro由于at和aiq都属于H,有
ar=a-iqatCH
于是由假设r=0,at=(ai)q而H=(a)
5.找出模12的剩余类加群的所有子群。
解:
模12的剩余类加群G是一个阶为12的循环群。
因此由题4,G的子群都是循环群,容易看出:
([0])=[0]([1])=([5])=([7])=([11])=G
([2])=([10])={[2],[4],[6],[8],[10],[0]}
([3])=([9])={[3],[6],[9],[0]}
([4])=([8])={[4],[8],[0]}
([6])={[6],[0]}
是G的所有子群。
6•假定H是群G的一个非空子集并且H的每一个元的
阶都有限。
证明,H作成一个子集的充要条件是:
a,bCH=abCH
解:
由本节定理1,条件显然是必要的。
要证明条件也是充分的,由同一定理,只须证明:
a€H=a-1CH
设aCH,由于H的每一元的阶都有限,所以a的阶是某
一正整数n而a-1=an-1.于是由所给条件得a-1€H。
§9.子群的陪集
1.证明,阶是素数的群一定是循环群。
解:
设群G的阶为素数p,在G中取一元a龙,则a生成G的一个循环子群(a)。
设(a)的阶为n,那么nP.
但由定理2,n|p,所以n=p而G=(a)是一个循环群。
2.证明,阶是pm的群(p是素数,m羽)一定包含一个阶是p的子群。
解:
设群G的阶是pm。
在G中取一元a龙,那么由定理3,a的阶n|pm.但n为,所以n二p\t羽,若t=1,那么d的阶为p,(a)是一个阶
t1
为p的子群。
若t>1,可取b=ap■,那么b的阶为p,而(b)是一个阶为
p的子群。
3•假定a和b是一个群G的两个元,并且ab=ba,又假定
a的阶是m,b的阶是n,并且(m,n)=1.证明:
ab的阶是mn。
解:
设ab的阶是k。
由ab二ba,得(ab)mn=amnbmn=e
因此k|mn。
我们反过来证明,mn|k。
由e=(ab)kn=aknbkn=akn以及a的阶为m,得m|kn,但(m,n)=1,所以m|k•同理n|k。
又由
(m,n)=1,得mn|k.这样,ab的阶k=mn。
4•假定〜是一个群G的元间的一个等价关系,并且对于G的任意元三个元a,x,x'来说
ax〜ax'=x〜x'
证明,与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。
解:
令H是与e等价的元所作成的集合。
由于e〜e,所以H不空。
设a,bCH,那么a〜e,b〜e,b〜e可写成a-1ab〜a-1a
因此由题设,ab〜a〜e而abCH。
a〜e可写成ae〜aa-1,因此由题设,e〜a-1而a-1CH。
这样,H作成G的一个子群。
5.我们直接下右陪集Ha的定义如下:
Ha刚好包含G的可以写成ha(h€H)形式的元。
由这个定义推出以下事实:
G的每一
个元属于而且只属于一个右陪集。
解:
取任意元a€g,由于H是一个子群,单位元eCH,因此
a=ea田a这就是说,元a属于右陪集Ha。
设a9Hb,a田c,那么a二二h2C(hi,h2田)
由此得,b=h;h2c,而Hb的任意元hb二hh;h2c€Hc
因而HbHc,同样可证HcHb,这样Hb=Hc而a只能属于—个右陪集。
6•若我们把同构的群看成一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群。
解:
先给出两个阶是4的群。
模4的剩余类加群G1={[0],[1],[2],[3]}.
Gi的元[1]的阶是4而g是[1]所生成的循环群([1])。
S的子群
B4={
(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
叫作克莱因四元群。
B4是合的子群容易验证,我们有
[(12)(34)]2=[(13)(24)]2=[(14)(23)]2=
(1)
(12)(34)(13)(24)=(13)(24)(12)(34)=(14)(23)
(13)(24)(14)(23)=(14)(23)(13)(24)=(12)(34)
(14)(23)(12)(34)=(12)(34)(14)(23)=(13)(24)
这两个群显然都是交换群。
现在证明,任何阶是4的群都和以上两个群之一同构。
设G是一个阶为4的群。
那么G的元的阶只能是1,2或4
若G有一个阶为4的元d,那么G=(d)是一个循环群,而G与G同构
若G没有阶为4的元,那么除单位元e夕卜,G的其他3个元的阶都是2,因此有
G={e,a,b,c}a2=b2=c2=e
由于G是群,有ab€G,我们证明ab=c
由ab=e将得ab=a2和b=a,这不可能.
由ab=a将得b=e,也不可能
由ab=b将得a=e,也不可能.
因此只能ab=c,同样可证
ab=ba=c,bc=cb=a,ca=ac=b
比较G和B的代数运算,易见G和B4同构。
补充题:
利用6题证明,一个有限非交换群至少有6个元。
§10.不变子群商群
1•假定群G的不变子群N的阶是2.证明,G的中心包含N。
解:
令N={e,n},这里e是G的单位元,取G的任意元a。
由于N是一个不变子群,有aN=Na,即
{a,an}={a,na}
所以an二na。
这样,N的两个元e和n都可以和G的任何元a交换,所以N属于G的中心。
2.证明,两个不变子群的交集还是不变子群。
解令“勺和N2是群G的两个不变子群。
那么N2是g的一个子群(§8.习题2)。
我们进一步证明,门N2是G的一个不变子群。
令a6G,n€n/n2,那么刑2,但Ni
和N2是不变子群,所以ana-1ana-12,因而
ana-1€NiN2
于是由定理2,n^n2是一个不变子群。
3.证明,指数是2的子群一定是不变子群。
解:
令G是一个群而N是G的一个指数为2的子群。
若n9N,那么显然有nN二Nn。
设b6G,b「€N。
那么由于N的指数是2,G被分成两个左陪集N和bN;G也被分成两个右陪集N和Nb。
因此bN=Nb,这样,对于G的任何元a来说,aN=Na是G的一个不变子群。
4•假定H是G的子群,N是G的不变子群,证明,HN是G的子群。
解:
由于H和N都不空,所以HN也不空。
设aOHN,b9HN。
那么
a=hini,b=h2n2(hihH,nm①)
ab=hinin2h?
=hnh?
(n=nin2)
由于N是一个不变子集,有
Nh2=h2N,nh2=h2n(n)
由是得ab=(h1h2)n田N,HN是一个子群。
5.举例证明,G的不变子集N的不变子群Ni未必是G的不变子群(取G=S4).
解:
令G=S4,N={
(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
Ni={
(1),(12)(34)}
已知N是G的一个子群(上节习题6)。
我们证明,N是G的一个不变子群。
为了证明这一点,我们考察,是否对一切二€S4,等式
(a):
NJ=N
成立。
由于任何二都可以写成(1i)形的2一循环置换的乘积。
(§6.习题5),我们只须对(1i)形的冗来看等式(a)是否成立。
又由于N的元的对称性,我们只须看-=(12)的情形。
但
(12){
(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)(12)=
{
(1),(12)(34),(14)(23),(13)(24)
所以N是s的一个不变子群。
由于N是交换群,N1当然是N的一不
变子群。
但N1不是S的一个不变子群。
因为(13)(12)(34)(13)
=(14)(23)「N1
6.一个群G的可以写成Jb'ab形式的元叫作换位子。
证明;
(i)所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群;
(ii)G/C是交换群;
(iii)若N是G的一个不变子集,并且G/N是交换群,那么
N二C
解:
(i),C的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积,因而仍是
C的一个元。
一个换位子的逆仍是一个换位子,所以C的一个元的
逆仍是C的一个元。
这样C是一个子群。
对于aCG,cCC,aca"=(aca'c‘)c«,所以C是G的一个不
变子群。
(ii)令a,beG。
那么a'b'ab=c£。
由此得
ab=bac,abC=bacC=baC
即aCbC=bCaC而G/C是交换群。
(iii)因为G/N是交换群,所以对G的任何两个元a和b
(aN)(bN)二(bN)(aN),abN=baN
由此得ab=ban(n€N)a'b'ab=nON。
这样N含有一切换位子,因此含有C。
补充题。
令二和(i1j2…jk)属于s。
证明二(iii2…iJ二=(iii?
…ik)
§11.同态与不变子群
1.我们看一个集合A到集合A的满射①。
证明。
若A的子集S是A的子集s的逆象;S是S的象,但若S是S的象,S不一定S的逆象。
解:
(i)设S是S的逆象。
这时对任一元a€S,存在元a€s,使①(a)=a,因此©(S)S。
反过来,对任一a€s,存在a€S,使①
(a)=a,因此s©(S)。
这样S=林S),即s是S的象。
(ii)令A={1,2,3,4},a={2,4},A到a的满射是
①:
1>2,2>2,3>4,4>4
取S={1,3}。
那么S的象s={2,4}。
但s的逆象是A式S
2.假定群G与群G同态,N是G的一个不变子群,N是N的逆象。
证明,G/N三G/N。
解:
设所给G到g同态满射是①:
a>a=①(a)
我们要建立一个G/N到g/N的同构映射。
定义
aNaN
若aN=bN,那么『a€N。
由于n是N©之下的象,有
-_j—A———-——
ba=ba€N,aN=bN
所以t是G/N到G/N的一个映射。
设aN€G/N而①(a)=a,那么
aN>aN
所以'■是G/N到G/N的一个满射。
若aN=bN,那么Ja「N。
由于N是N的逆象,由此得
~~--
ba=baN,aN^bN
所以'■是G/N到G/N间的一个映射。
3.假定G和G是两个有限循环群,它们的阶各是m和n。
证明,G与G同态,当而且只当n|m的时候。
解:
设G与G同态,那么由定理2,G/N三G,这里N是G到G的同态满射的核。
所以G/N的阶是n。
但G/N的阶等于不变