等腰三角形的性质精选试题附答案.doc
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等腰三角形的性质精选试题
一．选择题（共21小题）
1．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．
7
B．
11
C．
7或11
D．
7或10
2．（2006•仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是（ ）
A．
15°
B．
30°
C．
50°
D．
65°
3．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（ ）
A．
20°
B．
25°
C．
30°
D．
40°
4．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（ ）
A．
75°
B．
15°
C．
75°或15°
D．
30°
5．（2006•普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．
顶角的一半
B．
底角的一半
C．
90°减去顶角的一半
D．
90°减去底角的一半
6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（ ）
A．
6
B．
9
C．
12
D．
15
7．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（ ）
A．
10°
B．
15°
C．
20°
D．
30°
8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（ ）
A．
0对
B．
1对
C．
2对
D．
3对
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为（ ）
A．
90°
B．
80°
C．
68°
D．
60°
10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（ ）
A．
110°
B．
140°
C．
110°或140°
D．
以上都不对
11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（ ）
A．
40°
B．
30°
C．
20°
D．
10°
12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（ ）根．
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
48
B．
24
C．
12
D．
6
14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为（ ）
A．
50°
B．
60°
C．
70°
D．
65°
15．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（ ）
A．
50°
B．
60°
C．
70°
D．
80°
16．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（ ）
A．
∠1=2∠2
B．
2∠1+∠2=180°
C．
∠1+3∠2=180°
D．
3∠1﹣∠2=180°
17．有下列命题说法：
①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（ ）
A．
2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
18．设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是（ ）
A．
0°≤∠A≤180°
B．
0°＜∠A＜180°
C．
0°≤∠A≤90°
D．
0°＜∠A＜90°
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若AB=5cm，△BCD的周长为8cm，那么BC的长是（ ）cm．
A．
3
B．
4
C．
5
D．
2
20．已知△ABC中，∠C=32°，∠A、∠B的外角平分线分别交对边的延长线于D、E两点，且AC=AD，则∠E=（ ）
A．
10°
B．
16°
C．
20°
D．
24°
21．如图，△ABC中，AB=BC=AD，D在BC的延长线上，则角α和β的关系是（ ）
A．
α+β=180°
B．
3α+2β=180°
C．
3α+β=180°
D．
2β=α
二．填空题（共5小题）
22．（2011•沈河区一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在BC、AC边上，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，
则∠BAD的度数为 _________ ．
23．如图，已知：
AB=AC=AD，∠BAC=50°，∠DAC=30°，则∠BDC= _________ ．
24．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 _________ 根．
25．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B _________ ∠1，∠C _________ ∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG= _________ 度．
26．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有 _________ 处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于 _________ ．
三．解答题（共4小题）
27．已知：
如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．
猜想：
_________ ．
证明：
28．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．
（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？
（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？
（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？
（不必证明）
29．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24cm，且BC=10cm，求AB的长．
30．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O
（1）连接OA，求∠OAC的度数；
（2）求：
∠BOC．
等腰三角形的性质精选试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．
7
B．
11
C．
7或11
D．
7或10
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系．1184454
专题：
分类讨论．
分析：
题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．
解答：
解：
设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，
得①或②
解方程组①得：
，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；
解方程组②得：
，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，
即等腰三角形的底边长是11或7；
故选C．
点评：
本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：
求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答．
2．（2006•仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是（ ）
A．
15°
B．
30°
C．
50°
D．
65°
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．1184454
专题：
计算题．
分析：
首先由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由DE垂直平分AC可得DC=AD，推出∠DAC=∠DCA．易求∠DCB．
解答：
解：
AB=AC，∠A=50°⇒∠ABC=∠ACB=65°．
∵DE垂直平分AC，∴∠DAC=∠DCA．
∴∠DCB=∠ACB﹣∠DCA=65°﹣50°=15°．
故选A．
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，考生主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．
3．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（ ）
A．
20°
B．
25°
C．
30°
D．
40°
考点：
等腰三角形的性质．1184454
专题：
几何图形问题．
分析：
根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．
解答：
解：
∵AC=AE，BC=BD
∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，
∴∠A=180°﹣2x°，
∠B=180°﹣2y°，
∵∠ACB+∠A+∠B=180°，
∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，
∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．
点评：
根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．
4．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（ ）
A．
75°
B．
15°
C．
75°或15°
D．
30°
考点：
等腰三角形的性质；三角形内角和定理．1184454
专题：
压轴题；分类讨论．
分析：
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
解答：
解：
当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；
当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；
所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．
点评：
熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．
5．（2006•普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）
A．
顶角的一半
B．
底角的一半
C．
90°减去顶角的一半
D．
90°减去底角的一半
考点：
等腰三角形的性质．1184454
分析：
作出图象根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余列式求解．
解答：
解：
△ABC中，∵AB=AC，BD是高，
∴∠ABC=∠C=
在Rt△BDC中，∠CBD=90°﹣∠C=90°﹣=．
故选A．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质：
等边对等角，以及直角三角形两锐角互余的性质．题目本身是规律性的结论，要注意总结掌握，在今后的分析问题时可直接应用．
6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（ ）
A．
6
B．
9
C．
12
D．
15
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．1184454
分析：
由DE是AC的垂直平分线，即可证得AD=CD，即可得△BDC的周长是AB与BC的和，又由AB=AC=9，BC=6，即可求得答案．
解答：
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴△BDC的周长是：
BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC，
∵AB=AC=9，BC=6，
∴△BDC的周长是：
AB+BC=9+6=15．
故选D．
点评：
此题考查了线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
7．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（ ）
A．
10°
B．
15°
C．
20°
D．
30°
考点：
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．1184454
专题：
计算题．
分析：
根据等腰三角形的性质求出∠ABC，求出∠A，根据线段的垂直平分线求出AD=BD，得到∠A=∠ABD，求出∠ABD的度数即可．
解答：
解：
∵AC=AB，∠C=70°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．
故选D．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，题目比较典型，难度适中．
8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（ ）
A．
0对
B．
1对
C．
2对
D．
3对
考点：
等腰三角形的性质．1184454
分析：
利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．
解答：
解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BD+DE=CE+DE
即：
BE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴图中全等的三角形共有2对，
选C．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、SSA、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF的度数为（ ）
A．
90°
B．
80°
C．
68°
D．
60°
考点：
等腰三角形的性质；三角形的外角性质．1184454
专题：
计算题．
分析：
先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．
解答：
解：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E
∴∠BED=∠FDC=90°
∵∠AFD=158°
∴∠EDB=∠CFD=180°﹣158°=22°
∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣22°=68°．
故选C．
点评：
本题综合考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（ ）
A．
110°
B．
140°
C．
110°或140°
D．
以上都不对
考点：
等腰三角形的性质．1184454
专题：
计算题；分类讨论．
分析：
利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：
三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．
解答：
解：
∵等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，
∴当顶角∠A=40°时，则∠C=∠B=（180﹣40）=70°，
∴∠ACB的外角的度数是180﹣70=110°，
∴当底角∠A=40°时，∠B=40°，则∠ACB的外角的度数为2∠A=2×40=80°，
当底角∠A=40°时，∠ACB=40°，则∠ACB的外角的度数为180﹣40=140°．
故选C．
点评：
此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系；此题要采用分类讨论的思想，本题比较简单，属于基础题．
11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（ ）
A．
40°
B．
30°
C．
20°
D．
10°
考点：
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．1184454
分析：
根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出∠B=∠C=40°，根据线段垂直平分线得出BD=AD，AE=CE，推出∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，即可求出∠DAE．
解答：
解：
∵∠BAC=100°，AC=AB，
∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=40°，
∵DM、EN分别是边AB和AC的垂直平分线，
∴BD=AD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，
∴∠DAE=100°﹣40°﹣40°=20°，
故选C．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线等知识点，注意：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．
12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（ ）根．
A．
4
B．
5
C．
6
D．
7
考点：
等腰三角形的性质．1184454
分析：
由于焊上的钢条长度相等，并且AP1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数．
解答：
解：
∵∠A=∠P1P2A=16°
∴∠P2P1P3=32°，∠P1P3P2=32°
∴∠P1P2P3=116°
∴∠P3P2P4=48°
∴∠P3P2P4=48°
∴∠P2P3P4=96°
∴∠P4P3P5=52°
∴∠P3P5P4=52°
∴∠P3P4P5=52°
∴∠P5P4P6=76°
∴∠P4P6P5=76°
∴∠P4P5P6=28°
∴∠P6P5P7=86°，
此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．
故选B．
点评：
本题主要考点：
等腰三角形底角相等，三角形内角和为180度，平角度数为180度等．结合图形依次算出各角的度数，根据等腰三角形底角小于90度判断何时不能在焊接上．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
48
B．
24
C．
12
D．
6
考点：
轴对称的性质；等腰三角形的性质．1184454
分析：
根据等腰三角形性质求出BD=DC，AD⊥BC，推出△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF=S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．
解答：
解：
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD=DC=8，AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF=S△CEF，
∵△ABC的面积是×BC×AD=×8×6=24，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC=12．
故选C．
点评：
本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的面积，轴对称性质等知识点的理解和掌握，能求出图中阴影部分的面积是S△ABC是解此题的关键．
14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为（ ）
A．
50°
B．
60°
C．
70°
D．
65°
考点：
等腰三角形的性质．1184454
分析：
要求∠PAB，题中已知没有能直接求出的条件，故可作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P'C、PP'，得出A、B、C、P'四点共圆，从而求得∠PAB的度数．
解答：
解：
如图，作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P′C、PP′，
则P′C=PC，ACP′=∠ACP．
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
又∵∠PBC=10°，∠PCB=20°，
∴∠BPC=150°，∠ACP=30°，∠ACP′=30°，
∴∠PCP′=60°，
∴△PCP′是等边三角形，
∴PP′=PC，∠P′AC=∠PAC，∠P′PC=60°，
∴∠BPP′=360°﹣150°﹣60°=150°，
∴∠BPP′=∠BPC，
∴△PBP′≌△PBC，
∴∠PBP′=∠PBC=10°，
∴∠P′BC=20°，∠ABP′=30°又∠ACP′=30°，
∴∠ABP′=∠ACP′，
∴A、B、C、P′四点共圆，
∴∠PAC=∠P′AC=∠P′BC=20°，
∴∠PAB=60°．
故选B．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质及全等三角形的判定，难度较大．辅助线的作出是解答本题的关键．
15．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（ ）
A．
50°
B．
60°
C．
70°
D．
80°
考点：
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．1184454
分析：
连接BD、AC．设∠1=x．根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，BD=CD．根据等边对等角，得∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x．根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，进而求得∠ADC．
解答：
解：
连接BD，AC．设∠1=x，
∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，
∴AD=BD，BD=CD，
∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，
根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，
∴∠ADC=∠BDC﹣∠ADB=80°．
故选D．
点评：
此题综合考查了线段垂直平分线的
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