沪教版高二数学下期中试卷及答案.doc

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2012学年第二学期高二数学期中考试试卷

一、填空题：

（每小题3分，共36分）

1、空间不相交的两条直线的位置关系可以为。

2、若复数满足：

（为虚数单位），则其共轭复数。

3、动点到点的距离与它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为。

4、已知：

，则=。

5、在正方体中，直线与平面的位置关系是。

（填：

平行、垂直、斜交、线在面内）

6、双曲线（为常数）的焦点为，则其渐近线方程为。

7、已知复数，若为纯虚数，则。

8、如图：

平面外一点P在内的射影为O，，为平面内两点，与平面成300角，且，则平面所成的正弦值为。

9、已知点，抛物线的焦点为F，若点P在抛物线上移动，则取最小值时，P点坐标为。

10、以下命题中，正确的是。

①为空间两个不重合的平面，若平面内有三个不共线的点到平面的距离相等，则；②有三个角为直角的空间四边形为矩形；③若空间三个平面可以把空间分成个部分，则的取值可为4,6,7,8；④两两相交的四条直线最多可以确定6个平面。

11、已知抛物线，过抛物线焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，的面积为，则。

12、已知正方体中，点Q在平面内，且BCQ是正三角形，点P在侧面内运动，并且满足PQ=P，则点P的轨迹为。

（可根据题意在图中取点、添线，并说明）

二、选择题：

（每小题3分，共18分）

13、已知空间一条直线和一个平面,若两个点A，B满足：

“且”，则下面说法正确的是 （）

A、直线在平面内；B、直线上只有两点在平面内；

C、平面不一定经过直线；D、直线与平面可能平行。

14、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么的值为（）

A、2；B、3；C、4；D、5。

15、已知表示两个不同的平面，直线在平面内，则“”是“”的（）

A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分也不必要条件。

16、双曲线=1的左焦点为F1，点P为双曲线右支上的一点，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）

A、± B、± C、± D、±

17、在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）。

18、给出下列命题：

①若是两个虚数，则也为虚数；②若为虚数，则；

③为复数，若，则为纯虚数；④若复数满足：

，则的取值范围是。

其中，错误的命题有（）个。

A、1；B、2；C、3；D、4。

三、解答题：

（本大题共5题，46分）

19、简答题：

（本题12分，每题6分）

（1）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，若实数满足等式：

，请在复数范围将二次三项式分解因式。

（2）如图：

已知直线为异面直线，，试用反证法证明：

直线与为异面直线。

20、（本题8分，第1题3分，第2题5分）

已知双曲线，为该双曲线的两个焦点。

（1）求;

（2）为双曲线上一点，且（为虚数单位），求的大小。

21、（本题8分，第1题3分，第2题5分）

设椭圆两个焦点为，经过右焦点垂直于轴的直线交椭圆于点。

（1）求椭圆方程；

（2）若直线的斜率为2，与椭圆相交于两点，求弦AB的中点轨迹。

22、（本题10分，第1题4分，第2题6分）

已知正方体的棱长均为1，为棱的中点，为棱的中点。

（1）在图中，作出直线与平面的交点，保留作图痕迹，勿用铅笔；

（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）。

23、已知抛物线，为抛物线的焦点，点N为抛物线的准线与轴的交点。

某同学在探究“经过N点的直线与抛物线的关系”中，发现以下两个问题：

（1）通过研究过N点斜率为2的直线，他发现直线上存在这样的点P：

可以找到一条过P点的直线与抛物线相交于两点，满足为BP的中点，他称这样的P点为“点”，请你进一步探索：

是否上述直线上所有的点都是“点”？

说明理由。

（2）该同学又发现：

经过N点的直线与抛物线相交于C、D两点，直线与的斜率之和是定值。

请你求出该定值，并进一步探索：

在轴上是否存在这样的定点M，对过点N的任意直线，如果与抛物线相交于C、D两点，均能使得为定值。

若存在，找出满足条件的点M；若不存在，则说明理由。

请就以上两个探索问题，选择一个进行解答，满分8分，都答只算第

（1）题得分。

考试答案

一、填空题：

1、异面、平行；2、；3、；4、；5、垂直；6、；7、；

8、；9、；10、③④；11、；12、取中点R，P的轨迹即为线段RC。

二、选择题：

13、A；14、D；15、A；16、A；17、A；18、C

三、解答题：

19、

（1）由………3分

故：

两根为

所以：

………6分

（2）证明:

假设直线与共面，设该平面为。

………2分

可知直线与在平面上，所以……………4分

即即直线为共面直线，与已知为异面直线矛盾。

故原假设不成立，则直线与为异面直线。

……………6分

20、解：

（1）………3分

（2）………4分

。

。

。

。

。

。

。

。

。

。

6分

………8分

21、解：

（1）,将代入，得。

。

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。

3分

（2）设，中点

。

。

。

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。

。

。

。

。

。

6分

将代入得：

AB中点轨迹为8分

22、

（1）延长DB与交于点P，P即为所求点。

（图略）……………4分

（2）过N点作交AB于点E，连结CN,CE。

可知即为异面直线AM、CN所成角。

。

。

。

。

。

。

6分。

，可求得

。

。

。

。

。

。

。

9分

则……………………10分

23、

（1）结论：

上述直线上所有的点都是“点”………2分

由题意得：

直线……………3分

设，由A为BP中点，可知

由A、B两点在抛物线上，则：

化简得关于的方程:

（*）…………5分

其判别式恒成立，可知对方程（*）恒有解。

即对直线上所有的点P，存在过P点的直线交抛物线于A、B两点，使得A为BP中点。

…………8分

（2）设直线的斜率为，直线，直线与抛物线的交点，

…………2分

斜率和为定值0……………4分

如存在满足条件的点M，使得为定值

仅当，即时，……………8分。