word完整版小学五年级奥数讲义教师版30讲全Word格式文档下载.docx
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□口口乂□口=□□*□□=5568。
解：
将5568质因数分解为5568=26X3X29。
由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积有两种：
58X96和64X87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：
12X464,16X348,24X232,
29X192,32X174,48X116。
显然，符合题意的只有下面一种填法：
174X32=58X96=556&
例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
先用443000除以573,通过所得的余数，可以求出应添的三位数。
由443000-
573=773……71推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502
例4已知六位数33□口44是89的倍数，求这个六位数。
因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。
先从右边做除法。
由被除数的个位是4,推知商的个位是6;
由左下式知，十位相减后的差是1,所以商的十位是9。
这时，虽然89X96=8544,但不能认为六位数中间的两个□内是85,因为还
89）33Q
Pet
a
E01
幺D1
再从左边做除法。
如右上式所示，
由左、右两边做除法的商，得到商是
没有考虑前面两位数。
a可能是6或7,所以b只可能是7或&
3796或3896。
由3796X89=337844,3896X89=346744
知，商是3796,所求六位数是337844。
例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
FORTY
2:
9786
TEN
850
+TEN
十850
SIXTY
31486
先看竖式的个位。
由Y+N+N=Y£
Y+10,推知N要么是0,要么是5。
如果N=5,那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+仁■或T+10,等号两边的奇偶性不同，所以NM5,N=Q此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10,E不是0就是5,但是N=0,所以E=5
竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。
因为N=0,所以I工0,推知1=1,0=9,说明百位加法向千位进2。
再看竖式的百位加法。
因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且灯0或1,
所以R+T+T+P22,再由R,T都不等于9知，T只能是7或&
若T=7,则R=8,X=3,这时只剩下数字2,4,6没有用过，而S只比F大1,S,F不可能是2,4,6中的数，矛盾。
若T=8,则R只能取6或7。
R=6时，X=3,这时只剩下2,4,7,同上理由，出现矛盾；
R=7时,X=4,剩下数字2,3,6,可取F=2,S=3,丫=&
所求竖式见上页右式。
解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。
这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是40,10,10,60,而40+10+10正好是60,真是巧极了！
例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成立。
10702
10703
10704
ABOBD
EFAG
-9814
-9315
-921S
-EFAG
838
888
FFF
ABCBD
按减法竖式分析，看来比较难。
同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？
不妨试试看。
因为百位加法只能向千位进1,所以E=9,A=1,B=0b
如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10,得F=9,与E=9矛盾，所以个位加法向上进1,由1+F+1=1Q得到F=8,这时C=7。
余下的数字有2,3,4,5,6,由个位加法知，G比D大2,所以G,D分别可取4,2或5,3或6,4。
所求竖式是
解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。
另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。
练习1
1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819,求原来的四位数。
621819-（100-1）=6281。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替
字母，使竖式成立：
（1）AB
（2）ABAB
+BCA-ACA
ABCBAAC
£
4ST3T
+4Q§
—8§
8
~5497359
（1）由百位加法知，A=B+1再由十位加法A+C=B+10推知C=9,进而得到A=5,B=4（见上右式）
（2）由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=Q因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1,所以百位减法是（10+B-1）-A=A,
化简为9+B=2A将B=A-1代入，得A=8,B=7（见右上式）。
3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：
1—2—3—4—5—6—7—8—9。
1-（2-3-4-5-6-7-8-9）=90720。
4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：
1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8
1-（2-3）-4-（5-6-7-8）-9=2.8。
提示’因为22冬二而1必须在分子上，2必须在分母上，即器
卞吕、剩下的玉4,6,8,■五个数填在耳中，应使吕=4只有
3X6X8甜土*,1X3X6X7X8「捍址*
=7一种填法。
由沖沖9F帶花
5.将1〜9分别填入下式的□中，使等式成立：
□□*□口=□□*□□□=3634。
提示：
3634=2X23X79。
46X79=23X158=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
提示：
仿照例3。
391344。
7.已知六位数7□口888是83的倍数，求这个六位数。
仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。
774888。
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求abcde.
labcdex3=abcde1
这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所代表的数码。
现
在，我们从另一个角度来解。
labcde与abcdel只是1所在的位置不同，设x=abcde则算式变为
（100000+x）x3=10x+1,300000+3x=10x+1,7x=299999,x=42857。
这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。
我们再看几个例子。
例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
□□□124
x81x81
□□口992
□□□□□10044
解；
设被乘数为跖由唸<
999知K124亍又由81Q1QQ0Q知Q求竖式。
37
123—0因为K是整数』所Ux=1240右上式为所
O1
例3左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立
□□□）□□□□□□
□□匚二
ffiSn
□Z□口
989
112）110760
1008
S96
100810CS
二匚
二
=
□匚□口
bDDc
nq）annodo
竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位
数，所以商为爼阵设除数为孤由9x?
x>
1000>
Px>
lH^f由竖式特点知.除
总一八“上心耳川J菲士*E肾―」数，
Li
所以x=112,被除数为989x112=110768右上式为所求竖式。
代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。
例4在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。
先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。
可以看
出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23x53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。
又由竖式特点知a=9,从而除数应是96的两位数的约数，可能的取值有96,48,32,24和16。
因为，c=5,5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16,进而推知b=6。
因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125,375,625和875之一，经试验只能取375。
至此，已求出除数为16,商为6.375，故被除数为6.375x16=102。
上页右式即为所求竖式。
求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0,则
在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子5）,另一个含有因子5n（不含因子2）,以此为突破口即可求解。
例5一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式
（1）,这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式
（2）,求这个五位数。
（1）ric#
（2）»
“*；
⑴'
和*#卡*
y
—
5L*
由竖式
（1）可以看出被除数为10**0（见竖式
（1）'
），竖式
（1）的除数为3或
9。
在竖式
（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5,而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4,6或8。
当竖式
（1）的除数为3时，由竖式
（1）'
知，a=1或2,所以被除数为100*0或101*0，再由竖式
（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式
（2）的除数为4,被除数为10020;
当竖式
（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为&
因为竖式
（2）的除数只能是4,6,8,由竖式
（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080,10260，10440和10620四种可能，最后由竖式
（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式
（2）的除数为8,被除数为10440。
所以这个五位数是10020或10440。
练习2
1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的
数字，求岀〔1）labcd^3=abcdS;
（.2）7'
^abcxyz二=6Xxyzabco
答案
（1）4285;
（2）46153&
蒜；
（2）用原示五喙示赢耐灌为7X（1000A+B）=6X（1000B+A）,
3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立:
□.□□□□□□.□）□□
□□口
□8□
□□□
化简后得538A=461B由于538与461互质，且A,B均为三位数,所以A=461,B=538。
所求六位数是461538。
2.用代数方法求解下列竖式：
□8□7
□.□□）□.□
□□）□□□□□□
□□
口口
□□
117684-12=9807。
答案
（1）124X81=10044;
（2）
（1）设被乘数为a,
由8a<
999,81a>
10000,推知
123詐K124#
所以a=124o
（2）根据竖式特点知，商是
9807o设除数是a,根据竖式特点由8av100,9a>
100,推知
所以a=12o
3.答案
（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：
易知f=2,g=0;
由g=0知b,d中有一个是5,另一个是偶数而f=2,所以b=5,进而推知
d=6;
再由d=6,f=2知a=2或7,而e=3或4,所以a=7;
最后求出c=5。
见上页右下式。
（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：
由竖式特点知b=c=0；
因为除数与d的乘积是1000
的倍数，d与e都不为0,所以d与除数中必分别含有因子23和52，故d=8,除数是125的奇数倍，因此e=5;
又f工0,e=5，所以f=g=5;
由g=5,d=8得到除数为5000-8=625,再由625Xa是三位数知a=1,所以被除数为625X1008=630000,所求竖式见右上式。
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算,
对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1对于任意数a，b，定义运算“*”：
a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
根据以上的规定，求
12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。
例2己知表示盒的今倍减古b的*例如1A2=1X3^2x1=2.
10A6的值。
10216=10X3-6x1=30-3=27.
、,d3，x>
=2，求x的值
例3对于数為b,c,&
规定5b,c,d>
=2ab—»
己知52,
c
按照定义的运算，
<
1，2，3，X>
=2,
x=6o
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应
避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+,-,X,宁，V,>
等，以防止发生混淆，而
表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。
如例1中，a*b=axb-a-b,新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
例临戲示两个就规定花b
Cl）29（|o|）=?
711
〔2）Q©
x=求龙
Ao2
按新运算的定义，符号表示求两个数的平均数。
⑴因沏0&
确）中机）齢龌新定氏所以其盍义与
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算
3Y1515
按通常的规则从左
24r厂11
（2）因为在中没笔有重新规定运算次序，所以应
至右进行运算。
診3規皤（扣6
由（扣）作魯襁君
器L24
例5规定：
4®
2=4+44
2曲冃+謝恣・
1$^1+1M11+11U,
求佝冃
从已知的三式来看，运算“一”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面
的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数
是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得3—5=3+33+333+3333+33333=37035
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。
例6对于任意自然数，定义：
n!
=1X2X…xn。
例如4!
=1X2X3X4。
那么1!
+2!
+3!
+…+100!
的个位数字是几？
1!
=1，
2!
=1X2=2，
3!
=1X2X3=6，
4!
=1X2X3X4=24，
5!
=1X2X3X4X5=120,
6!
=1X2X3X4X5X6=720,……
由此可推知，从5!
开始，以后6!
，7!
，8!
…，100!
的末位数字都是0。
所以，要求1!
的个位数字，只要把1!
至4!
的个位数字相加便可求得:
1+2+6+4=13所求的个位数字是3。
例7如果mn表示两个数，那么规定：
nDn=4n-（m+r）宁2。
求30（406）012的值。
30（406）012=30[4X6-（4+6）十2]O12=3019012
=[4X19-（3+19）十2]012=65012=4X12-（65+12）十2=9.5
练习3
1.对于任意的两个数a和b,规定a*b=3Xa-b-3。
求8*9的值。
（值为2）
2.已知aHb表示a除以3的余数再乘以b，求13—：
4的值。
（值为4）
3.已知a—b表示（a-b）*（a+b），试计算：
（5-—3）一（1^—6）。
（值为0）
（5田3）e（1璇〕=70-=0,
44
4.规定a©
b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8©
2的值。
答案7■„-=-■--
5.假定mOn表示m的3倍减去n的2倍，即mOn=3m-2r。
（0it算占（号◊〒）
答案
（2）
提示:
x010=7,
已知x◊（401）=7,求x的值
（2）xO（401）=7，x◊（4X3-1X2）=7,
3x-10
X2=7,x=9。
刃=]K卜\
4V=1X-X-X-,
234
⑴求（丙）斗〔57）的值；
⑵已阴二诂看獅的僮
6〔1）—;
（2）8*
（2）相当于由1X2X3X--Xx=40320,求X。
40320-2=20160,20160-3=6720,6720-4=1680,1680-5=336,……8-8=1,
即1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。
所以x=8。
7.对于任意的两个数p,Q,规定P^Q=（pXQ）*4。
例如：
2☆8=（2X8）*4。
已知x^（8^5）=10，求x的值。
x^（8^5）=x☆（8X5*4）=x☆10=xX10*4,由xX10*4=10，求得x=4。
8.定义：
a^b=ab-3b,adb=4a-b/a。
计算：
（“△3）△（2'
b）°
（4^3）△（2△6）=（4X3-3X3）△（4X2-6/2）=3△5=3X5-3X5=0°
9.已知：
23=2X3X4,4=5=4X5X6X7X8,……求（4冋〕4）*（3点3）的值。
新运算“：
”是：
从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是
第二个数字。
（4〔4）*（313）=（4X5X6X7）*（3X4X5）=14。
例1已知b=（a+b）-（a-b），求9探2的值。
这是一道很简单的题，把a=9,b=2代入新运算式，即可算出结果。
但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a探b=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。
所以，仝※2=2x2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。
这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例2定义运算：
a©
b=3a+5ab+kb,其中a,b为任意两个数，k为常数。
比如：
207=3x2+5X2x7+7k。
（1）已知502=73。
问：
805与508的值相等吗？
2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a©
b=b©
a，即新运算“O”符合交换律？
分析与解：
（1）首先应当确定新运算中的常数k。
因为502=3x5+5X5X2+kX2=65+2k，所以由已知502=73,得65+2k=73,求得k=（73-65）-2=4。
定义的新运算是：
a0b=3a+5ab+4b805=3X8+5X8X5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。
因为244工247,所以805工508。
（2）要使a0b=b0a,由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka3a+kb-3b-ka=0,
3x（a-b）-k（a-b）=O,（3-k）（a-b）=0。
对于两个任意数a,b,要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a0b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即a0b=b0a。
例3对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a^b,即a^b=[a,b]-（a,
b）。
比如，10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10^14=70-2=68。
（1）求12^21的值；
（2）已知&
☆x=27，求x的值。
（1）12^21=[12,21]-（12,21）=84-3=81;
（2）因为定义的
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