数学常用巧算速算法Word下载.docx
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2+3=5
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
23125=254375
和满十要进一。
６.十几乘任意数：
第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
13×
326=？
13个位是3
3×
3+2=11
2+6=12
6=18
326=4238
第二讲常用巧算速算中的思维与方法
（1）
【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为
1+2+……+99+100
所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×
100÷
2
=5050
“3+5+7+………＋97+99=？
3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×
49÷
2=2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。
张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。
初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。
问织几何？
”
题目的意思是：
有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。
她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。
问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。
”“答曰：
二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1匹=4丈，1丈=10尺，
90尺=9丈=2匹1丈。
张丘建这一解法的思路，据推测为：
如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是：
5＋…………＋1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来，则算式便是：
1+………………＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。
同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是6×
30=180（尺）
但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。
所以，这妇女30天织的布是
180÷
2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
第三讲常用巧算速算中的思维与方法
（2）
方法一：
分组计算
一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。
例如：
求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。
这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”？
例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。
显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。
怎么办呢？
我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。
然后，将它们分组：
0和999，999，999；
1和999，999，998；
2和999，999，997；
3和999，999，996；
4和999，999，995；
5和999，999，994；
………………
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
………………
最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。
所以，此题的计算结果是
（81×
500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
方法二：
由小推大
计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。
（1）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×
100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。
不妨先化大为小，再由小推大。
先观察“5×
5”的方阵，如下图（图）所示。
容易看到，对角线上五个“5”之和为25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。
所以，“5×
5”方阵的所有数之和为25×
5=125，即53=125。
于是，很容易推出大的数阵“100×
100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。
（2）把自然数中的偶数，像图那样排成五列。
最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。
那么2002出现在哪一列：
因为从2到2002，共有偶数2002÷
2=1001（个）。
从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。
所以，由1001÷
8=125…………1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个。
故2002应排在第二列。
方法三：
凑整巧算
用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。
例如
（1）+=（90＋10）+（9+1）＋（+）=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×
8-5
=1000-5
=995
第四讲常用巧算速算中的思维与方法（3）
巧妙试商
除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。
（1）用“商五法”试商。
当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。
如70÷
14=5，125÷
25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。
“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“5”。
例如1248÷
24=52，2385÷
45=53
（2）同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。
“无除”仍指被除数前两位不够除。
这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9。
5742÷
58=99，4176÷
48=87。
（3）用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”。
一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n时，n除m的商才是9。
同样地，10n≤m＋n＜11n。
这就是我们上述做法的根据。
例如4508÷
49=92，6480÷
72=90。
（4）用差数试商。
当除数是11、12、13…………18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。
若差数是1或2，则初商为9；
差数是3或4，则初商为8；
差数是5或6，则初商为7；
差数是7或8，则初商是6；
差数是9时，则初商为5。
若不准确，只要调小1就行了。
1476÷
18=82（18与14差4，初商为8，经试除，商8正确）；
1278÷
17=75（17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。
恒等变形
恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。
它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。
（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）
=1800＋100
=1900
（2）（+）-（+）
=
第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）
拆数加减
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。
（1）拆成两个分数相减。
又如
（2）拆成两个分数相加。
同分子分数加减
同分子分数的加减法，有以下的计算规律：
分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。
（注意：
分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。
）
由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数的差就是这两个分数的积，
根据这一关系，我们也可以简化运算过程。
先借后还
“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。
做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。
现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。
第六讲常用巧算速算中的思维与方法（5）
个数折半
下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。
（1）分母相同的所有真分数相加。
求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。
这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。
（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。
比方
（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折
半法”求得数。
带分数减法
带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。
（1）减数凑整。
（2）交换位置。
在这两种方法中，第
（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。
第七讲常用巧算速算中的思维与方法（6）
带分数乘法
有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。
（1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。
（2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。
（注：
这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。
（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。
这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。
读者自己去试一试，此处略）。
两分数相除
有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分别相除。
在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：
用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。
不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。
（2）分母相除，一次得商。
在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。
用除法法则可以推出这种方法，此处略。
第八讲小数的速算与巧算
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。
用的时候主要看末位。
但是小数计算中“小数点”一定要对齐。
【例题精讲】
<
一>
凑整法
例1、计算+++。
【分析】与刚好凑成10，与刚好凑成3，这样先凑整运算起来会更加简便。
【解答】原式=（+）+（+）
=10+3
=13
【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。
例2、计算：
+++1999。
【分析】因为小数计算起来容易出错。
刚好1999接近整千数2000，其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。
再把多加的那部分减去。
【解答】+++1999
=2+20+200+【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以引申为读整法，譬如此题。
“”刚好与“2”相差，因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。
但是，一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。
“多减的”要“加上”！
第九讲乘法速算1
一．前数相同的：
1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=（10+B+D）×
10+A×
B
方法：
百位为二，个位相乘，得数为后积，满十前一。
例：
17
13+7=2--（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
3×
7=21
-----------------------
221
即13×
17=221
1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1,B+D≠10,S=（10+B+D）×
乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。
15×
15+7=22-（“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
5×
7=35
255
即15×
17=255
1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×
（A+1）×
方法:
十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
56×
54
（5+1）×
5=30--
6×
4=24
----------------------
3024
1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×
先头加一再乘头两，得数为前积，尾乘尾，的数为后积，乘数相加，看比十大几或小几，大几就加几个乘数的头乘十，反之亦然
67×
64
（6+1）×
6=42
7×
7+4=11
11-10=1
4228+60=4288
4288
方法2：
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
6=36--
（4+7）×
6=66-
4×
7=28
第十讲乘法速算2
二、后数相同的：
.个位是1，十位互补即B=D=1,A+C=10S=10A×
10C+101
十位与十位相乘，得数为前积，加上101.。
--8×
2=16--
101
1701
.<
不是很简便>
个位是1，十位不互补即B=D=1,A+C≠10S=10A×
10C+10C+10A+1
十位数乘积，加上十位数之和为前积，个位为1.。
71×
91
70×
90=63--
70+90=16-
1
6461
个位是5，十位互补即B=D=5,A+C=10S=10A×
10C+25
十位数乘积，加上十位数之和为前积，加上25。
35×
75
7+5=26--
25
2625
<
个位是5，十位不互补即B=D=5,A+C≠10S=10A×
10C+525
两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。
例:
75×
95
7×
9=63--
（7+9）×
5=80-
----------------------------
7125
.个位相同，十位互补即B=D,A+C=10S=10A×
10C+B100+B2
十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方。
86×
26
8×
2+6=22--
36
2236
.个位相同，十位非互补
十位与十位相乘加上个位，得数为前积，加上个位平方，再看看十位相加比10大几或小几，大几就加几个个位乘十，小几反之亦然
73×
43
4+3=31
9
3109+30=3139
3139
第十一讲乘法速算3
.个位相同，十位非互补速算法2
头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10
2809+（7+4）×
10=2809+11×
30=2809+330=3139
三、特殊类型的：
、一因数数首尾相同，一因数十位与个位互补的两位数相乘。
互补的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。
66×
37
（3+1）×
6=24--
7=42
2442
第十二讲乘法速算4
、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。
杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
38×
44
（3+1）×
8*4=32
1632
3+8=11
1632+40=1672
1672
第十三讲乘法速算5
、一因数数首尾互补，一因数十位与个位不相同的两位数相乘。
乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看不相同的因数尾比头大几或小几，大几就加几个互补数的头乘十，反之亦然
46×
75
（4+1）*7=35
6*5=30
5-7=-2
2*4=8
3530-80=3450
3450
、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。
凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。
56×
36
10-6=4，3+1=4，36÷
9也等于4
5*（10-6）=20
4*（10-6）=16
“注：
（10-6）也可以写作（3+1）和（36÷
9）”
---------------
2016
、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。
确定乘数与被乘数，反之亦然。
被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，尾乘尾，得数为后积。
再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几，大几就加几个乘数的尾乘十，反之亦然
74×
56
（7+1）*5=40
4*6=24
7-5=2
2*6=12
12*10=120
4024+120=4144
4144
第十四讲乘法速算6
、两因数首尾差一，尾数互补的算法
不用向第五个那么麻烦了，取大的头平方减一，得数为前积，大数的尾平方的补整百数为后积
24×
3>
3*3-1=8
6^2=36
100-36=64
864
、近100的两位数算法
再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）
93×
100-91=9
93-9=84
100-93=7
7*9=63
8463
、头互补，尾不同的两位数乘法
先确定乘数与被乘数，前两位为将被乘数的头和乘数的头相乘加上乘数的个位数。
后两位为被乘数与乘数尾数的积。
再看被乘数末尾的数比乘数末尾数字小几或大几，小几就减几个乘数的头乘十，反之亦然
22×
81
2*8+1=17
2*1=2
2=1+1
1702+1*80=1782
1782
Ｂ、平方速算
一、求11～19的平方
同上，乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一
17×
17
17＋7=24-
7=49
289
三、个位是5的两位数的平方
同上，十位加1乘以十位，在得数的后面接
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