概率论与数理统计第4章作业题解Word文件下载.docx
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根据已知条件，a>
0.因此Ov—<
1,所以有
1+6/
E（X）=——-~~=a・
（1+沙（J&
）2
\+a
4.4某人每次射击命中目标的概率为卩，现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止,求射击次数的期望.
因为X的可能取值为1,2,……。
依题意，知X的分布律为
P（X=k）=qZp,?
=l_p，上=1,2,
□c*0000
所以e（x）=±
kqk-lP=迂（"
pQyy=p（”_y
2—121—0
111
=p-——=PV
（1-〃p
4.5在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹.规左4弹全未中得0分，只中1弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率为0.6,此人期望能得到多少分？
解：
设4次射击中命中目标的子弹数为X,得分为匕则X~B（4.0・6）
因为p（x=0）=C：
0.6°
X0.44=0.0256
P（X=1）=^0.6"
x0.4s=0.1536
P（X=2）=C；
0.62x0.42=0.3456
P（X=3）=C：
O.6'
xO4=0.3456
P（X=4）=C：
x0.4°
=0.1296
所以y的分布律为
Y
15
30
55
100
0.0256
0.1536
0.3456
0.1296
故期望得分为
E（K）=0x0.0256+15x0.1536+30x0.3456+55x0.3456+100x0.1296
=44.64
3女9
4.6设随机变量X的槪率分布为P{X=（-l/+,〒}=初伙=12…）说明X的期望不
存在。
解:
级数工|耳|几=工（-1）3—>
<
三=》三发散，不符合离散型随机变量期望立义的要21-1k32k
求，从而X的期望不存在.
4.7设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为0.4.求途中遇到红灯次数的期望.
设遇到红灯次数为X,依题意，知X~B（3.0.4）
故E（X）=3x0.4=1.24.8设随机变量X的概率密度函数为
求E（X）.
X.0<
%<
1,f（x）=2-x,1<
x<
2,、0,其他
E（X）=j*xf（x）clx=fx'
dx+1~x（2-x）clx=；
+（x2-
4.9设随机变量X的概率密度函数为fax.0<
2,
f（x）=bx+c,2<
4
、0,其他
又E（X）=2,P{\<
X<
3]=-，求常数a、b、c的值.
4
由JH/（兀皿=1=J0axdx+J：
（bx+c\lx，得2d+6b+2c=1因为E（X）=fxf（x\lx=£
xaxcix+£
x（bx+c\lx=^a+所以，由E（X）=2,^a+—h+6c=2
33
f2f335
又P（1<
X<
3）=Iaxdx+\（bx+c\lx==-a+—b+c
'
"
*22
3353
由P（\<
3）=—,得一g+-Z?
+c=—
4224
解联立方程①②③，得a=-.b=--.c=l
44
4.10设随机变咼X的概率密度函数为f（x）=一,-oovxv+°
说明X的期望不
zr（l+f）
存在.
积分J|x|/（x）f/x=J——-dx=—j
YX
——«
，显然，枳分发散，根据连续型随机01+X2
变量期望的泄义，X的期望不存在.
4.11某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为
72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%.求考生外语成绩在60分至84分之间的概率.
设X~，依题意得，//=£
（%）=72
又P（X>
96）=2.3%=0.023,则P（X<
96）=0.977=①
（2）
96-7296-72
即有①（丄丄）=e
（2）所以丄亠=2得b=12
bb
所以X~N（72,12?
）
X_7?
故所求的概率为P（60<
84）=P（lX-721<
12）=P（ll<
1）
12
=20
（1）-1=2x0.8413-1=0.6826
4.12对习题4.1中的随机变量X,计算E（X2）.E（5X2+4）.
E（X2）=02x0.4+12x0.3+22x0.2+32x0.1=2
E（5X2+4）=5E（X?
）+4=5x2+4=14
4.13设随机变量X的槪率密度函数为
分別讣算Y=2X的期望和Y=严的期望
因为X~E"
）,其中2=1,所以E（X）=丄=1
A
故E（r）=E（2X）=2E（X）=2x1=2
E（e~2X）=^e~2xf（x\lx=『e^e^dx=『e^dx=|
4.14对球的直径做近似测量，设英值均匀分布在区间（a"
）内，求球体枳的均值.
设球的直径测量值为X,体积为V.则有v=-7tx\显然X的槪率密度函数为6
/m=b-（r
〔0,
因此，球体积的均值为
1a<
x<
b.
其他,
E（V）=E（-X3）=-\bx3~^—dx=也+小°
广+h'
）66b-a
24
4.15游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从
底层起运行.设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X〜t/[0,60],求
该游客等候时间的期望.
用随机变量Y表示游客的等候时间弹位:
分钟），则Y=g（X）,其函数关系为
5-x,
0<
5,
25—x,
5<
25,
55-x,
25<
55,
65-x,
55<
60.
y=g（x）=<
由于X〜U[0、60],根拯随机变量函数的期望公式,可得游客等候时间的期望为
E（K）=E[g（X）]=Jo（5-xMy+J*、（25-x\lx+j（55-x\lx4-j*（65-x}dx=.
4.16设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为
"
12〉亡0<
y<
\.
求E（X）,E（Y\E{XY\E（X2+r2）.
因为，当05x51时，fx（x）=/（X,y）cly=£
\2y2dy=4x3
当05yS1时，fY（y）=/（x,y\lx=j'
12y1dx=12y'
（1-y）
所以，E（X）=^.xfx（x）dx=^x4x3dx=|e（y）=\^yfY（）Wy=[y•12y2（i-y）dy=jE（XY）=匚匸xyf（x,y\lxdy=]：
%：
xy\2y~dy
=fx-3/\lx=[[3xdx=-
Jo•oJo2
又E（X2）=^X2fx（A-y/.r=J'
x2Ax\lx=-
E（尸）=匚尸齐{yyly=£
*>
2.12/（1-y}dy=|故E（X2+Y2）=E（X2）+E（Y2）=-+-=—
3515
4.17设随机变量X与Y相互独立，槪率密度函数分别为
求E（XY）・
E（X）=广灯（尤朋=[:
x2xdx=扌,
E（Y）=匚=J7°
y严dy=广yd（-e^）
=-）宅5-'
+]e5~vdy=5-^5~v=5+1=6
因为X和丫相互独立，所以E（Xy）=E（X）E（r）=-x6=4.
4.18设二维随机向量（X,Y）服从圆域D={（俎y）:
x2+/<
R2}上的均匀分布，求
E（y）X2+Y2）.
根据二维随机向量的计算公式:
Ex"
）=匚匚少+丁（a-yWy=J+心七示一如儿
此积分用极坐标计算较为方便，于是有
因此E（max{X“}）二匚血x（z）衣=討
显然，Xj均服从两点分布，且X=X1+X2+...Xg,于是有
P{X/=O}=
（1）20,P{X,=1}=1—G严，
由此求得
E（X）=1-（—）20=0.8784,E（X）=10[l-（—）20]=8.784.
4.21将一颗均匀的骰子连掷10次，求所得点数之和的期望.
设X,表示第i次掷岀的点数（心1,”10）,
10
则掷10次骰子的点数之和为X=工Xj°
r-i
因为Xi的分布律为P（Xi=k）=-伙=12・・・・6）,6
所以E（X.）=lx-+2x—+3x—+4x—+5x-+6x—=—
6666662
ioio77
故E（X）=^E（Xf）=2；
-=10x-=35.jj-i22
4.22在习题4.4中，若直到命中目标"
次为止，求射击次数的期望.
设X&
是从第k-1次命中目标到第&
次命中目标之间的射击次数，X&
的分布律为
Pg=m）=（l_p）"
7p,加=1,2,=1,2,
记随机变量X=X】+X2+…X”，并且注意到随机变疑X|,X2,…X”概率分布相同，因此
E（X）=nE（Xl）=—
P・
4.23求习题4.1中随机变的方差.
由T4.1知E（X）=1,E（Y）=0.9,由T4.12知E（X2）=2
又E（K2）=02x0.3+12x0.5+22x0.2+32x0=1.3
故Var（X）=E（X2）-（EX）2=2-12=1
Var（Y）=E（Y2）-（EY）2=1.3-0.92=0.49.
4.24求习题4.9中随机变量X的方差
由T41知E（X）=2,E（X2）=x2f（x）dx=JJ-x3dx+j"
1（4.v2-x3）dx=—.
故Var（X）=E（X2）-（£
X）2=-
4.25设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为
-■—,-1<
x<
1,-1<
>
<
1,
/UO'
）=4〉’，
（0,其他
求Var（X）和Var（Y）.
因为，当一lvxv1时，（%）=二fgyMy=f]1:
”
所以E（X）=—!
—1=0,Vi7r（X）=-L[l-（-l）]2=1
2123
由对称性得£
（K）=0,Vcn\Y）=-
4.26设随机变量X~N（0,4）,y〜U（0,4）,并且X与丫相互独立，求Var（X+Y）和
Var（2X-3Y）.
因为X~N（0,4）,Y〜i/（0,4）
1,4
所以畑（X）=4,V«
r（y）=—（4-0）2
又X和Y相互独立，故
416
Var（X+Y）=Vai\X）+Var（Y）=4+—=—
V«
r（2X-3y）=4W//XX）+9V«
r（y）=4x4+9x-=28.
4.27设二维随机向量（X"
）的概率分布如下表：
X\Y
-1
0」
求Cov（X^Y）.
解容易求得X的概率分布为：
P{X=0}=0.3,P{X=l}=0.7,
丫的概率分布为：
P{Y=—1}=0.4,P{y=0）=0.2,P{y=l}=0.4,
XY的概率分布为：
p（xr=-1}=p（x=1,r=-1）=0.3,p（xy=i}=p{x=i,r=i}=0.3,,
P{xy=o}=p{x=o,y=-i}+P{x=o,r=o}+P{x=o,r=i}+P{x=i,r=o）=o.4.
于是有
E（X）=OxO・3+lxO・7=O・7,
£
（y）=（-l）x0.4+0x0.2+lx0.4=0,
E（XK）=（-1）x0.3+0x0.44-1x03=0.
Cov（X,r）=E（XY）-E（X）£
（y）=0.
4.28设二维正态随机向M（X,y）的概率密度函数为
f（x,y）=—e刖尹t+<
2>
\-co<
x,y<
4-oo,2辰
问X与丫是否互不相关?
二维随机变M（x.r）具有概率密度的标准形式为:
/（x,y）=e
P2
其中“I均为常数，且a,>
O,cr2>
0Jp\<
\.由此得到:
（XV）〜N（4,2;
3丄0）,因为°
=0,所以X与Y互不相关。
4.29设二维随机向量（X,Y）的槪率密度函数为
所以•乎心扌（才+扌）
57II
于是Var（X）=E（X2）-（EX）2=--（-）2=—
3o3o
711
由对称性得E（Y）=-,W/,-（y）=—
636
又因为E（XY）=匚匚砂（3皿心=］〃寸心遥
（乂）
126
所以COV（X^Y）=E（xr）-E（x）£
（y）=
-1/36
M=C"
（XM）=-1/36=_丄
乂PxY~J如X）如厉_J（11/36）x（11/36）_H4.30设二维随机向量（X.Y）的概率密度函数为
严匕0<
x,0<
>
\
求Cov（X.Y）和Pxy・
由二维随机向量（X,Y）的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度:
显然，/（X,y）=/x（x）/r（y），所以X与丫相互独立，从而互不相关。
4.31设V4zr（X）=25,Vhr（y）=36,pXY=0.4,^Var（X+Y）和如X-Y）.
COV（X,y）=Pxy・^Var{X）Vcu\Y}=0.4xJ25x36=12
因为Var（X±
Y）=Var（X）+Var（Y）±
2COV（X,Y）
所以WHX+0=25+36+2x12=85
r（X-r）=25+36-2x12=37
4.32设X服从U（-0.5,0.5）,Y=cosX,求pXY.
因X服从U（—0.5,0.5）,所以E（X）=0.于是有
Cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=E（XY）.
XY=XcosX是关于随机变量X的函数，根拯求随机变量函数期望的法则，有
Cov（X,cosM「又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积
y/Va^XyVariY）
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