初中数学总复习尺规作图1.doc
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尺规作图
尺规作图的定义：
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：
作一条线段等于已知线段。
已知：
如图，线段a.
求作：
线段AB，使AB=a.
作法：
①作射线AP；
②在射线AP上截取AB=a.
则线段AB就是所求作的图形。
题目二：
作已知线段的中点。
已知：
如图，线段MN.
求作：
点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
①分别以M、N为圆心，大于1/2MN的相同
线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；
②连接PQ交MN于O．
则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（试问：
PQ与ＭＮ有何关系？
）
题目三：
作已知角的角平分线。
已知：
如图，∠AOB，
求作：
射线OP,使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
①以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
②分别以M、Ｎ为圆心，大于1/2MN
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
③作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：
作一个角等于已知角。
（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：
已知三边作三角形。
已知：
如图，线段a，b，c.
求作：
△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.
作法：
①作线段AB=c；
②以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心
a为半径作弧与前弧相交于C；
③连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目六：
已知两边及夹角作三角形。
已知：
如图，线段m，n,∠.
求作：
△ABC，使∠A=∠，AB=m，AC=n.
作法：
①作∠A=∠；
②在AB上截取AB=m,AC=n；
③连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
题目七：
已知两角及夹边作三角形。
已知：
如图，∠，∠，线段m.
求作：
△ABC，使∠A=∠，∠B=∠,AB=m.
作法：
①作线段AB=m；
②在AB的同旁作∠A=∠，作∠B=∠，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
一、尺规基本作图归纳
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作角的平分线；
4、作线段的中垂线；
5、已知三边,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形;
6、已知底边和底边上的高作等腰三角形；
7、过直线上一点作直线的垂线；
8、过直线外一点作直线的垂线.
例题：
1、如图,有一破残的轮片,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件,请你根据所学的有关知识,设计一种方案,确定这个圆形零件的半径.
2、如图:
107国道OA和320国道OB在某市相交于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置（不写作法,保留作图痕迹,写出结论）
3、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？
4、过点C作一条线平行于AB；
5、过不在同一直线上的三点A、B、C作圆O；
6、过直线外一点A作圆O的切线。
二、几何画图：
1、只利用一把有刻度的直尺,用度量的方法,按下列要求画图:
1）画等腰三角形ABC的对称轴:
2）画∠AOB的对称轴
2、有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板（注：
不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画图痕迹，写出画法.
3、某校有一个正方形的花坛，现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉，请你帮助设计至少三种不同的方案，分别画在下面正方形图形上（用尺规作图或画图均可，但要尽可能准确些、美观些）．
4、某村一块若干亩土地的图形是ΔABC，现决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供至少两种分法。
要求：
画出图形，并简要说明分法。
5、如图所示，在正方形网格上有一个三角形ABC.
①作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；
6题
7题
A
N
B
M
C
C
5题
②若网格上的最小正方形的边长为1.求△ABC的面积.
6、如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图
（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
①求图中四边形ABCD的面积；
②在图中方格纸上画一个格点△EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
7、如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8、某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛。
（1）若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域（如图）内确定圆形花坛的圆心P；
（2）若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积。
9、如图，平行四边形纸条ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点。
张老师请同学们将纸条的下半部分平行四边形ABEF沿EF翻折，得到一个V字形图案。
（1）请你在原图中画出翻折后的图形平行四边形A1B1FE；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=63°，求∠B1FC的大小。
10题
8题
9题
10、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请用利用格点和直尺（无刻度）作出∠AOB的平分线。
11、小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分,请你帮助他设计一个合理的等分方案（要求用尺规作图,保留作图痕迹）
12、某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；
（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？
请说明理由.
13、作一个半圆，使圆心在直角三角形ABC直角边AC上，且与斜边AB直角边BC都相切
14、问题探究：
（1）请在图①的正方形内，画出使的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．
D
C
B
A
①
P
D
C
B
A
②
O
P
E
F
D
C
B
A
③
E
G
O
P
（第14题答案图）
D
C
B
A
①
D
C
B
A
③
D
C
B
A
②
（第14题图）
（3）问题解决：
如图③，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出的面积
（结果保留根号）．
14．（本题满分12分）
解：
（1）如图①，
连接交于点，则．
点为所求． （3分）
（2）如图②，画法如下：
1）以为边在正方形内作等边；
2）作的外接圆，分别与交于点．
在中，弦所对的上的圆周角均为，
上的所有点均为所求的点． （7分）
（3）如图③，画法如下：
1）连接；
2）以为边作等边；
3）作等边的外接圆，交于点；
4）在上截取．
则点为所求． （9分）
（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）
过点作，交于点．
在中，．
．
．（10分）
在中，，
．
在中，，
．
．
．（12分）
尺规作图
〖考试内容〗
基本作图.利用基本作图作三角形.过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
〖考试要求〗
①能完成以下基本作图：
作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线.
②能利用基本作图作三角形：
已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形.
③能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.
④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）.
〖考点复习〗
[例1]如图，已知△ABC，ÐC＝90º。
按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）；
①作ÐB的平分线，与AC相交于点D；
②在AB边上取一点E，使BE＝BC；
③连结ED。
（2）根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角。
（不包括BE＝BC，ÐEBD＝ÐCBD）
[例2]如图，∠AOB内有两定点C、D，求作：
一点P使PC=PD，且P到∠AOB的两边之距相等。
要求：
用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
[例3]要在公路旁建一所小学，使A村、B村到小学的距离之和最小，请作出小学的位置。
[例4]如图，在大圆中有一个小圆O。
（1）确定大圆的圆心；
（2）作直线l，使其将两圆的面积均二等分。
[例5]已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1.
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.
图2
F
D
E
A
B
C
图1
〖考题训练〗
1．下列关于作图的语句中正确的是（）
A.画直线AB＝10厘米.
B.画射线OB＝10厘米.
C.已知A、B、C三点，过这三点画一条直线.
D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行.
2．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正
方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画
出图形．
（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2；
（2）以
（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）以
（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．
3．小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）。
4．如图，平行四边形纸条ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，张老师请同学将纸条的下半部分□ABFE沿EF翻折，得到一个V字形图案。
（1）请你在原图中画出翻折后的图形□A¢B¢FE
；（用尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）
（2）已知∠A=630，求∠B′FC的大小。
5．如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H、T两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
理由是：
6．如图，已知正方形ABCD的面积为S。
（1）求作：
四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称（只要画出图形，不要求写出作法）；
（2）用S表示
（1）中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按
（1）的要求作出一个新的四边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？
为什么？
例5．如图，A为半圆上一个三等分点，B为中点，MN为直径，P为MN上一动点，在MN上求作一点，使PA＋PB的距离最短，并求PA＋PB的最小值。
（）
A、1 B、C、D、－1
〖课后作业〗
①．请在图中作出△ABC的角平分线BD（要求保留作图痕迹）。
②．用尺规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
为保护环境，市政府计划在连结A、B两居民区的公路北侧1500米的海边修建一座污水处理厂，设计时要求该污水处理厂到A、B两居民区的距离相等。
（1）若要以1∶50000的比例尺画设计图，求污水处理厂到公路的图上距离；
（2）在图中画出污水处理厂的位置P。
③．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为。
④．如图，有一条小船，
（1）若把小船平移，使点A平移到点B，请你在图中画出平移后的小船；
（2）若该小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给后，再航行到点B，但要求航程最短，试在图中画出点P的位置。
1、（11·贵港）（本题满分6分）
按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）
（1）在图
（1）中作出∠ABC的平分线；
（2）在图
（2）中作出△DEF的外接圆O．
A
B
C
图
（1）
F
D
E
图
（2）
【答案】如图，（每画对一个得3分，共6分）
2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________．
（第11题）
B
A
M
O
3、为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：
不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
考点：
作图—应用与设计作图。
专题：
作图题。
分析：
易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
解答：
解：
作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
点评：
考查设计作图；得到点M是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．
-12-
中考数学尺规作图
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