初中二次函数知识点总结与练习题.doc

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二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：

一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：

和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：

的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2.的性质：

上加下减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3.的性质：

左加右减。

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4.的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

X=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：

⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴沿轴平移:

向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿x轴平移：

向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：

利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：

顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：

开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：

（，，为常数，）；

2.顶点式：

（，，为常数，）；

3.两根式：

（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：

任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

的符号的判定：

对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

总结：

3.常数项

⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；

4.关于顶点对称（即：

抛物线绕顶点旋转180°）

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

5.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.

⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

十一、函数的应用

二次函数应用

二次函数考查重点与常见题型

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（）

yyyy

11

0xo-1x0x0-1x

ABCD

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

（1）确定抛物线的解析式；

（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1

（1）二次函数的图像如图1，则点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：

①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（1）

（2）

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x1，0），且1

①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为（）

A1个B.2个C.3个D．4个

答案：

D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）

A（2，-3）B.（2，1）C（2，3）D．（3，2）

答案：

C

例4、（2006年烟台市）如图（单位：

m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？

求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、已知抛物线y=x2+x-．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题

（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第

（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

例6.已知：

二次函数y=ax2-（b+1）x-3a的图象经过点P（4，10），交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?

若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

（1）解：

如图∵抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，O），

则x1·x2=3<0，又∵x1

∴x2>O，x1

∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.

x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．

∴点A（-1，O），P（4，10）代入解析式得解得a=2b=3

∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．

（2）存在点M使∠MC0<∠ACO．

（2）解：

点A关于y轴的对称点A’（1，O），

∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为（0，-6），（5，24）．

∴符合题意的x的范围为-1

当点M的横坐标满足-1∠ACO．

例7、“已知函数的图象经过点A（c，－2），

求证：

这个二次函数图象的对称轴是x=3。

”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？

若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：

对于第

（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。

对于第

（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第

（1）小题中的解析式就可以了。

而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答]

（1）根据的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得

解得

所以所求二次函数解析式为图象如图所示。

（2）在解析式中令y=0，得，解得

所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是

令x=3代入解析式，得

所以抛物线的顶点坐标为

所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等。

函数主要关注：

通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

15

20

30

…

y（件）

25

20

10

…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？

此时每日销售利润是多少元？

【解析】

（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则解得k=-1，b=40，即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元

w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例3.你知道吗?

平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示）

（）

A．1．5mB．1．625m　　　　　　

C．1．66mD．1．67m

分析：

本题考查二次函数的应用

答案：

B

二．二次函数部分

O

y

x

第1题图

1．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点（3，0），二次函数图象对称轴为，给出四个结论：

①；②；③；④a-b+c>0其中正确结论是（）

A．②④ B．①③ C．②③ D．①④

2．已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：

①；②；③；④；③4a+c<0其中的正确结论是

A

O

x

y

B

O

x

y

C

O

x

y

D

O

x

y

3．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）

4.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）

A． B．

C． D．

5．把抛物线y＝ax+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x－3x+5，则a+b+c=__________

6.图6

（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

图6

（1）图6

（2）

A．

B．

C．

D．

第7题图

7、如图是抛物线的一部分，其对称轴

为直线＝1，若其与轴一交点为B（3，0），则

由图象可知，不等式＞0的解集是

8．根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（）．

…

…

…

…

A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在轴两侧

C．有两个交点，且它们均在轴同侧D．无交点

9．如图，抛物线与轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则

（填“”或“”）；

的取值范围是

10（本小题满分6分）

如图二次函数的图象经过和两点，且交轴于点．

（1）试确定、的值；

（2）过点作轴交抛物线于点点为此抛物线的顶点，试确定的形状．

0

x

y

A

B

C

参考公式：

顶点坐标

11如图，抛物线与x轴正半轴交于点A（3，0）.以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.

（1）求a的值.（2分）

（2）求点F的坐标.（5分）

12．（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，，且，点的坐标是．

（1）求点的坐标；

y

O

B

A

x

1

1

（2）求过点的抛物线的表达式；

（3）连接，在

（2）中的抛物线上求出点，使得．

13．（本小题满分10分）

已知一元二次方程的一根为2．

（1）求关于的关系式；

（2）求证：

抛物线与轴恒有两个交点；

14．（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：

［注：

“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］

鞋长（cm）

16

19

21

24

鞋码（号）

22

28

32

38

（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？

（2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

1

2

3

1

2

3

x

y

（第22题）

15．（满分8分）阅读材料，解答问题．

例用图象法解一元二次不等式：

．

解：

设，则是的二次函数．

抛物线开口向上．

又当时，，解得．

由此得抛物线的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：

当或时，．

的解集是：

或．

（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：

的解集是____________；

（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：

．（大致图象画在答题卡上）

以下是二次函数和相似结合的几道经典题：

16、（9分）如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

（1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？

如果存在，请直接写出一个M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.

17.如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

18．（本题满分10分）

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？

若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

y

x

O

A

B

19．（本题满分10分）

如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：

点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？

若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分12