传染病的传播及控制分析数学建模.docx
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传染病的传播及控制分析数学建模
传染病的传播及控制分析
摘要
为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系,本文通过建
立传染病的传播模型,了解传染病的扩散传播规律,为预测和控制传染病提供可
靠、足够的信息。
本文针对该问题建立了 SEIR 微分方程模型,对病毒的传播过程进行了模拟
分析,得出了患者人数随时间的变化规律。
我们将人群分为五类:
患者、疑似患
者、正常人、治愈者和死亡者。
前三者作为传染系统。
我们认为治愈者获得终身
免疫,和死亡者一样移出传染系统,即后两者合并为移出者。
本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分:
控制前和控制后。
在控制前,相
当于没有对病毒扩散做任何限制,患者数量短时间内大量增长,并以死亡的形式
退出传染系统;在控制后,由于对潜伏者进行了一定强度的隔离,与此同时,确
诊患者得到有效的治疗,使得传染源数量减少,患者平均每天接触的人数减少,
治愈者增多,并作为主要的移出者移出传染系统。
在模型建立的基础上,通过 Matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线
关系图,得到如下结果:
控制前,患者人数呈指数增长趋势;控制后,在 p=0.4
时,患者人数大致在 7 天时到达最大值,在 25 天时基本没有患者;在 p=0.3 时,
患者人数大概在第 8 天到达最大值 186383,大概在 28 天之后基本没有患者;在
p=0.6 时,大概在第 5 天患者人数到达峰值为 47391,在 21 天时基本没有患者。
综上分析,对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。
针对所得结果,对
H7N9 的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词:
隔离强度潜伏期SEIR 模型
0
一、问题重述:
2013年中,H7N9是网上的热点,尤其是其高致死率,引起了人们的恐慌,最
近又有研究显示,H7N9有变异的可能。
假设已知有一种未知的现病毒 [1]潜伏期为
a :
a 天,患病者的治愈时间为 a 天,假设该病毒可以通过人与人之间的直接接
123
触进行传播,患者每天接触的人数为 r ,因接触被感染的概率为 λ ( λ 为感染率)。
为了控制疾病的传播与扩散,将人群分成五类,患者、疑似患者、治愈者、死亡
者、正常人。
潜伏期内的患者被隔离的强度为 p (为潜伏期内患者被隔离的百分
数)。
在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型,利用所给数据值生成患
者人数随时间变化的曲线,增强或者减弱疑似患者的隔离强度,比较患者人数发
生的变化,并分析结果的合理性。
最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出
一些科学的建议。
二、问题假设:
1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例;
2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例;
3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例;
4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒,有很强的免疫能力,即被移除
出此传染系统;
5、假设正常人被传染后,进入一段时间的潜伏期,处于潜伏期的人群不会表现
症状,不可传染健康人,不具有传染性;
6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗,被视为无法跟别人接触,故不会传染
健康人;
7、假设实际治愈周期过后,如果患者没有治愈,则认为患者死亡,即实际治愈
周期过后,患者都被移出此感染系统;
8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生,死亡,流动等种群动力因素
对总人数的影响。
即:
总人口数不变,记为 N;
三、符号说明:
1
符号
S(t)
E(t)
Q(t)
I(t)
R(t)
β1
β2
a3
r
p
解释说明
t 时刻正常人(易受感染)人数
t 时刻疑似患者的人数
t 时刻处于潜伏期的人数
t 时刻确诊患者的人数
t 时刻退出传染系统的人数(包括治愈者和死亡者)
潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期
人数的比例
每日退出传染系统的人数比例
确诊患者的治愈时间
患者的人均日接触人数
因接触被感染的概率
潜伏期内的患者被隔离的强度
四、问题分析:
根据题意,这是一个传染性病毒随着时间演变的过程,需要研究传染病在传
播过程中各类人群的人数变化,特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化,预
测传染病的传染的高峰期和持续时间长度,从而我们可以采取相应隔离措施达到
控制传染病传播的效果。
我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型,查阅相关资料可知,关于传
染病的模型已有不少,其中以微分方程模型最具代表性,因题目中把人群分为五
类:
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人,所以我们采用微分方程中的
SIER 模型,将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。
在此基础上,
我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程,得出模型。
再利用
matlab 编程画出图形,改变其隔离强度后重新作图进行比较,对结果进行分析,
并利用此模型对控制 H7N9 的传播做出建议。
五、模型的建立和求解:
5.1 传染病模型的准备
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多
的病理知识,因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是
按一般的传播机理建立模型。
查阅相关资料可知,目前关于传染病的模型已有不少,其中以微分方程建立
的模型比较具有代表性,模型复杂程度有区别,故适合的情形也不同,包括I
模型、SI 模型、SIR 模型、SEIR 模型等[2]。
2
I 模型是最简单的模型,从已感染人数和有效接触率出发构建模型,但未区
分已感染者(病人)和未感染者(健康人),结果发现,随着时间增加,病人人数会
无限增长,这显然不符合实际;SI 模型是 I 模型的改进模型,它区分了已感染
者和未感染者,但是该模型没有考虑到病人可以治愈,导致人群中的健康者只能
变成病人,病人不能变成健康者,这也是不符合实际的;在考虑病人治愈后有较
强免疫力的情况下,SIR 模型对 SI 模型进行了改进,即增加了移除者(包括死
亡者和治愈者),但在实际情况下,传染病会出现疑似患者,故需要考虑隔离的
情况。
SEIR 模型[3]-[4]对 SIR 模型进行了改进,增加了疑似患者,考虑到了隔离强
度,故我们选择 SEIR 模型进行此次建模。
根据题目所给的条件,人群分为五类:
确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡
和正常人。
根据 SEIR 模型重新归类,得到以下结果:
(1)健康人群,即易感染( Susceptibles)人群。
记其数量为 S(t),表示 t
时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数;
(2)确诊患者,即被感染(Infection)该疾病的人群,记其数量为 I(t),表
示 t 时刻已经确诊为患者入院的人数;
(3)疑似病患,即被入院隔离的人群,包括一部分正常人一部分处于潜伏
期的感染者,记其数量为 E(t),表示 t 时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数;
(4)潜伏期感染者,即已感染病毒但处于潜伏期的人群,记起数量为 Q(t)
表示 t 时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。
(5)恢复人群(Recovered),记其数量为 R(t),表示 t 时刻已从感染病者中
移出的人数,包括死亡者和治愈者,这部分人数既不是已感染者,也不是非感染
者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已经推出了传染系统。
该传染病的传播流程图如下:
图 1传染病传播流程图
5.2 传染病模型的建立[5]
传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。
对 S 来说,一部分未被隔离的
潜伏期感染者能感染正常人,使其成为潜伏期感染者流出 S;对于 E 来说,流入
者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人,流出者包括一部分没有被感染的
正常人和隔离后被确诊患者;对于 I 来说,它既有从包括隔离和未被隔离的 H
中确诊的流入者,也有已经治愈的流出者;对于 R 来说,它只有从 I 中治愈转化
而来的流入者。
以上过程在传染的每一时刻都是相同的。
为此我们可将时间假定
的非常小,在某一时刻对 S、E、I、R 取其对时间的微分,这样既可建立传染病
控制模型的微分方程组如下:
3
那么新增确诊患者人数为 ∆I = β ⋅ Q (t )⋅∆ t ,现在要确定 β ,如果潜伏期天数为 a
1、控制前阶段:
前两天,患者没有住院,疑似患者没有被隔离,患者可以随意接触和感染正
常人。
分析控制前 Vt 阶段时间内,疫情的发展与变化。
(1)正常人-----疑似患者:
控制前阶段病人尚未被隔离,所以疫情发展比较迅速,此时病人人均每天接
触 r 个正常人,假设 t 时刻病人人数为 I (t ) ,则新增疑似患者人数为∆E ,
∆E = I (t )⋅ r ⋅∆ t = r ⋅ I (t )⋅∆ t 。
(2)疑似患者-----潜伏期:
疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者,病毒携带者会进入潜伏期,而
非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为 λ ,假设 t 时刻疑似患者人数
为 E (t ) ,潜伏期患者人数为 Q (t ) ,则 Q (t ) = E (t )⋅ λ ,故新增潜伏期人数为
∆Q = ∆E ⋅ λ 。
(3)潜伏期-----确诊患者:
因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长,用 β 表示这一特性。
1
111
到 a ,假设其变化到了一个稳定阶段,那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越
2
流 感 患 者 , 即 β = 1 - (1 -1/ (a - a ))e-t 。
所 以 新 增 患 者 人 数 :
121
21
(4)确诊患者-----治愈、死亡:
设 T 为退出系统人数(治愈者和死亡者),如果治愈天数设为 a ,那么 a 天
33
后病人要么死亡要么被治愈,而被治愈的人产生抗体,不再会被传染,所以被治
愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。
设系统退出率为a ,则有退出人数
3
221
3
3
:
根据上述
(1)(4)的式子可进一步得出:
Q = λ ⋅ E
Q(t + ∆t ) - Q(t ) = λ ⋅ r ⋅ I (t )⋅ ∆t - (1- (1- 1/ (a - a )) ⋅ e(-t ) ) ⋅ Q(t ) ⋅ ∆t
I (t + ∆t )- I (t ) = 1 - (1 - 1/ (a - a ))⋅ e(-t ) ⋅∆ Q ⋅∆ t - (1- (1- (1/ a3)) ⋅ e(-t )) ⋅ I (t )⋅∆ t
21
所以得出以下:
dQ / dt = λ ⋅ r ⋅ I (t )- (1- (1-1/ (a2 - a1))⋅ e-t ) ⋅ Q(t )
dI / dt = (1- (1- 1/ (a2 - a1))⋅ e(-t ) ⋅ Q (t )- (1- (1- (1/ a3)) ⋅ e(-t ) ⋅ I (t )
dT / dt = (1 - (1 -1/ a ))⋅ e(-t )⋅ I (t )
3
2、控制后阶段:
4
两天之后,患者全部住院,疑似患者全部被隔离,剩下一部分未被隔离的感
染者变成患者后可以接触和感染正常人。
分析控制后阶段 ∆t 时间内,疫情的发
展与变化。
(1)正常人-----疑似患者:
控制后阶段,病人开始被隔离,所以疫情发展开始变慢,并受隔离强度 p 影
响,此时病人每天接触的 ∆E = r '⋅ I (t )⋅ ∆ 正常人数目 r ' 也在变小,假设病人的数
目为 I (t ),则疑似患者数目。
又因为接触率 r ' 与隔离强度 p 有关,也呈指数分布,
所以 r ' = r ⋅ e- pt ,故新增疑似患者的数目 ∆E = r ⋅ e- pt ⋅ I (t )⋅ ∆t 。
(2)疑似患者-----潜伏期:
控制后阶段,疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例 λ 不会改变。
假设 t 时
刻疑似患者人数为 E (t ) ,潜伏期患者人数为 Q (t ) = E (t )⋅ u ,故新增潜伏期人数
为 ∆Q = ∆E ⋅ u 。
(3)潜伏期-----确诊患者:
潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同,所以新增患者人数
∆I = (1 - (1 - 1/ (a - a ))⋅ e-t )⋅ ∆Q ⋅ ∆t 。
21
(4)确诊患者-----治愈者、死亡者:
同样退出传染系统的人数不变,则新增退出传染系统的人数
∆T = (1 - 1/ a )⋅ e-t I (t )⋅ ∆t 。
3
:
根据上述
(1)(4)可进一步求得出:
Q = λ ⋅ E
Q (t + ∆t )- Q (t ) = λ ⋅ r ⋅ e(- pt ) ⋅ I (t )⋅ ∆t - 1 - (1 - 1/ (a - a ))⋅ e(-t ) ⋅ Q (t )⋅ ∆t
21
21
整理后得:
dQ / dt = λ ⋅ r ⋅ e(- pt ) ⋅ I (t )- 1 - (1 - 1/ (a - a ))⋅ e(-t ) ⋅ Q (t )
dI / dt = 1 - (1 - 1/ (a - a ))⋅ e(-t ) ⋅ Q (t )- (1- (1- (1/ a3)) ⋅ e(-t )) ⋅ I (t )
21
5.3 传染病模型的求解:
1、控制前:
通过对模型的推导,我们发现不能给出每个函数的解析解,因此考虑利用
Matlab 中的 ode 系列函数进行求解。
首先,对传染病模型进行标准化,再带入参数,并由此建立微分方程组函数
文件,随后用 ode 函数对该文件进行调用,即可得到微分方程组的解向量,然后
利用 plot 函数画出此解向量即可得到各类人群岁时间变化的曲线图。
控制前患者人数随时间变化的关系如下图所示:
5
8000
7000
6000
5000
人
者 4000
患
3000
2000
1000
0
患者随时间的变化
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
1.4 1.6 1.8 2
时 间 /天
图 2 控制前患者的人数随时间的变化
由上图可以看出控制前还未采取任何措施时,患者的人数迅速增加,类似
于指数型增长曲线。
这是由于在开始的两天,患者两天后才入院,疑似患者两天
后才被隔离缺乏。
一方面,他们将病原体迅速地传染给了健康人;另一方面,他
们由于缺乏治疗,无法被治愈。
当时,患者的数量越来越多,增长速度越来越快。
基本符合实际情况,可见模型的合理性。
2、控制后:
(1)当 p = 0.4 隔离强度时,患者人数随时间变化的关系如下图所示:
10
9
8
7
6
x 104
患者随时间的变化
max p=0.4
t=6.5994
ymax=93701.2174
/
人
者
患
5
4
3
2
1
0
0 5 10 15 20
25 30 35
时 间 /天
图3 控制后 p = 0.4 时患者人数随时间的变化
6
由上图分析可知,两天后,对患者进行入院隔离,对疑似患者进行部分隔离,
使得新进入潜伏期的人数在减少。
因此,由于时间的延迟,患者人数的迅速增长,
并在接下来的几天内达到峰值,随后逐渐下降最后平缓的趋于零。
患者人数在增
长趋于缓慢的几天后到达一个峰值。
我们求得当隔离率为 p=0.4时,患者人数大
致在7天时到达最大值93701,在25天时基本没有患者。
(2)改变隔离强度 p=0.3 为时,患者人数随时间变化的关系如下图所示:
2
1.8
1.6
1.4
1.2
x 105
患者随时间的变化
max p=0.3
t=7.8604
ymax=186383.5753
/
人
者
患
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 5 10 15 20
25 30 35
时 间 /天
图4 控制后 p=0.3 时患者人数随时间的变化
由上图分析可知,当 p=0.3时,即隔离强度有所下降时,患者人数在前8天
属于迅速增长趋势,但增长趋势慢慢减缓。
大概在第8天,患者人数到达最大值
186383,其后由于大量的患者被治愈且受感染的人数越来越少,导致患者人数显
著下降,大概在28天之后基本没有患者。
(3)改变隔离强度 p=0.6 为时,患者人数随时间变化的关系如下图所示:
7
5
x 104
max p=0.6
患者随时间的变化
4.5
4
3.5
3
人
者 2.5
患
2
1.5
1
0.5
0
t=5.4141
ymax=47391.6561
0 5 10 15 20
25 30 35
时 间 /天
图5 控制后 p=0.6 时患者人数随时间的变化
由上图分析可知,当 p=0.6 时,患者人数在前四天增长迅速,但由于隔离率
很高,病情很快得到有效的控制,使增长人数越来越少,在第 5 天患者人数到达
峰值为 47391,其后患者由于治愈人数越来越多,人数逐渐减少,在 21 天时基
本没有患者。
3、控制前后模型总体:
上图皆为总体模型的分图,在进行总体分析时,可以进行进一步的表示。
为更直观的比较不同隔离强度引起的患者人数变化情况,我们作图 6 将不同
强度的隔离强度情况相结合。
同时,为了贴合题意,我们在图像上将控制前的两
天和控制后的情况结合起来,得到总图如下所示:
8
人
者
患
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
x 105 患者随时间的变化
max p=0.3
t=7.8604
ymax=186383.5753
max p=0.4
t=6.5994
ymax=93701.2174
max p=0.6
t=5.4141
ymax=47391.6561
0
0 5
10
15 20
25 30 35
时 间 /天
图 6患者人数随时间的变化
由上图分析可知,控制前,患者人数的增长速度远高于控制后患者人数的
增长速度,说明实行疑似患者隔离政策对控制传染病传播的效果是很明显的;三
条曲线比较可知,当隔离强度不同时,对患者人数最高峰出现的天数和传染病传
播的持续时间(即患者全部痊愈没有再出现患者)有极大的影响。
在隔离强度较
小时,患者人数的最高峰出现时间靠后,传染病持续的传播时间较长;在隔离强
度较大时,患者人数能较快的出现最高峰再较迅速的下降,因此传染病持续的时
间比较短,更有利于传染病的控制。
所以,在实际的传染病控制过程中,对传染
病进行有效的控制,加大疑似患者隔离的强度是很有必要的。
六、模型评价:
优点:
本模型中采用微分方程中的 SEIR 模型,对传染病传播做出合理假设,
对人群进行了合理的分类,并对其进行数据拟合,得出传染病传播过程中,各类
人群的人数发展趋势,采用数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感
性认识,再用特殊点进行理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技
术与建模方法的巧妙配合。
比较全面地达到了建模的目的,即描述传播过程、分
析感染人数的变化规律,可以有效预报传染病高潮到来的时刻和传染病将持续的
时期,对群众接受传染病的预防知识起到很好的警示作用。
通过这些数据,政府
可以更好的探索制止蔓延的手段和措施。
缺点:
所建立的模型中,没有考虑不同年龄段病毒的抵抗力不同,且将治愈
者和死亡者当作一类人进行了处理,题目只给出了患者治愈所需的天数,没有给
出患者死亡的概率,于是我们暂且认为其患者住院达到治愈天数时即被移出系
统,可能是治愈也可能是死亡。
其所得的结果存在一定的误差,只能粗略的反应
9
此传染病的传播情况。
要准确反映,需对模型进行进一步的改进。
七、模型应用:
根据建立的 SEIR 模型和计算所得的数据,我们发现,人群接触的人数 r 值
越大,正常人被感染的几率越大,疫情扩散得越快,因此在疫情期间,应减少公
共活动,降低病毒的传播率;通过改变隔离强大的大小后比较可知,p 值越小病
情越难控制,所以要保证患者能及时住院治疗,从而遏制病毒的扩散;综上所述,
结合实际情况我们可以对控制 H7N9 传播提供一些建议:
医院方面:
医院应提高医院的医疗水平和卫生水平,提高医疗工作人员的工
作效率,加强医院的合理化管理,加大对感染者的隔离力度,这样有助于传染病
的治疗和控制工作有序的展开:
(1)根据人感染 H7N9 禽流感的流行病学特点,针对传染源、传播途径和
易感人群,结合实际情况,建立预警机制,制定应急预案和工作流程。
(2)医院应当规范消毒、隔离和防护工作,为医务人员提供充足、必要、
符合要求的消毒和防护用品,确保消毒、隔离和个人防护等措施落实到位,并加
大隔离疑似病患的力度,这有利于传染病的快速控制。
政府方面:
应具有敏锐的警觉性,在传染病开始广泛传播之前,应迅速采取
一定的方法进行控制:
(1)根据 H7N9 病毒的特点,加强医院、学校、家禽养殖厂、活禽市场等
这些重点区域的疫情防控,确保一旦发生疫情能及时应对和有效控制。
(2)应对地方医疗保障措施进行完善,防止患者不能及时就医的情况出现,
增加传染病蔓延的趋势。
(3)一方面应加大传染病的宣传力度,使公众对传染病有一定的警觉和预
防意识;另一方面应进行科学的引导,不造成公众的恐慌心理,日常生活不受影
响。
个人方面:
应加强对传染病的认识,提高自身的科学知识,不盲从,不恐慌,
以正确的态度进行预防:
(1)保持良好的个人卫生习惯,减少与家禽类的直接接触,减少去禽流感
疫区。
(2)加强体育锻炼,注意补充营养,保证充足的睡眠和休息,增强抵抗力。
(3)不要轻视重感冒,禽流感的病症与其他流行性感冒病症相似,如发烧、
头痛、咳嗽及喉咙痛等,在某些情况下,会引起并发症,导致患者死亡。
因此,
若出现发热、头痛、鼻塞、咳嗽、全身不适等呼吸道症状时,应戴上口罩,尽快
到医院就诊,并务必告诉医生自己发病前是否与病禽类接触等情况,并在医生指
导下治疗和用药。
10
八、参考文献:
[1] 张彤.一类具潜伏期和非线性饱和接触率的流行病模型[J],浙江工程学院学
报,2004,21
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[4] 张娟.马知恩