平行四边形提高练习.docx

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一．选择题（共10小题）

1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．6

2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）

A． B． C．1 D．1﹣

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

4．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．

5．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　）

A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm

7．如图为两正方形ABCD、BPQR重叠的情形，其中R点AD上，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为64、100，则四边形RBCS的面积为（　　）

A．8 B． C． D．

8．如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=4，∠AEO=120°，则FC的长度为（　　）

A．1 B．2 C． D．

10．如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（　　）

A．AH=DF B．S四边形EFHG=S△DCF+S△AGH

C．∠AEF=45° D．△ABH≌△DCF

二．填空题（共8小题）

11．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=　　

12．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=16cm2，S△BQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为　　cm2．

13．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=35°，则∠PFE的度数是　　．

14．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=　　．

15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，且CE=2BE，△DEF的面积等于2，则此矩形的面积等于　　．

16．如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：

①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=PC；④PE+PF=PC．其中正确的是　　．

17．如图，正方形ABCD的边长为2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是　　cm2．

18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为　　．

三．解答题（共8小题）

19．如图，已知Rt△MBN的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，∠M=30°，O为AB中点，NO平分∠BNM，EO平分∠AEN．

（1）求证：

△MON为等腰三角形；

（2）求证：

EN=AE+BN．

20．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°

（1）求证：

AG=FG；

（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．

21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：

CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？

为什么？

22．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．

（1）证明：

BE=AG；

（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？

说明理由．

23．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，

求证：

AE⊥EB．

24．如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，

（1）若∠AMB=60°，CE=，求DF的长度；

（2）求证：

BM=DN+CF．

25．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．

（1）试说明DE=BC；

（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？

写出你的结论，并说明理由．

26．如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？

完成以下题目：

（1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为　　；

当ABCD为矩形时，EFGH为　　；

当ABCD为菱形时，EFGH为　　；

当ABCD为正方形时，EFGH为　　；

当EFGH是矩形时，ABCD为　　；

当EFGH是菱形时，ABCD为　　；

当EFGH是正方形时，ABCD为　　．

（2）请选择

（1）中任意一个你所写的结论进行证明．

（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？

2018年05月04日神州N号的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　　）

A．8 B．8 C．4 D．6

【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．

【解答】解：

如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，

∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：

OA=OB=OC，

∴∠BAC=∠ABO，

又∵∠BEF=2∠BAC，

即2∠BAC+∠BAC=90°，

解得∠BAC=30°，

∴∠FCA=30°，

∴∠FBC=30°，

∵FC=2，

∴BC=，

∴AC=2BC=4，

∴AB=，

故选：

D．

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，

（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．

2．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）

A． B． C．1 D．1﹣

【分析】过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．

【解答】解：

过E作EF⊥DC于F，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵CE平分∠ACD交BD于点E，

∴EO=EF，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴AC=，

∴CO=AC=，

∴CF=CO=，

∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣，

∴DE==﹣1，

故选：

A．

【点评】本题考查了正方形的性质：

对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角、角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等以及勾股定理的运用．

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．

【解答】解：

平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．

∵OD⊥BC，BC⊥AB，

∴OD∥AB，

又∵OC=OA，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD=AB=3，

∴DE=2OD=6．

故选：

B．

【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．

4．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．

【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD=AB=BC=CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2=∠1，DE=DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF=DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．

【解答】解：

连接DB，作DH⊥AB于H，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD=AB=BC=CD，

而∠A=60°，

∴△ABD和△BCD都是等边三角形，

∴∠ADB=∠DBC=60°，AD=BD，

在Rt△ABH中，AH=1，AD=2，

∴DH=，

在△ADE和△BDF中

，

∴△ADE≌△BDF，

∴∠2=∠1，DE=DF

∴∠1+∠BDE=∠2+∠BDE=∠ADB=60°，

∴△DEF为等边三角形，

∴EF=DE，

而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，

∴EF的最小值为．

故选：

D．

【点评】本题考查了菱形的性质：

菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．

5．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AF=FC，那么由△ABF的周长为6可得AB+BC=6，再根据平行四边形的性质可得AD=BC，DC=AB，进而可得答案．

【解答】解：

∵对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，

∴AF=CF，

∵△ABF的周长为6，

∴AB+BF+AF=AB+BF+CF=AB+BC=6．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，DC=AB，

∴▱ABCD的周长为2（AB+BC）=12．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，平行四边形对边相等．

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（　　）

A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm

【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB，由勾股定理求出OB即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OA=OB，

∵AE垂直平分OB，

∴AB=AO，

∴OA=AB=OB，

∵AE=cm，

∴OB=2=OD；

故选：

C．

【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

7．如图为两正方形ABCD、BPQR重叠的情形，其中R点AD上，CD与QR相交于S点．若两正方形ABCD、BPQR的面积分别为64、100，则四边形RBCS的面积为（　　）

A．8 B． C． D．

【分析】根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR，求出△ABR∽△DRS，求出DS，根据面积公式求出即可．

【解答】解：

∵正方形ABCD的面积为64，正方形BPQR面积为100，

∴正方形ABCD的边长为8，正方形BPQR的边长为10，

在Rt△ABR中，AB=8，BR=10，由勾股定理得：

AR=6，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠D=∠BRQ=90°，

∴∠ABR+∠ARB=90°，∠ARB+∠DRS=90°，

∴∠ABR=∠DRS，

∵∠A=∠D，

∴△ABR∽△DRS，

∴，

∴，

∴DS=，

∴阴影部分的面积S=S正方形ABCD﹣S△ABR﹣S△RDS=8×8﹣﹣2××=，

故选：

D．

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出△ABR和△RDS的面积是解此题的关键．

8．如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：

延长BN交AC于D，

在△ANB和△AND中，

，

∴△ANB≌△AND，

∴AD=AB=8，BN=ND，

∵M是△ABC的边BC的中点，

∴DC=2MN=6，

∴AC=AD+CD=14，

故选：

B．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=4，∠AEO=120°，则FC的长度为（　　）

A．1 B．2 C． D．

【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．

【解答】解：

∵EF⊥BD，∠AEO=120°，

∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，

∴∠FOC=60°﹣30°=30°，

∴OF=CF，

又∵Rt△BOF中，BO=BD=AC=2，

∴OF=tan30°×BO=2，

∴CF=2，

故选：

B．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：

矩形的对角线相等且互相平分．

10．如图，在正方形ABCD对角线BD上截取BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B作BG⊥AE于点G，交AD于点H，则下列结论错误的是（　　）

A．AH=DF B．S四边形EFHG=S△DCF+S△AGH

C．∠AEF=45° D．△ABH≌△DCF

【分析】先判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到A、D正确，根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出C正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出B错误．

【解答】解：

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，

∵BE=BC，

∴AB=BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，

在Rt△ABH中，∠AHB=90°﹣∠ABH=67.5°，

∵∠AGH=90°，

∴∠DAE=∠ABH=22.5°，

在△ADE和△CDE中，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE=22.5°，

∴∠ABH=∠DCF，

在Rt△ABH和Rt△DCF中，

∴Rt△ABH≌Rt△DCF，

∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，

∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，

∴67.5°=22.5°+∠AEF，

∴∠AEF=45°，故ACD正确；

如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，

∴AG=EG，

∴S△AGH=S△HEG，

∵AH=HE，

∴∠AHG=∠EHG=67.5°，

∴∠DHE=45°，

∵∠ADE=45°，

∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，

∴EH=ED，

∴△DEH是等腰直角三角形，

∵EF不垂直DH，

∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四边形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故B错误，

故选：

B．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．

二．填空题（共8小题）

11．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=　3　

【分析】根据正方形的性质得出AC的长，再利用平行线的性质和角平分线的定义得出∠E=∠ECA，进而得出AE=AC即可．

【解答】解：

∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，

∴AC=3，

∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，

∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，

∴∠CEA=∠DCE，

∴∠E=∠ECA，

∴AE=AC=3，

故答案为：

3

【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出AC的长．

12．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=16cm2，S△BQC=25cm2，则图中阴影部分的面积为　41　cm2．

【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCQ，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．

【解答】解：

连接E、F两点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，

∴S△EFC=S△BCF，

∴S△EFQ=S△BCQ，

同理：

S△EFD=S△ADF，

∴S△EFP=S△ADP，

∵S△APD=16cm2，S△BQC=25cm2，

∴S四边形EPFQ=41cm2，

故答案为：

41．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．

13．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=35°，则∠PFE的度数是　35°　．

【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，进而可求出∠PEF的度数．

【解答】解：

∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，

∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，

∴PF=BC，PE=AD，

∵AD=BC，

∴PF=PE，

故△EPF是等腰三角形．

∵∠PEF=35°，

∴∠PEF=∠PFE=35°，

故答案为：

35°．

【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．

14．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG=2BG，S△BPG=1，则S▱AEPH=　4　．

【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．

【解答】解：

∵EF∥BC，GH∥AB，

∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，

∴S△PEB=S△BGP，

同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，

∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP，

即S四边形AEPH=S四边形PFCG．

∵CG=2BG，S△BPG=1，

∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4；

故答案为：

4．

【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形．

15．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，且CE=2BE，△DEF的面积等于2，则此矩形的面积等于　16　．

【分析】首先由矩形的性质，得到AD∥BC，AD=BC，即可得到△AFD∽△EFB，由相似三角形对应边成比例，可得AD：

BE=DF：

BF，求得DF：

BF的值，则可求得△DBC的面积，问题的解．

【解答】解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△AFD∽△EFB，

∴AD：

BE=DF：

BF，

∵CE=2BE，

∴DF：

BF=3：

1，

∵S△DEF=2，

∴S△BEF=，

∴S△BED=2+=

∴S△DEC=

∴S△DBC=S△DEB+S△DEC==8，

∴S矩形fBCD=2S△DBC=16．

故答案为：

16．

【点评】本题考查了矩形的性质，题目中多次用到了“高相等的三角形面积的比等于其底边的比”．

16．如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：

①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=PC；④PE+PF=PC．其中正确的是　①②③　．

【分析】根据正方形性质得出AD=DC=BC；∠ADC=∠DCB；EC=DF=DC，证△ADF≌△DCE，推出∠AFD=∠DEC，求出∠DPF=90°即可判断①；过B作BG∥DE交AD于G，交A于M，求出BG是AP的垂直平分线，推出△ABP是等腰三角形，即可判断②；延长DE至N，使得EN=PF，证△CEN≌△CFP，推出CN=CP，∠ECN=∠PCF，求出△NCP是等腰直角三角形，即可判断③④．

【解答】解：

如图1，

∵正方形ABCD，E，F均为中点，

∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF=DC，

∵在△ADF和△DCE中，，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD=∠DEC

∵∠DEC+∠CDE=90°

∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF

∴AF⊥DE，∴①正确；

如图2，

过B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，

∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC