初二数学经典题型(含答案).doc
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初二数学经典题型
1．已知：
如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：
△PBC是正三角形．
A
N
F
E
C
D
M
B
2.已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：
∠DEN＝∠F．
3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：
点P到边AB的距离等于AB的一半．
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：
∠PAB＝∠PCB．
5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC=3a正方形的边长．
6.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：
①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
答案
1、证明如下。
A
P
C
D
B
首先，PA=PD，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。
在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ，连接PQ，则
∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD，所以△PAQ≌△PDQ，那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA中，
∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB，于是PQ=AQ=AB，
显然△PAQ≌△PAB，得∠PBA=∠PQA=30°，
PB=PQ=AB=BC，∠PBC=90°-30°=60°，所以△ABC是正三角形。
2、证明:
连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;GN∥AD,∠GNM=∠DEM;
（1）
同理:
GM=BC/2;GM∥BC,∠GMN=∠CFN;
（2）
又AD=BC,则:
GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:
∠DEM=∠CFN.
3、证明：
分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、O、N，
在梯形MEFN中，WE平行NF
因为P为EF中点，PQ平行于两底
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
所以PQ为梯形MEFN中位线，
所以PQ＝（ME＋NF）/2
又因为，角0CB＋角OBC＝90°＝角NBF＋角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B＝角Rt＝角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC（同理）
所以EM＝AO，0B＝NF
所以PQ=AB/2.
4、过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE
因为DP//AE，AD//PE
P
A
D
C
B
所以，四边形AEPD为平行四边形
所以，∠PDA=∠AEP
已知，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBA=∠AEP
所以，A、E、B、P四点共圆
所以，∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形，所以：
PE//AD，且PE=AD
而，四边形ABCD为平行四边形，所以：
AD//BC，且AD=BC
所以，PE//BC，且PE=BC
即，四边形EBCP也是平行四边形
所以，∠PEB=∠PCB
所以，∠PAB=∠PCB
5 解：
将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC
A
C
B
P
D
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA＝90°，所以∠ABP＋∠CBP＝90°，所以∠CBQ＋∠CBP＝90°
即∠PBQ＝90°，所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45
因为PA=a，PB=2a，PC=3a
所以PQ＝2√2a，CQ＝a，所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2
所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2，所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°
所以∠BQC＝90°＋45°＝135°，所以∠BPA＝∠BQC＝135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a
所以根据勾股定理得：
AB^2＝AM^2＋BM^2
＝（√2a＋a）^2＋（√2a）^2
＝[5＋2√2]a^2
所以AB＝[√（5＋2√2）]a
6.解：
（1）证法一：
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC，
A
B
C
D
P
E
1
2
H
∴△PBC≌△PDC（SAS）.
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE，
∴PE=PD.
②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD.）
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD.
综合（i）（ii）（iii）,PE⊥PD.
A
B
C
P
D
E
F
（2）①过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.
∵AP=x，AC=，
∴PC=-x，PF=FC=.
BF=FE=1-FC=1-（）=.
∴S△PBE=BF·PF=（）.
即（0＜x＜）.
②.
∵＜0，
∴当时，y最大值.
（1）证法二：
①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.
∵四边形ABCD是正方形，
A
B
C
P
D
E
F
G
1
2
3
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）.
∴PE=PD.
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°.
∴∠DPE=90°.
∴PE⊥PD.
（2）①∵AP=x，
∴BF=PG=，PF=1-.
∴S△PBE=BF·PF=（）.
即（0＜x＜）.
②.
∵＜0，
∴当时，y最大值.
26．（本小题满分8分）
如图1，在四边形中，，分别是的中点，连结并延长，分别与的延长线交于点，则（不需证明）．
（温馨提示：
在图1中，连结，取的中点，连结，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线性质，可证得．）
问题一：
如图2，在四边形中，与相交于点，，分别是的中点，连结，分别交于点，判断的形状，请直接写出结论．
问题二：
如图3，在中，，点在上，，分别是的中点，连结并延长，与的延长线交于点，若，连结，判断的形状并证明．
A
C
B
D
F
E
N
M
O
E
B
C
D
H
A
F
N
M
1
2
图1
图2
图3
A
B
C
D
F
G
E
26．
（1）等腰三角形 1分
（2）判断出直角三角形 1分
证明：
如图连结，取的中点，连结， 1分
是的中点，
A
B
C
D
F
G
H
E
1
2
3
，，
．
同理，，
．
，
． 1分
，
，
是等边三角形． 2分
，
，
即是直角三角形． 2分
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