春第二次网上作业数学.doc

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大家的线性代数学习也进行了差不多一半了，对最近所学内容有什么见解，可以写下来；也可以对所学知识进行一个归纳总结；或者对某种类型的题目有更好的解法也可以写下来。

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线性代数知识归纳总结

√关于：

①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

②线性无关；

③；

④；

⑤任意一个维向量都可以用线性表示.

√行列式的计算：

①若都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

③关于副对角线：

√逆矩阵的求法:

①

②

③

④

⑤

√方阵的幂的性质：

√设，对阶矩阵规定：

为的一个多项式.

√设的列向量为,的列向量为，的列向量为,

√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.

√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：

√矩阵方程的解法：

设法化成

当时,

√和同解（列向量个数相同）,则：

①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

②它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③它们有相同的内在线性关系.

√判断是的基础解系的条件：

①线性无关；

②是的解；

③.

①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.

⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.

⑥向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.

⑦向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.

⑧维列向量组线性相关；

维列向量组线性无关.

⑨.

⑩若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.

⑪矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

⑫矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

向量组等价和可以相互线性表示.记作：

矩阵等价经过有限次初等变换化为.记作：

⑬矩阵与等价作为向量组等价,即：

秩相等的向量组不一定等价.

矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价.

⑭向量组可由向量组线性表示≤.

⑮向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.

向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.

⑯向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

⑰任一向量组和它的极大无关组等价.

⑱向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.

⑲若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

⑳若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性无关,即：

线性无关.

线性方程组的矩阵式向量式

13

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

线性方程组解的性质：

√设为矩阵,若,则,从而一定有解.

当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.

是的上限.

√矩阵的秩的性质：

①

②≤

③≤

④

⑤

⑥≥

⑦≤

⑧

⑨

⑩且在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

.

是单位向量.

√内积的性质：

①正定性：

②对称性：

③双线性：

施密特线性无关,

单位化：

正交矩阵.

√是正交矩阵的充要条件：

的个行（列）向量构成的一组标准正交基.

√正交矩阵的性质：

①；

②；

③是正交阵,则（或）也是正交阵；

④两个正交阵之积仍是正交阵；

⑤正交阵的行列式等于1或-1.

的特征矩阵.

的特征多项式.

的特征方程.

√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.

√若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.

√

√若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：

.

√若的全部特征值，是多项式,则:

①的全部特征值为；

②当可逆时,的全部特征值为,

的全部特征值为.

√

√

与相似（为可逆阵）记为：

√相似于对角阵的充要条件：

恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.

√可对角化的充要条件：

为的重数.

√若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.

与正交相似（为正交矩阵）

√相似矩阵的性质：

①若均可逆

②

③（为整数）

④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:

是关于的特征向量,是关于的特征向量.

⑤从而同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√数量矩阵只与自己相似.

√对称矩阵的性质：

①特征值全是实数,特征向量是实向量；

②与对角矩阵合同；

③不同特征值的特征向量必定正交；

④重特征值必定有个线性无关的特征向量；

⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.

可以相似对角化与对角阵相似.记为：

（称是的相似标准型）

√若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.

√设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

.

√若,,则：

.

√若,则,.

二次型为对称矩阵

与合同.记作：

（）

√两个矩阵合同的充分必要条件是：

它们有相同的正负惯性指数.

√两个矩阵合同的充分条件是：

√两个矩阵合同的必要条件是：

√经过化为标准型.

√二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.

√当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形.

√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.

√用正交变换法化二次型为标准形:

①求出的特征值、特征向量；

②对个特征向量单位化、正交化；

③构造（正交矩阵）,；

④作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.

正定二次型不全为零，.

正定矩阵正定二次型对应的矩阵.

√合同变换不改变二次型的正定性.

√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

①正惯性指数为；

②的特征值全大于；

③的所有顺序主子式全大于；

④合同于，即存在可逆矩阵使；

⑤存在可逆矩阵，使（从而）；

⑥存在正交矩阵，使（大于）.

√成为正定矩阵的必要条件：

；.