八年级数学下册教案(北师大版).doc
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目录
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
1不等关系
2不等式的基本性质
3不等式的解集
4一元一次不等式
5一元一次不等式与一次函数
6一元一次不等式组
第二章分解因式
1分解因式
2提公因式法
3运用公式法
第三章分式
1分式
2分式的乘除法
3分式的加减法
4分式方程
第四章相似图形
1线段的比
2黄金分割
3形状相同的图形
4相似多边形
5相似三角形
6探索三角形相似的条件
7测量旗杆的高度
8相似多边形的性质
9图形的放大与缩小
第五章数据的收集与处理
1每周干家务活的时间
2数据的收集
3频数与频率
4数据的波动
第六章证明
（一）
1你能肯定吗
2定义与命题
3为什么他们平行
4如果两条直线平行
5三角形内角和定理的证明
6关注三角形的外角
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
1.1不等关系
一、教学目标：
理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。
能够根据具体的事例列出不等关系式。
二、教学过程：
如图：
用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？
（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？
（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？
L=12呢？
（4）由（3）你能发现什么？
改变L的取值再试一试。
在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）²。
（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是
（L/4）²≤25，
即L²/16≤25。
（2）要使原的面积大于100㎝²，就是
π（L/2π）²＞100
即L²/4π＞100。
（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为
8²/4π≈5.1，
4＜5.1
此时圆的面积大。
当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为
12²/4π≈11.5，
9＜11.5，
此时还是圆的面积大。
教师得出结论
（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
L²/4π＞L²/16。
三、随堂练习
1、试举几个用不等式表示的例子。
2、用适当的符号表示下列关系
（1）a是非负数；
（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；
（3）x于17的和比它的5倍小。
1.2不等式的基本性质
一、教学目标
（1）探索并掌握不等式的基本性质；
（2）理解不等式与等式性质的联系与区别.
二、教学内容
我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质1：
在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.
基本性质2：
在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.
1.不等式基本性质的推导
例∵3＜5
∴3+2＜5+2
3－2＜5－2
3+a＜5+a
3－a＜5－a
所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.
例：
3＜4
3×3＜4×3
3×＜4×
3×（－3）＞4×（－3）
3×（－）＞4×（－）
3×（－5）＞4×（－5）
由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.
三、课堂练习
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－1＞2
（2）－x＜
解：
（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3
（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－
2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？
（1）x－6＜y－6;
（2）3x＜3y;
（3）－2x＜－2y.
解：
（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.
∴不等式不成立；
（2）∵x＞y,∴3x＞3y
∴不等式不成立；
（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y
∴不等式一定成立.
4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）x－2＜3;
（2）6x＜5x－1;
（3）x＞5;（4）－4x＞3.
5.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.
（1）a－3b－3;
（2）;
（3）－4a－4b;（4）5a5b;
（5）当a＞0,b0时，ab＞0;
（6）当a＞0,b0时，ab＜0;
（7）当a＜0,b0时，ab＞0;
（8）当a＜0,b0时，ab＜0.
参考答案：
4.
（1）x＜5;
（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－.
5
（1）＞
（2）＞（3）＜（4）＞（5）＞（6）＜（7）＜（8）＞.
1.3不等式的解集
一、教学目标
1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
3.会在数轴上表示不等式的解集.
二、教学过程
1.现实生活中的不等式.
燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02m/s，人离开的速度为4m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？
分析：
人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：
＞.
解：
设导火线的长度应为xcm，根据题意，得
＞
∴x＞5.
2.想一想
（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？
答：
（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.
（2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立.
3.例题讲解
根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.
（1）x－2≥－4;
（2）2x≤8
（3）－2x－2＞－10
解：
（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2
在数轴上表示为：
（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4
在数轴上表示为：
（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8
根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4
在数轴上表示为：
三、课堂练习
1.判断正误：
（1）不等式x－1＞0有无数个解；
（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.
2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）x＞4;
（2）x≤－1;
（3）x≥－2;（4）x≤6.
1.解：
（1）∵x－1＞0,∴x＞1
∴x－1＞0有无数个解.∴正确.
（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,
∴x≤,∴结论错误.
2.解：
1.4一元一次不等式
一、教学目标
1.知道什么是一元一次不等式？
2.会解一元一次不等式.
二、一元一次不等式的定义.
下列不等式是一元一次不等式吗？
（1）2x－2.5≥15;
（2）5+3x＞240;
（3）x＜－4;（4）＞1.
答
（1）、
（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.
（4）为什么不是呢？
因为x在分母中，不是整式.
不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linearinequalitywithoneunknown）.
2.一元一次不等式的解法.
例1解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.
解：
两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得
3＜3x+6
两边都加上－6,得
3－6＜3x+6－6
合并同类项，得
－3＜3x
两边都除以3，得－1＜x
即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.
［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.
［生］解：
去分母，得3（x－2）≥2（7－x）
去括号，得3x－6≥14－2x
移项，合并同类项，得5x≥20
两边都除以5，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
三、课堂练习
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x＞－10;
（2）－3x+12≤0;
（3）＜;
（4）－1＜.
解：
（1）两边同时除以5，得x＞－2.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）移项，得－3x≤－12,
两边都除以－3，得x≥4,
这个不等式的解集在数轴上表示为：
（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,
去括号，得3x－3＜8x－10,
移项、合并同类项，得5x＞7,
两边都除以5，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示为：
（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,
移项、合并同类项，得2x＞3,
两边都除以2，得x＞,
不等式的解集在数轴上表示如下：
1.5一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
二、教学过程
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
（1）当y=0时，2x－5=0,
∴x=,
∴当x=时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
3.试一试
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0.
三、课堂练习
1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？
你是怎样做的？
与同伴交流.
解：
如图1－24所示：
当x取小于的值时，有y1＞y2.
2.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？
并写出过程.
解：
图象如下：
分析：
要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.
［解］
（1）当x＞2时，2x－4＞0;
（2）当x＜4时，－2x+8＞0;
（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.
（4）由2x－4=0,得x=2;
由－2x+8=0,得x=4
所以AB=4－2=2
由
得交点C（3，2）
所以三角形ABC中AB边上的高为2.
所以S=×2×2=2.
3.分别解不等式
5x－1＞3（x+1）,
x－1＜7－x
所得的两个解集的公共部分是什么？
解：
解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2
解不等式x－1＜7－x，得x＜4,
所以两个解集的公共部分是2＜x＜4.
4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：
如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：
设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元，
根据题意，得
y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x,
y2=30%x－700=0.3x－700.
（1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000;
（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000;
（3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000.
所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.
5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
解：
（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x,
把（2，6）代入得，k1=3
∴y1=3x.
当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.
设y2=k2x+b,则有
得k2=－,b=
∴y2=－x+
（2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和，即在－=6小时间是有效的.
1.6一元一次不等式组
一、教学目标
总结解一元一次不等式组的步骤及情形.
二、教学过程
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。
如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。
该校计划每月烧煤多少吨？
解：
设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得
4（x+5）>100,
（1）
且4（x-5）<68.
（2）
未知数x同时满足
（1）
（2）两个条件，把
（1）
（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作4（x+5）>100,
4（x-5）<68.
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不等式组。
解下列不等式组
（1）
（2）
（3）
（4）
（1）
解：
解不等式
（1），得x＞1
解不等式
（2），得x＞－4.
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集是x＞1
（2）
解：
解不等式
（1），得x＜
解不等式
（2），得x＜
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集.如下图
所以，原不等式组的解集是x＜
（3）
解：
解不等式
（1），得x＞
解不等式
（2），得x≤4.
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为＜x≤4.
（4）
解：
解不等式
（1），得x＞4.
解不等式
（2），得x＜3.
在同一条数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集如下图
所以，原不等式组的解集为无解.
我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.
（1）由得x＞1;
（2）由;
（3）由得＜x≤4;
（4）由得，无解.
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.
设a＜b,那么
（1）不等式组的解集是x＞b;
（2）不等式组的解集是x＜a;
（3）不等式组的解集是a＜x＜b;
（4）不等式组的解集是无解.
用语言简单表述为：
同大取大；同小取小；
大于小数小于大数取中间；
大于大数小于小数无解.
三、课堂练习
解下列不等式组
（1）
（2）
［解］
（1）
解不等式
（1），得x＜2
解不等式
（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式
（1）、
（2）的解集，
所以，原不等式组无解.
（2）
解：
解不等式
（1），得x＞2
解不等式
（2），得x＞3
在同一数轴上表示不等式
（1），
（2）的解集，如下图
所以，原不等式组的解集为x＞3.
第二章分解因式
2.1分解因式
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
二、教学过程
一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.
解法一：
S=×+×+×=++=2
解法二：
S=×+×+×=（++）=×4=2
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
分析：
首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.
解：
（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;
（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c
=ab（8a2b－12b2c+c）
（4）－24x3－12x2+28x
=－4x（6x2+3x－7）
三、课堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb（m）
（2）4kx－8ky（4k）
（3）5y3+20y2（5y2）
（4）a2b－2ab2+ab（ab）
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
四、课后作业
1.解：
（1）2x2－4x=2x（x－2）;
（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;
（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;
（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;
（5）－24x2y－12xy2+28y3
=－（24x2y+12xy2－28y3）
=－4y（6x2+3xy－7y2）;
（6）－4a3b3+6a2b－2ab
=－（4a3b3－6a2b+2ab）
=－2ab（2a2b2－3a+1）;
（7）－2x2－12xy2+8xy3
=－（2x2+12xy2－8xy3）
=－2x（x+6y2－4y3）;
（8）－3ma3+6ma2－12ma
=－（3ma3－6ma2+12ma）
=－3ma（a2－2a+4）;
2.利用因式分解进行计算
（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21
=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1
=12.1×（1.3+0.9－1.2）
=12.1×1=12.1
（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4
=13.2×（2.34+0.66－2）
=13.2×1=13.2
（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π（R12+R22+R32）
=3.14×（202+162+122）
=2512
2.2提公因式法
一、教学目标
让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
例1把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：
这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：
a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）
［例2］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
分析：
虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：
（1）a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
解：
（1）2－a=－（a－2）;
（2）y－x=－（x－y）;
（3）b+a=+（a+b）;
（4）（b－a）2=+（a－b）2;
（5）－m－n=－（m+n）;
（6）－s2+t2=－（s2－t2）.
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
解：
（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
（2）3a（x－y）－（x－y）
=（x－y）（3a－1）;
（3）6（p+q）2－12（q+p）
=6（p+q）2－12（p+q）
=6（p+q）（p+q－2）;
（4）a（m－2）+b（2－m）
=a（m－2）－b（m－2）
=（m－2）（a－b）;
（5）2（y－x）2+3（x－y）
=2［－（x－y）］2+3（x－y）
=2（x－y）2+3（x－y）
=（x－y）
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