二次函数压轴题之线段之和.doc
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2018二次函数压轴题之线段最值 第4页共4页
两线段之和最短专题
一、数学模型----构建“对称模型”实现转化
1、实际问题:
如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,修在河边什么地方可使所用的水管最短
2、数学问题:
已知:
直线l和l的同侧两点A、B。
求作:
点C,使C在直线l上,并且AC+CB最小。
二、
三、练习题
(一)填空题
1.(2005河南)如图梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形的对称轴,P为直线MN上任意一点,则PC+PD的最小值=___
2.如图,在菱形ABCD中,AB=4,E在BC上,BE=2,∠BAD=120°,P点在BD上,则PE+PC的最小值是____
3.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为_________。
4.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为_______。
1题图 2题图3题图4题图
5、已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
6、如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=18cm,则△PMN的周长为________.
7、已知,如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则△AEC的周长为__________。
5题图6题图7题图
8、已知,如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,
AC=8,△ABE的周长为14,则AB的长.
9、如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AC于D,若AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为________.
10、如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为( )
A.2 B.2 C.3 D.
8题图9题图10题图
2、如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.
:
如图2,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,则这个最小值
(三)解答题
1、如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
2、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
3、如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:
B′、C′;
归纳与发现:
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为(不必证明);
运用与拓广:
(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
4、(07南通)已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标;
A
B
O
(第4题图)
D
x
y
A
B
O
(第28题图)
D
x
y
(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围.
5、(09年新疆乌鲁木齐市)如图,在矩形中,已知、两点的坐标分别为,为的中点.设点是平分线上的一个动点(不与点重合).
(1)试证明:
无论点运动到何处,总造桥与相等;
(2)当点运动到与点的距离最小时,试确定过三点的抛物线的解析式;
(3)设点是
(2)中所确定抛物线的顶点,当点运动到何处时,的周长最小?
求出此时点的坐标和的周长;
(4)设点是矩形的对称中心,是否存在点,使?
若存在,请直接写出点的坐标.
y
O
x
P
D
B
A
C
x
y
B
O
7、(2009年济南)已知:
抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、
(1)求这条抛物线的函数表达式.
2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点是线段上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作交轴于点连接、.设的长为,的面积为.求与之间的函数关系式.试说明是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
8、、(2009年衢州市)
4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4
y
6
B
C
D
-4
4
如图,已知点A(-4,8)和点B(2,n)在抛物线上.
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标,并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短,求出点Q的坐标;
(2) 平移抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,点C(-2,0)和点D(-4,0)是x轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′最短,求此时抛物线的函数解析式;
② 当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短?
若存在,求出此时抛物线的函数解析式;若不存在,请说明理由.
9、(2009年北京市)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为
,,,延长AC到点D,使CD=,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。
(要求:
简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
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