八年级下册勾股定理知识点归纳.doc

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八年级下册勾股定理知识点和典型例习题

一、基础知识点：

１．勾股定理

内容：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：

如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

２.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

　用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：

，，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　大正方形面积为所以

方法三：

，，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

　如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边

　①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。

②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边

　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：

当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

６.勾股数

　①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等

③用含字母的代数式表示组勾股数：

　（为正整数）；（为正整数）；

（，为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

二、经典例题精讲

题型一：

直接考查勾股定理

例１.在中，．

　⑴已知，．求的长

⑵已知，，求的长分析：

直接应用勾股定理

解：

⑴⑵

题型二：

利用勾股定理测量长度

例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：

这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。

把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.

例题2如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

解析：

同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下（仅供参考）：

解：

如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2

设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.

题型三：

勾股定理和逆定理并用

例题3如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗？

为什么？

解析：

这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。

仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。

详细解题步骤如下：

解：

设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=（4a）2+（2a）2=20a2

同理EF2=5a2,DF2=25a2在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：

本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：

利用勾股定理求线段长度

例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：

解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

合理设元是关键。

解：

根据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE

设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，

∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4（cm）

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，即（8－x）2=x2+42∴64－16x+x2=2+16∴x=3（cm）,即CE=3cm

注：

本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：

利用勾股定理逆定理判断垂直

例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得

AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？

怎样去验证AD边与CD边是否垂直？

解析：

由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。

我们通常截取部分长度来验证。

如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm（想想为什么要设为这两个长度？

），连结MN，测量MN的长度。

①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；

②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225,a2≠225,即92+122≠a2，所以∠A不是直角。

例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

解析：

首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。

转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,

BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。

已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。

题型六：

关于翻折问题

如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：

如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

三、勾股定理练习题

（一）、选择题

1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A：

4，5，6B：

1，1，C：

6，8，11D：

5，12，23

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A：

26B：

18C：

20D：

21

3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4），则OP的长为（）A：

3B：

4C：

5D：

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（）A：

5B：

C：

D：

5、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2

6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A、6B、7C、8D、9

A

B

E

F

D

C

第7题图

7、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，

将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE

的面积为（　）A、3cm2 B、4cm2 C、6cm2D、12cm2

8、若△ABC中，，高AD=12,则BC的长为

A、14B、4C、14或4D、以上都不对

9、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）

（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上答案都不对

D

B

C

A

第10题图

10、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高是（）A、17B、14C、16D、15

（二）、填空题

1、若一个三角形的三边满足，则这个三角形是。

2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，

则这个桌面。

（填“合格”或“不合格”）

3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，

其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为。

A

B

C

D

E

F

5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,

已知CE=3,AB=8,则BF=___________。

6、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，

设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。

第6题图

（三）、解答题

1、已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：

△ABC是直角三角形.（9分）如图，在

2、如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA＝13cm，

且∠ABC＝900，求四边形ABCD的面积。

（2题图）

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BC=6，AC=8，

求AB、CD的长

（3题图）

（4题图）

4．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？



5．如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间

的距离为d（已知d2=400000m2），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。

问最小是多少？

（5题图）

参考答案：

（一）１、Ｂ　２、Ｃ　３、Ｃ　４、Ｃ　５、　A６、Ｃ　７、Ｃ　８、Ｃ9、A10、D

（二）１、直角三角形　　２、合格　　３、　　４、２５　　５、６　　6、２≤ｈ≤３

（三）１、提示：

证（k2－1）2+（2k）2=（k2+1）2

2、解：

连接AC∵在Rt△ABC中，ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２　ＡＣ==5cm

　　　∴S△ABC===6cm　在△ACD中，ＡＣ２+CD２=25+144=169，DA２=132=169，

　　　∴DA２=ＡＣ２+CD２∴△ACD是Rt△∴S△ACD===30cm2

　　　∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36cm2

3、解：

在Rt△ABC中，BC=6，AC=8

　　　　　ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２　ＡＢ＝＝１０ＣＤ＝＝＝4.8

４、解析:

根据勾股定理可求得BF=6cm,所以CF=4cm.设EC=xcm,则EF=DE=（8-x）cm

根据勾股定理，得x2+42=（8-x）2x=4cm

5、解析:

根据勾股定理可求得A、B两个村庄的水平距离是600m,再根据勾股定理可求得最小值是1000m

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