精编一元二次方程竞赛训练题一.doc

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一元二次方程竞赛训练题

1．方程是实数）有两个实根、，且0＜＜1，1＜＜2，那么k的取值范围是（）

（A）3＜k＜4；（B）－2＜k＜－1；（C）3＜k＜4或－2＜k＜－1 （D）无解。

2．方程，有两个整数根，则

3．方程的解是（）

（A）；（B）；（C）或；（D）．

4．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．

5．若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是（）

（A）>（B）=（C）<;（D）不确定.

6．若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则=____________.

7．如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）

（A）；（B）；（C）；（D）

8．设是二次方程的两个根，那么，的值等于（）

（A）（B）8；（C）6；（D）0..

9．已知m，n是有理数，并且方程有一个根是，那么m+n的值是______。

10．求所有正实数a，使得方程仅有整数根。

11．已知且，则＝________。

12．已知：

a，b，c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。

13．设m是整数，且方程的两根都大于而小于，则m=____________．

14．已知实数，且满足，.则的值为（）.

（A）23（B）（C）（D）

15．如果x和y是非零实数，使得 和，那么x+y等于（）.

（A）3（B）（C）（D）

16．已知实数a、b、x、y满足，，则.

17．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是.

18．已知a，b是实数，关于x，y的方程组

有整数解，求a，b满足的关系式.

19．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）

（A）（B）（C）（D）

20．在中，斜边AB=5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程的两根，则m的值是（）

A、4B、-1C、4或-1D、-4或1

21．已知a为实数，且使关于x的二次方程有实根，该方程的根x所能取到的最大值是。

22．设，，为互不相等的实数，且满足关系式①及，②求的取值范围．

一元二次方程竞赛训练题（答案）：

1．解：

记

由

2．8．

原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8都是整数。

故由原方程知x-a=x-8（=±1）∴所以a=8

3．（D）设是方程的解，则—也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C）．

将代入方程，左边≠0，排除（C）．

4．６

　　设甲将a看为a′，由韦达定理得

　　由于一次项系数b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号．于是a’

　　由①②得

5．（B）设是方程的根,则.

所以

.

6．设，原方程变为.设此方程有根，则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，

∴，故.

由韦达定理，得，，

于是，∴.

7．（C）因为有两根，故≥0，得m≤1.原方程的三根为，，.显然，x2≤x1≤x3.注意到，由此得.

8．（D）∵x1,x2是二次方程的两个根，

∴，，

即，.

由根与系数的关系知，从而有

.

9．3因为m、n为有理数，方程一根，那么另一个根为，由韦达定理。

得m=4,n=-1,∴m+n=3

10．设两整数根为x,y（x≤y）

∴x=5时，a=25时，y=20时；x=6时，a=18时，y=12；

x=7时，a不是整数，x=8时；a=16，y=8；于是a=25或18或16均为所求。

11解．：

，即，，，

，，

12．由方程组得：

a、b是方程x2-8x+c2-c+48=0的两根△=-4（c-）2≥0，c=4a=b=4所以原方程为x2+x-1=0x1=，x2=

13．解：

这是一个二次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于m的不等式，先求出m的取值范围，再由m是整数确定m的根．

设f（x）＝3x2+mx-2，由二次函数的图象，得

解得∵m是整数，∴只有m=4．

14．答：

选（B）

∵a、b是关于x的方程的两个根，整理此方程，得，

∵，∴，.故a、b均为负数.因此

15．答：

选（D）

将代入，得.

（1）当x>0时，，方程无实根；

（2）当x<0时，，得方程

解得，正根舍去，从而.

于是.

故.

因此，结论（D）是在正确的.

16．答：

解：

由，得，

∵，

∴.

因而，

17．答：

解：

∵，，

∴x、y是关于t的一元二次方程的两实根.

∵，即，.

∴，当时，.故z的最大值为.

18．解：

将代入，消去a、b，得

，………………………（5分）

.

若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不可能.所以x+1≠0，于是

.

因为x、y都是整数，所以，即或0，进而y=8或0.故

或………………………（10分）

当时，代入得，；当时，代入得，.

综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数.………………………（15

19．Ｂ

20．设方程的根为，依题意

=即解得m=4或-1但>0，2m-1>0所以m>0故m=4选A

21．a为实数，当时，关于a的二次方程有实根，于是 。

当a=0时，x=0综上，

22．解法1：

由①－2×②得，

所以．

当时，．…………………10分

又当＝时，由①，②得

，③

，④

将④两边平方，结合③得，

化简得，

故，

解得，或．所以，的取值范围为且，．……………15分

解法2：

因为，，所以＝＝，

所以．

又，所以，为一元二次方程⑤

的两个不相等实数根，故，

所以．

当时，．…………………10分

另外，当＝时，由⑤式有，

即，或，

解得，或．所以，的取值范围为且，…………………15分

二答案:

一、1．解：

设2004年城市的人口总量为m，绿地面积为n，这两年该城市人口的年平均增长率为x，由题意，得

=1+21%，整理，得（1+x）2=．∴x1=（舍去）．

答：

这两年该城市人口的平均增长率应控制在9%以内．点拨：

本题重点考查增长率的问题．

2．分析：

假设当P点移到E点时可满足本题的条件，那么就有△ABE为直角三角形，BE=PB，EA=PA，由题意，得PA2－8PB=1．

解：

设经过x秒后点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1，

由题意，得BE=PB=1×x=xcm，AE=PA=42+x2．

∴42+x2－8x=1．解得x1=3，x2=5．

答：

经过3秒或5秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B的距离的8倍大1．

点拨：

本题应用了勾股定理和路程=速度×时间这个公式．

3．解：

（1）由b2－4ac≥0，得（2a－3）2－4a（a－1）≥0，a≤．

（2）∵x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根，

∴x1+x2=，x1x2=．

又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2－2x1x2=9．

（）2－2×=9．

整理，得7a2－8a=0，a（7a－8）=0．∴a1=0，a2=（舍去）．点拨：

本题主要应用根与系数的关系及根的情况．

4．分析：

由△=b2－4ac，得

△=4（2m－3）2－4（4m2－14m+8）=4（2m+1）．

∵方程有两个整数根，

∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．

∵4

∴2m+1=16，25，36或49，∵m为整数，∴m=12或24．

代入已知方程，得x=16，26或x=38，25．综上所述m为12，或24．

点拨：

本题应用的方程有整数根，b2－4ac必为一个完全平方数求解．

5．分析：

如图所示，半圆的直径=矩形的长=窗宽=窗高；矩形的宽=窗高－半圆半径；

全窗面积=半圆面积+矩形面积．

解：

设半圆的半径为xm，则半圆的直径为2xm，半圆的面积为m2，

矩形面积为x·2x=2x2（m2），

∴根据题意，有x2+2x2=，∴25x2=25．∴x=1或x=－1（舍去），

当x=1时，2x=2．

答：

窗的高和宽都是2m．

点拨：

本题借助图分析比较直观简单，另外本题中x=－1虽符合所列方程，但不符合题意，故舍去．

6．解：

设每千克水果应涨价x元，

由题意，得（500－20x）（10+x）=6000，解得x1=5，x2=10．

要使顾客得到实惠，应取x=5．

点拨：

本题与实际问题有关，应考虑题中要使顾客得到实惠这个条件得以应用．

二、

7．分析：

本题可以分两种情况进行讨论．

解：

（1）当蚂蚁在AO上运动时，设xs后两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2．

由题意，得×3x×（50－2x）=450．

整理，得x2－25x+150=0．

解得x1=15，x2=10．

（2）当蚂蚁在OB上运动时，

设xs钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2．

由题意，得×3x（2x－50）=450．

整理，得x2－25x－150=0．

解得x1=30，x2=－5（舍去）．

答：

15s，10s，30s后，两蚂蚁与O点组成的三角形的面积均为450cm2．

点拨：

本题考查的是学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，同时要注意检验解的合理性．

三、

8．分析：

在等腰三角形中，要分清楚腰与底边，本题应进行分类讨论．

解：

∵b、c是方程x2+mx+2－m=0的两个根，∴b+c=－m，b·c=2－m．

（1）若a为腰，则b=a=3．

c=－m－b，即3（－m－3）=2－m．

解得m=－，∴b+c=．∴周长Q=b+c+a=+3=．

（2）若a为底，则b=c．

∴△=m2－4（2－）=0．m1=－4，m2=2，∴b+c=4或b+c=－2（舍去）．∴周长Q=b+c+a=4+3=7．

答：

△ABC的周长为或7．点拨：

了解形与数结合分类讨论的思想．

9．分析：

通过引元，把不满意的总分用相关的字母的代数式表示，然后对代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值．

解：

由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s

设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为：

s=3[1+2+3+…+（33－x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x－y－2）]

=

=2x2－（y+102）x+2y2+3y+1684

=2（x－）2+（15y2－180y+3068）=2（x－）2+（y－6）2+316≥316．

又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．

四、

10．分析：

模拟例子，求出a+b，ab的值，然后再求值．

解：

∵+－－1=0，∴（）2+－1=0．

又∵b4+b2－1=0，∴（b2）2+b2－1=0．∴、b2是方程x2+x－1=0的两个根．

∴+b2=－1，×b2=－1．∴=b2+=－1．

点拨：

把、b2看成是方程x2+x－1=0的两个根是解本题的关键所在．

五、11．20%分析：

设月平均增长率为x，由400（1+10%）（1+x）2=633.6，解得x=0.2=20%．

点拨：

基数×（1+平均增长率）n=n次增长后到达的数．

12．应设y=

分析：

设y=，∴原方程为+6y=7，∴6y2－7y+2=0．点拨：

利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

13．2设一个根为x，则另一根为2x，由题意，得2x·x=m，2x+x=3，x=1．∴m=2．

点拨：

由两根之和为－，两根之积为可得方程．

14．证明：

（1）设方程①两个负实根分别为x1，x2．

则

解得m>4．

由方程②有两个实数根知m≠0，当m>4时，>0，即方程②的两根之积为正，

故方程②的两根符号相同．

（2）得

（n－2）2=m（m－3）．

经讨论，m=6时，（n－2）2=×6×3=81．

附加题

分析：

方程有两个不相等的实根，

∴△=4（m－2）2－4（m2－3m+3）=－4m+4>0，∴－1≤m<1．

∵x1+x2=－2（m－2），x1x2=m2－3m+3．

∴

（1）x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=4（m－2）2－2（m2－3m+3）=2m2－10m+10，

∴m2－5m+5=0．

解得m=．∵－1≤m<1，∴m=．

（2）=．

∵x1+x2=－2（m－2），x1x2=m2－3m+3．

∴上式可化为=2（m2－3m+1）=2（m－）2－．

∵－1≤m<1，当m=－1时，最大值为10．

点拨：

本题是一道综合性较强的综合题，考查了根的情况、根与系数的关系以及以配方法求最值的问题．

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