九年级上册数学知识点归纳湘教版.doc

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2018年茶陵思源实验学校九年级数学

第一章《反比例函数》知识点归纳和典型例题

一、基础知识

（一）反比例函数的概念

　　1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

　　2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

　　3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

　　1．函数解析式：

（）

　　2．自变量的取值范围：

　　3．图象：

（1）图象的形状：

双曲线．

　　越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

　　当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

　　当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

　　（3）对称性：

图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

　　4．k的几何意义

　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．

　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　　5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

　　　当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

　　（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

　　1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；

（2）根据实际意义列函数解析式．

　　2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．

（五）充分利用数形结合的思想解决问题．

三、例题分析

　　1．反比例函数的概念

（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

　　A．y=3x　　　B．　　　　C．3xy=1　　　　D．

（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．

　　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

　　答案：

（1）C；

（2）A．

　　2．图象和性质

（1）已知函数是反比例函数，

　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．

　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．

（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．

　　（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．

　　（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，

　　　　则直线不经过的象限是（）．

　　A．第一象限　　　　B．第二象限　　　C．第三象限　　　　　D．第四象限

　　（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，

　　　　则一次函数y=kx+m的图象经过（）．

　　A．第一、二、三象限　　　　　　B．第一、二、四象限

　　C．第一、三、四象限　　　　　　D．第二、三、四象限

　　（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．

　　　　A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　D．

　　答案：

（1）①②1；

（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．

　　3．函数的增减性

（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．

　　A．正数　　　　B．负数　　　　　C．非正数　　　　　D．非负数

（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．

　　A．＜＜　　　B．＜＜　　　C．＜＜　　D．＜＜

第二章《一元二次方程》知识点

一、本章知识结构框图

实际问题

数学问题

设未知数，列方程

实际问题的答案

数学问题的解

解方程

降次

开平方法

配方法

公式法

分解因式法

检验

二、具体内容

（一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；

2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。

（2）各项的确定（包括各项的系数及各项的未知数）.

（3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解

4．列出实际问题的一元二次方程

（二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3．体会不同解法的相互的联系；

4．值得注意的几个问题：

（1）开平方法：

对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

形如的方程的解法：

当时，;

当时，;

当时，方程无实数根。

（2）配方法：

通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：

把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②“系数化1”：

根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：

将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；

④求解：

若时，方程的解为，若时，方程无实数解。

（3）公式法：

一元二次方程的根

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；

当时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：

①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。

另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。

）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：

如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：

若，则；

②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。

（6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。

（1）=

（2）根的判别式定理及其逆定理：

对于一元二次方程（）

①当方程有实数根；

（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）

②当方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围

（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

①先计算出判别式（关键步骤）；

②用配方法将判别式恒等变形；

③判断判别式的符号；

④总结出结论.

第三章《相似三角形》知识点总结

1.相似三角形定义：

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：

用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：

相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.平行线分线段成比例定理:

三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.

已知AD∥BE∥CF,

可得等

相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）

相交，所截成的三角形与原三角形相似。

由DE∥BC可得：

5.相似三角形的判定定理：

三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：

类型

斜三角形

直角三角形

全等三角形的判定

SAS

SSS

AAS（ASA）

HL

相似三角形

的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例

两角对应相等

一条直角边与斜边对应成比例

6.直角三角形相似：

（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：

（1）相似三角形的对应角相等。

（2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（4）相似三角形的周长比等于相似比。

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

9.相似三角形的几种基本图形：

①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）

相交，所截成的三角形与原三角形相似。

这个定理确定了相似三角形的

两个基本图形“A”型和“8”型。

若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

②如图：

其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

③满足1、AC2=AD·AB，

2、∠ACD=∠B，

3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

④当或AD·AB=AC·AE时，

都可判定△ADE∽△ACB．

⑤如图：

称为“垂直型”

（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

⑥如图：

∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，

称为“旋转型”的相似三角形。

⑦对于复杂的几何图形，

采用将部分需要的图形

（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

10.证明题常用方法归纳：

①总体思路:

“等积”变“比例”，“比例”找“相似”

　②找中间比：

若找不到两个三角形相似的,则需要进行“替换”，常用的“替换”方法有这样的三种：

等线段代换、等比代换、等积代换.

　③添加辅助线：

若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）

注：

添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

第四章《锐角三角函数》

1锐角三角函数定义

锐角∠A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。

⑴正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c

⑵余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c

⑶正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b

锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。

2特殊角的三角函数值

角度

30°

45°

60°

正弦（sin）

1/2

√2/2

√3/2

余弦（cos）

√3/2

√2/2

1/2

正切（tan）

√3/3

1

√3

（注θ是锐角：

00）

3锐角三角函数值的符号及其变化规律

1）锐角三角函数值都是正值。

2）当角度在0°~90°间变化时，

①、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

②、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；

③、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；

4同角三角函数基本关系式

5互为余角的三角函数间的关系

6解直角三角形的基础知识

在Rt中，，，，所对的边分别为，，

（1）三边之间的关系：

（2）锐角之间的关系：

+==

（3）边角之间的关系：

；；；

；；

（4）面积公式：

（为斜边上的高）

7解直角三角形的基本类型及其解法如下表：

类型

已知条件

解法

两边

两直角边a、b

c=，tanA=，∠B=90°-∠A

一直角边a，斜边c

b=，sinA=，∠B=90°-∠A

一边一锐角

一直角边a，锐角A

∠B=90°-∠A，b=，c=

斜边c，锐角A

∠B=90°-∠A，a=c·sinA，

b=c·cosA

解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”。

其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。

8解直角三角形应用题中的常见概念

（1）坡角：

坡面与水平面的夹角，用字母表示。

坡度（坡比）：

坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则

（2）方向角：

指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。

目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．

（3）方位角：

从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角。

目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．

（5）俯角与仰角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．