向左转|向右转
在矩形ABCD中，BC=16，DC=12，动点P从动点D出发，在线段DA上以每秒2的速度运动，动点Q从点C出发，在线段BC上以每秒1的速度向B运动，两点同时出发，当P运动到A时，点Q也随即停止运动，设运动时间为t
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t的函数关系式
2.是否存在时刻t，使得PQ平分BD？
若存在，求出t的值
3.当t为何值时，以BPQ三点为顶点的三角形是等腰三角形
（1）过P做PE⊥BC交BC于E
BC=16
CQ=1s×t=t
∴BQ=16-t
∵AD‖BC,DC⊥BC,PE⊥BC
∴PE=DC=12
∴S△BPQ=1/2PE×BQ=96-6t
（2）设PQ,BD交于O
∵PQ平分BD
∴BO=DO
∵PQ,BD相交
∴∠POD=∠BOQ
∵AD‖BC
∴∠PDO=∠OBQ
∴△POD≌△QOB
∴PD=BQ=2t
∵BQ=16-t
∴16-t=2t
t=16/3
（3）过Q做QF⊥AD交AD于F
∵FQ⊥BC,DC⊥BC,AD‖BC
∴FQ=DC=12,FQ‖DC
∴FD=QC=t
∴PF=PD-FD-AP=16-t-（16-2t）=t
∴PQ2=PF2+FQ2
=144+t2
同理可得：
BP2=AB2+AP2
=144+256-64t+4t2
=400-64t+4t2
BQ2=（16-t）2=256-32t+t2
1.当PB=PQ时
2..当PB=BQ时
3.当BQ=PQ时
四边形中的动点问题、探究性问题讲练
近年来，中考中对四边形知识进行考查时，常见两类问题：
动态几何问题与几何探究性问题。
这两类问题一般呈现问题分步多、综合性强、思维带有规律性等特点。
为提高学生解决这两类问题能力，特讲解下列例题。
1、已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证：
四边形AFCE为菱形．
（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？
若有可能，请求出运动时间t和点Q
秒，当点P在线段AO上运动时，①请用含x的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；③是否存在时刻x，四边形PBEQ的面积为13？
若存在，求出满足条件的x的值；若不能，请说明理由．
（第一题）（第二题）
3、已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD∥BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60°，动点P在线段BC上运动（点P不与B、C点重合），并且∠APQ=60°，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x，
（1）求下底BC的长．
（2）求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少？
（3）在
（2）的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长．
4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．动点P、Q分别是在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
（1）求证：
梯形ABCD是等腰梯形；
（2）设PC为x，MQ=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围；（3）在
（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．
5、如图，在△ABC中，∠ACB＞90°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上的动点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F
（1）求证：
DE=DF；
（2）若AC丄EF试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；（3）当∠B=22.5，CA=CB时，请探索：
点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形？
若不能，请说明理由；若能，求出BC与CE的数量关系．
（第三题）（第四题）（第五题）
6、△ABC是等边三角形，点D是BC上的一个动点（点D不与点B、C．重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图a所示，当点D在线段BC上时①求证：
△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？
并说明理由；
（2）如图b所示，当点D在BC的延长线上时，判断
（1）中的两个结论是否成立？
7、如图，在▱ABCD中，AD=6cm，点P、Q分别是边BC、AD上的动点，点P以一定的速度沿BC从B向
C
匀速运动，与此同时
点
Q
以相同的速度沿
AD从A向D运动，连接AP、PD、BQ、CQ、AP、BQ交于点H，PD、CQ交于点I，连接HI．试猜想：
在运动的过程中，HI的长度是否变化？
若变化，请说明理由；若不变，请求出HI的长度？
图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想．
10、如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；
（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足
（1）或
（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．
（第九题）（第十题）
9、如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．
10、已知：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF．②CF=BC-CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
11、如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD
，
O
为
AC
中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，
（1）中的猜想还成立吗？
请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断
（1）中的猜想是否成立？
若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
专题复习——与矩形有关的动点问题
【例1】如图，在矩形OABC中，已知点B的坐标为（9,4）,点P是矩形边上的一个动点，若点E的坐标为（5，0），且△POE是等腰三角形，求点P的坐标？
【变式1】如图，在矩形OABC中，已知B（8，6），点P是边AB上的一个动点，PM⊥AC，PN⊥OB，则PM+PN的长为
【变式2】如图，在矩形OABC中，已知B（8，6），点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合）设AP=x，四边形PBCO的面积为S
（1）求S关于x的函数关系式并写出x的取值范围
（2）求的值并提出一个与计算结果有关的结论
【变式3】如图，在矩形ABCD中，已知B（8，6），点P是OC边上的一个动点（不与O、C重合）,作PA⊥PQ交直线CB于点Q，设PO=x，CQ=y
（1）求y关于x的函数关系式
（2）点x为何值时，四边形AOCQ的面积最大?
最大面积是多少？
【变式4】如图，在矩形ABCO中，已知B（12，6），点P和点Q分别是OC和BC边上的动点，点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点O运动，点Q从点B出发以每秒1个单位的速度向点C运动，两点同时出发，设运动时间为t（秒），△PAQ的面积为S
（1）求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值
（2）在点P的运动过程中，四边形PAQC的面积是否会改变，请说明理由
（3）在点P的运动过程中，是否存在一点P，使得△PQC与△AOB相似，若存在求出点P的坐标
（4）在点P、Q的运动过程中，是否存在实数t，使得=，若存在，求出t的值
【变式5】如图，在矩形ABCO中，已知B（12，6），直线L从y轴出发，以每秒1个单位的速度向终点BC匀速平移，与边AB、OC分别交于P、Q两点，与此同时，点M从点C出发，以每秒3个单位的速度沿矩形的边CB—BA—AO—OC匀速运动，设△PQM的面积为S，运动时间为t（秒）
（1）求S关于t的函数关系式并写出t的取值范围
（2）求△PQM的面积为12时t的值
（2012日照）如图，矩形ABCD的＝18 ，AD＝4 ，、分别从A、同时，在边上沿方向以2 的匀速，在边BC上沿BC方向以1 的匀速，为，△PBQ的面积为 2．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
5.（2012·福建福州质量检查）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm.动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？
若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．
解
（1）BE＝（t＋4）cm，EF＝（t＋4）cm.
（2）分三种情况讨论：
①当DF＝EF时，有∠EDF＝∠DEF＝∠B，
∴点B与点D重合，∴t＝0.
②当DE＝EF时，∴4＝（t＋4），
解得：
t＝.
③当DE＝DF时，
有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ABC.∴＝，
即＝，
解得：
t＝.
综上所述，当t＝0、或秒时，
△DEF为等腰三角形．
（3）设P是AC的中点，连接BP，∵EF∥AC，
∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE＝∠PBC.
∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．
∵M、N分别是DF、EF的中点，
∴MN∥DE，且ST＝MN＝DE＝2.
分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
当t＝0时，EF＝（0＋4）＝，
TK＝EF·sin∠DEF＝××＝；
当t＝12时，EF＝AC＝10，
PL＝AC·sinC＝×10×＝3.
∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－＝.
∴S▱PQST＝ST·PR＝2×＝.
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为cm2.
6.（2012·广东湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？
若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
分析
（1）根据A、B的坐标，可得到OA＝6、OB＝8、AB＝10；当t＝3时，AN＝5，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM＝OA－OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积．
（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：
①MN＝NA、②MN＝MA、③NA＝MA；直接根据等量关系列方程求解即可．
解
（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），
则OA＝6，OB＝8，AB＝10；
当t＝3时，AN＝t＝5＝AB，
即N是线段AB的中点；∴N（3，4）．
设抛物线的解析式为：
y＝ax（x－6），则：
4＝3a（3－6），a＝－；
∴抛物线的解析式：
y＝－x（x－6）＝－x2＋x.
（2）过点N作NC⊥OA于C；
由题意，AN＝t，AM＝OA－OM＝6－t，
NC＝NA·sin∠BAO＝t·＝t；
则：
S△MNA＝AM·NC＝×（6－t）×t
＝－（t－3）2＋6.
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6.
（3）Rt△NCA中，AN＝t，
NC＝AN·sin∠BAO＝t，
AC＝AN·cos∠BAO＝t；
∴OC＝OA－AC＝6－t，∴N.
∴NM＝＝；
又：
AM＝6－t，AN＝t（0＜t＜6）；
①当MN＝AN时，＝t，
即：
t2－8t＋12＝0，t1＝2，t2＝6（舍去）；
②当MN＝MA时，＝6－t，
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