初三几何4角平分线辅助线.拔高(2014-2015)教师.doc

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2015年中考解决方案

角平分线辅助线拔高

学生姓名：

×××

上课时间：

2014.××.××

角平分线辅助线拔高

自检自查必考点

知识点一角平分线性质

（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；

（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

（3）天然的轴对称模型，三线合一模型

知识点二角平分线辅助线

秘籍一：

往角两边作垂线

解读：

用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等

秘籍二：

往角两边截取相等的线段

解读：

在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题

秘籍三：

过角平分线上的点作垂线

解读：

过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形

秘籍四：

过角平分线上的点作角一边的平行线

解读：

可以构造等腰三角形，可以记作口诀：

“角平分线+平行线，等角三角形现。

总结：

往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆

知识点三角平分线模型

模型一两角平分线相交模型

解读：

这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程

类型一：

在中，如图1，为和的角平分线，与为

推理方法：

如图①，可得，，化简可得

类型二：

如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为

推理方法：

如图②，可得，，化简可得

类型三：

如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为

推理方法：

如图③，，，化简可得

模型二对角互补模型

条件：

①，②∠AOB+∠DCE=180°

结论：

①

②

③

难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）

中考满分必做题

【练1】在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：

．

【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以

含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形．

【练1】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．

【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，

因此可以考虑将图形补成等腰，

之后再证明是的中位线即可．

如图所示，延长、相交于点，

在和中，，

，，

故，从而，．

而，故是的中位线，

从而．

【练2】如图，在中，，、分别是、的平分线，，．

求证：

．

【答案】如图，作，交于，交于．

∵为等腰三角形，且平分

∴为中点，且

∵平分，且

∴为等腰三角形，且为的中点

又∵

∴，且为中点，即

可以发现四边形为矩形，于是

∴

【练3】在中，，的平分线交于，过作，为垂足，

求证：

．

【答案】延长交的延长线于，

过作交于，

容易证得，

且为之中点，

故易得．

【练1】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．

【答案】如图所示，延长到，使，连接、．

因为，故，则．

因为，故．

因为，，故．

因为，故．

因为平分，故．

在和中，，，，

故，从而，因此．

【点评】实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．

【练2】如图，在中，是角平分线，，垂足为．求证：

．

【答案】如图，延长交于于．

因为，，，

所以．

于是．

因为，

所以．

【练3】如图，已知，，，．求证：

．

【答案】解法一：

如图，取的中点，连接、．

∵，，

∴．

∵，，公共，

∴．

∴．

∴．

解法二：

如图，延长到，使，．

∵，，公共，

∴，．

∵，

∴，

∴是等腰三角形底边上的中线，

∴．

解法四：

如图，取、的中点、，

连接、，∴，故．

∵，

∴，

∴，

∴．

∵，，

∴．而，公共，

∴．

∴，，

∴是直角三角形．∴．

【练4】如图，在中，，的平分线交于，过作，垂足为，

求证：

．

【答案】解法一（角分线加中位线）：

如图，延长、交于．

∵，，

∴，．

过作，交于，

则，，．

∴，∴．

解法二（角分线加中位线）：

如图，延长、

交于，过作交于．

∵，，

∴，．故有．

∵，∴．

∵，∴．

解法三（直角三角形斜边中线）：

如图，取的中点，

连接交于，则是斜边上的中线．

∴，．

∴．故，，，

有，故是的重心．

∴为的中线，故．

解法四（角平分线定理与面积比例）：

如图，延长、交于．

∵，，

∴．∴．

而，∴．

∵平分，∴，，

∴．

故，∴．

【练1】是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：

．

【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，

故恢复等腰三角形．延长交的延长线于点，

易证得，所以为的中点，

又，所以为的中位线，故．

这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．

【练2】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证且．

【答案】如图所示，延长到，使，

连接．在和中，，

，，故，

从而、、三点共线，

且是的中点，是的中位线，

故，且

【练3】如图所示，在中，平分，，于，求证．

【答案】如图所示，延长、相交于．

取的中点，连接，则，

故，则．

容易证明，故．

因此．

【练5】已知在中，，的平分线交于，交边上的高于，过作交于，求证：

．

【答案】解法一：

如图，由向作垂线，垂足为，连接．

又∵，，

∴，，公共．

∴，．

又∵，，

∴，故，

∴．而，

∴为平行四边形，故．

又∵，∴．

而，故，

∴．而，∴．

解法二：

如图，作，交于．

∵，，∴．

又∵，，∴．

而，故．∴，．

又∵，∴．∴，

∴，即．∴．

解法三：

如图，过作，垂足为．

过作，垂足为．

又∵，，

∴，∴．

∵，，

∴，∴，∴．

又∵，，而．

∴，，故．

解法四：

如图，延长到，使，连接，

过作交于，显然．

∴，．

又，公共，

∴，，．

显然为平行四边形，

∴．

由另证1可知，故．

【练1】如图所示，在中，，于，的角平分线交与，交于，平行于交于．，，则______．

【解析】角平分线、直角．

过作垂直交于点，易证；

由角度分析易知，即；则有；

又可证，则，则．

【答案】4

【练2】如图，在△中，，平分交于，于交于，∥交于，连接．求证：

【答案】先证△≌△，再证△≌△

【练2】如图所示，在中，于，平分，交于，交于，在上取，连接，证明：

是直角三角形．

【答案】过做垂直于；

由角的关系易得，即；

易证；；

，；

综合得到，，得证．

【练3】在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：

．

【答案】解法一（四点共圆+垂径定理）：

如图．，4点共圆，．

又，，，故．

解法二（证菱形）：

如图，连接

是的平分线，，，

，．，，

，，，

，四边形是菱形．．

解法三（三线合一）：

如图．

，，公共，

．，．

是的中垂线，故．

解法四（截长补短）：

如图，延长交于，连接．

，，，．

显然，．

又，4点共圆，

为等腰梯形，为等腰三角形．

，．而，．

【拓展】如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于，于，求证：

．

【答案】解法一：

如图，过作，

交于，垂足为，连接．

∵，，

，，

∴．∴是的中垂线．

又∵，∴，

∴是菱形（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形），

∴，，，

∴．∴．

解法二：

如图，过作．

∵，，∴．

∵，，

∴．而，

∴，∴．

∵，∴．

∵，，

∴，故．

∴，，∴．

中考真题拔高

注：

中考题和模拟题的几何压轴题经常把角平分线的基本性质和对称性，和垂直平分线基本性质结合起来考。

可以根据全等得到角等推出对角互补，从而推导出四个角相等，经常和相似结合起来出相似比，也会和圆结合起来考。

【练6】已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合.

（1）如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图，在

（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；

（3）若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长.

（09年昌平一模）

【答案】

（1）与的数量关系是相等

过点作，，垂足分别为点．

∵，易得．

，

而，

．

∵是的平分线，

，

又∵，

．

．

（2），，

，

∵，

．

又∵，

∽．

．

∵，

．

（3）如图1所示，若与射线相交，则；

如图2所示，若与直线的交点与点在点的两侧，则．

【练7】

（1）如图1，为的角平分线，于，于，，请补全图形，并求与的面积的比值；

（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角

形，与相交于点，判断与的数量关系，并证明；

（3）在四边形中，已知，且，对角线平分，

请直接写出和的数量关系.

（10年昌平二模）

【答案】

（1）解：

如图1所示.

∵为的角平分线，于，于，∴．

∵,,，

∴.

（2）答：

与的数量关系为相等．

证明：

如图2，过点作⊥于,⊥于,

∵和都是等边三角形，

∴．

∵,

∴．

∴≌．

∴,

∵,,

∴．∴点在的角平分线上．

∴．

（3）答：

．

【练8】已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°.

（1）利用图1，求证：

PA=PB；

（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；

（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长.

图2

图1

图3

（2011昌平一模）

【答案】

（1）

在上截取，连接，

∵∴

又∵

∴

∵∴，∵∴

∴∴

（2）

∵

∵且

∴∴∵，∴

∴．　

（3）

作交于，∵且平分∴

∵∴

∵∴

∵∴

∵在中∴，∴

∴在中，∴

【练9】已知：

如图，为锐角，平分，点，点分别在射线和上，.

（1）若点在线段上，线段的垂直平分线交直线于点，直线交直线

于点，求证：

；

（2）若

（1）中的点运动到线段的延长线上，

（1）中的其它条件不变，猜想

的数量关系并证明你的结论.

（1）证明：

备用图1

备用图2

（2）

（2014年1月西城八年级期末试题—附加题）

【练10】已知和关于直线对称（点的对称点是点），点、分别是线段和线段上的点，且点在线段的垂直平分线上，联结、，交于点．

（1）如图

（1），求证：

；

（2）如图

（2），当时，是线段上一点，联结、、，的延长线交于点，，，试探究线段和之间的数量关系，并证明你的结论．

图

（1）图

（2）

（2014年1月丰台九年级期末试题）

【答案】

（1）证明：

如图1连接

∵点在线段的垂直平分线上,

∵和关于直线对称

∵图1

（2）解：

证明：

如图2，由

（1）可知

∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD=∠EAF

图2

∴．∴，设，则

过点F作FQ∥ED交AE于Q，

∴GQ=EG=．∴QE=，MQ=MG+GQ=3k+=

∵FQ∥ED，.∴FM=FN

【练11】在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段。

（1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

（2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围。

（2012年北京中考试题）

【答案】

（1）补全图形，见图1；

；

（2）猜想：

.

证明：

如图2，连结.

是的中点，

.

点在直线上，

.

又为公共边，

.

又，

.

在四边形中，.

（3）的范围是.

【练12】在，为锐角，平分交于点

（1）如图1，若是等腰直角三角形，直接写出线段之间的数量关系；

（2）的垂直平分线交延长线于点，交于点．

①如图2，若，判断之间有怎样的数量关系并加以证明；

②如图3，若，求的度数．

（2014年西城二模）

【答案】

（1）

（2）①

证明：

在线段上截取，连接．

平分．又

又，∴是等边三角形．∴．

∴．

②在线段上截取，连接，作于点．

易证是等腰三角形、

，．

在中，

．