二次函数中的存在性问题(平行四边形).doc
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二、已知三个定点,再找一个定点构成平行四边形(平面内有三个点满足)
1.【08湖北十堰】已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0),与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时,求抛物线的解析式;
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
⑴对称轴是直线:
,点B的坐标是(3,0).……2分
说明:
每写对1个给1分,“直线”两字没写不扣分.
⑵如图,连接PC,∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0),
∴AB=4.∴
在Rt△POC中,∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴
∴b=………………………………3分
当时,
∴ ………………………………4分
∴………………5分
⑶存在.……………………………6分
理由:
如图,连接AC、BC.设点M的坐标为.
①当以AC或BC为对角线时,点M在x轴上方,此时CM∥AB,且CM=AB.
由⑵知,AB=4,∴|x|=4,.
∴x=±4.∴点M的坐标为.…9分
说明:
少求一个点的坐标扣1分.
②当以AB为对角线时,点M在x轴下方.
过M作MN⊥AB于N,则∠MNB=∠AOC=90°.
∵四边形AMBC是平行四边形,∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.∴△AOC≌△BNM.∴BN=AO=1,MN=CO=.
∵OB=3,∴0N=3-1=2.
∴点M的坐标为.……………………………12分
说明:
求点M的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,
然后求交点M的坐标的方法均可,请参照给分.
综上所述,坐标平面内存在点,使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其坐标为.
说明:
①综上所述不写不扣分;②如果开头“存在”二字没写,但最后解答全部正确,不扣分。
2.【09浙江湖州】已知抛物线()与轴相交于点,顶点为.直线分别与轴,轴相交于两点,并且与直线相交于点.
(1)填空:
试用含的代数式分别表示点与的坐标,则;
(2)如图,将沿轴翻折,若点的对应点′恰好落在抛物线上,′与轴交于点,连结,求的值和四边形的面积;
(3)在抛物线()上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点的坐标;若不存在,试说明理由.
第
(2)题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
P1
P2
备用图
(1).……………4分
(2)由题意得点与点′关于轴对称,,
将′的坐标代入得,
(不合题意,舍去),.……………2分
,点到轴的距离为3.
,,直线的解析式为,
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.……………2分
(3)当点在轴的左侧时,若是平行四边形,则平行且等于,
把向上平移个单位得到,坐标为,代入抛物线的解析式,
得:
(不舍题意,舍去),,.……………2分
当点在轴的右侧时,若是平行四边形,则与互相平分,
.
与关于原点对称,,
将点坐标代入抛物线解析式得:
,
(不合题意,舍去),,.……………2分
存在这样的点或,能使得以为顶点的四边形是平行四边形.
二、已知两个定点,再找两个点构成平行四边形
①确定两定点连接的线段为一边,则两动点连接的线段应和已知边平行且相等)
1.【09福建莆田】已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧。
点B的坐标为(1,0),OC=30B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值:
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上。
是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵对称轴………1分
又∵OC=3OB=3,,
∴C(0,-3)………2分
方法一:
把B(1,0)、C(0,-3)代入得:
解得:
∴…………………4分
方法二:
∵B(1,0),∴A(-4,0)
可令把C(0,-3)代入得:
∴………………4分
(2)方法一:
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。
∵
=……………5分
∵A(-4,0),C(0,-3)
设直线AC的解析式为
代入求得:
……………6分
令,
…………7分
当时,DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值。
…………8分
方法二:
过点D作DQ⊥y轴于Q,过点C作∥x轴交抛物线于,从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时,四边形ABCD才有最大值。
则=
=…………5分
令
则…………7分
当时,四边形ABCD面积有最大值。
…………8分
(3)如图所示,讨论:
①过点C作∥x轴交抛物线于点,过点作∥AC交x轴于点,此时四边形为平行四边形,…………9分
∵C(0,-3)
令得:
∴。
∴
2.【09福建南平】已知抛物线:
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)将抛物线向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线,求抛物线的解析式.
(3)如下图,抛物线的顶点为P,轴上有一动点M,在、这两条抛物线上是否存在点N,使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形,若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
【提示:
抛物线(≠0)的对称轴是顶点坐标是】
解:
(1)依题意 ……………1分
∴, ……3分
∴顶点坐标是(2,2)………………………4分
(2)根据题意可知
y2解析式中的二次项系数为…………………5分
且y2的顶点坐标是(4,3)……………………6分
∴y2=-,即:
y2=……8分
(3)符合条件的N点存在……………………………………9分
如图:
若四边形OPMN为符合条件的平行四边形,
则∥,且
∴,
作轴于点A,轴于点B
∴,
则有(AAS) ∴
∵点P的坐标为(4,3)∴……10分
∵点N在抛物线、上,且P点为
、的最高点 ∴符合条件的N点只能在轴下方
①点N在抛物线上,则有:
解得:
或…………………………………………………11分
②点N在抛物线上,则有:
解得:
或…………………13分
∴符合条件的N点有四个:
……………………………………………14分
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时,则这条线段可能为平行四边形得边或对角线
1.【07浙江义乌】如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,
求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样
的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F
点坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)令y=0,解得或(1分)
∴A(-1,0)B(3,0);(1分)
将C点的横坐标x=2代入得y=-3,∴C(2,-3)(1分)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)(注:
x的范围不写不扣分)
则P、E的坐标分别为:
P(x,-x-1),(1分)
E((1分)
∵P点在E点的上方,PE=(2分)
∴当时,PE的最大值=(1分)
(3)存在4个这样的点F,当AF为平行四边形的边时:
当AF为平行四边形的对角线时:
2.【09辽宁抚顺】已知:
如图所示,关于的抛物线与轴交于点、点,与轴交于点.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点,使四边形为等腰梯形,写出点的坐标,并求出直线的解析式;
B
A
O
C
y
x
(3)在
(2)中的直线交抛物线的对称轴于点,抛物线上有一动点,轴上有一动点.是否存在以为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点的坐标;如果不存在,请说明理由.
解:
(1)根据题意,得
1分
解得 3分
抛物线的解析式为 4分
顶点坐标是(2,4) 5分
(2)……………………………………6分
B
A
O
C
y
x
Q4
Q3
Q1
Q2
P3
P1
P2
D
C
P4
设直线的解析式为
直线经过点点
……………………………………7分
……………………………………8分
9分
(3)存在. 10分
11分
12分
13分
14分