反比例函数选择压轴题精选.doc
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2014年瓶窑一中初三数学余高自主招生考试辅导材料—反比例之选择题
姓名:
一.选择题(共20小题)
1.(2013•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论:
①△OCN≌△OAM;②ON=MN;③四边形DAMN与△MON面积相等;④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0,).
其中正确结论的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.(2013•镇江)如图,A、B、C是反比例函数图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:
1:
1,则满足条件的直线l共有( )
A.
4条
B.
3条
C.
2条
D.
1条
3.(2013•孝感)如图,函数y=﹣x与函数的图象相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D.则四边形ACBD的面积为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
4.(2013•威海)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数的图象经过点A,反比例函数的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是( )
A.
m=﹣3n
B.
m=﹣n
C.
m=﹣n
D.
m=n
5.(2013•南平)如图,Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上,AC边在x轴上,已知∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.
12
B.
C.
D.
6.(2013•南宁)如图,直线y=与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线y=(k>0,x>0)交于点B,若OA=3BC,则k的值为( )
A.
3
B.
6
C.
D.
7.(2013•内江)如图,反比例函数(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
8.(2013•柳州)如图,点P(a,a)是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点,以点P为顶点作等边△PAB,使A、B落在x轴上,则△POA的面积是( )
A.
3
B.
4
C.
D.
9.(2013•荆州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线(k≠0)上.将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在该双曲线上,则a的值是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
10.(2013•贵港)如图,点A(a,1)、B(﹣1,b)都在双曲线y=﹣上,点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是( )
A.
y=x
B.
y=x+1
C.
y=x+2
D.
y=x+3
11.(2012•随州)如图,直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A,B两点,交x轴于点C,若AB:
BC=(m﹣1):
1(m>1),则△OAB的面积(用m表示)为( )
A.
B.
C.
D.
12.(2012•眉山)已知:
如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB•AC=160,有下列四个结论:
①双曲线的解析式为(x>0);
②E点的坐标是(4,8);
③sin∠COA=;
④AC+OB=,其中正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
13.(2012•临沂)如图,若点M是x轴正半轴上任意一点,过点M作PQ∥y轴,分别交函数y=(x>0)和y=(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是( )
A.
∠POQ不可能等于90°
B.
=
C.
这两个函数的图象一定关于x轴对称
D.
△POQ的面积是(|k1|+|k2|)
14.(2012•黄石)如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是( )
A.
(,0)
B.
(1,0)
C.
(,0)
D.
(,0)
15.(2012•东营)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;
②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;
④AC=BD.
其中正确的结论是( )
A.
①②
B.
①②③
C.
①②③④
D.
②③④
16.(2012•朝阳)如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数y=的图象上,若点A的坐标为(﹣2,﹣3),则k的值为( )
A.
1
B.
﹣5
C.
4
D.
1或﹣5
17.(2012•百色)如图,直线l1:
x=1,l2:
x=2,l3:
x=3,l4:
x=4,…,与函数y=(x>0)的图象分别交于点A1、A2、A3、A4、…;与函数y=的图象分别交于点B1、B2、B3、B4、….如果四边形A1A2B2B1的面积记为S1,四边形A2A3B3B2的面积记为S2,四边形A3A4B4B3的面积记为S3,…,以此类推.则S10的值是( )
A.
B.
C.
D.
18.(2011•眉山)如图,直线y=﹣x+b(b>0)与双曲线y=(x>0)交于A、B两点,连接OA、OB,AM⊥y轴于M,BN⊥x轴于N;有以下结论:
①OA=OB
②△AOM≌△BON
③若∠AOB=45°,则S△AOB=k
④当AB=时,ON﹣BN=1;
其中结论正确的个数为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
19.(2011•乐山)如图,直线y=6﹣x交x轴、y轴于A、B两点,P是反比例函数图象上位于直线下方的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F.则AF•BE=( )
A.
8
B.
6
C.
4
D.
20.(2010•内江)如图,反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2013年10月发哥的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共20小题)
1.(2013•重庆)如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴上,反比例函数(k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论:
①△OCN≌△OAM;②ON=MN;③四边形DAMN与△MON面积相等;④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0,).
其中正确结论的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
反比例函数综合题.1904127
专题:
压轴题;探究型.
分析:
根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k,即OC•NC=OA•AM,而OC=OA,则NC=AM,在根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM;根据全等的性质得到ON=OM,由于k的值不能确定,则∠MON的值不能确定,所以确定△ONM为等边三角形,则ON≠MN;根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN,即可得到S四边形DAMN=S△OMN;作NE⊥OM于E点,则△ONE为等腰直角三角形,设NE=x,则OM=ON=x,EM=x﹣x=(﹣1)x,在Rt△NEM中,利用勾股定理可求出x2=2+,所以ON2=(x)2=4+2,易得△BMN为等腰直角三角形,得到BN=MN=,设正方形ABCO的边长为a,在Rt△OCN中,利用勾股定理可求出a的值为+1,从而得到C点坐标为(0,+1).
解答:
解:
∵点M、N都在y=的图象上,
∴S△ONC=S△OAM=k,即OC•NC=OA•AM,
∵四边形ABCO为正方形,
∴OC=OA,∠OCN=∠OAM=90°,
∴NC=AM,
∴△OCN≌△OAM,所以①正确;
∴ON=OM,
∵k的值不能确定,
∴∠MON的值不能确定,
∴△ONM只能为等腰三角形,不能确定为等边三角形,
∴ON≠MN,所以②错误;
∵S△OND=S△OAM=k,
而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN,
∴四边形DAMN与△MON面积相等,所以③正确;
作NE⊥OM于E点,如图,
∵∠MON=45°,
∴△ONE为等腰直角三角形,
∴NE=OE,
设NE=x,则ON=x,
∴OM=x,
∴EM=x﹣x=(﹣1)x,
在Rt△NEM中,MN=2,
∵MN2=NE2+EM2,即22=x2+[(﹣1)x]2,
∴x2=2+,
∴ON2=(x)2=4+2,
∵CN=AM,CB=AB,
∴BN=BM,
∴△BMN为等腰直角三角形,
∴BN=MN=,
设正方形ABCO的边长为a,则OC=a,CN=a﹣,
在Rt△OCN中,∵OC2+CN2=ON2,
∴a2+(a﹣)2=4+2,解得a1=+1,a2=﹣1(舍去),
∴OC=+1,
∴C点坐标为(0,+1),所以④正确.
故选C.
点评:
本题考查了反比例函数的综合题:
掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质;熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算.
2.(2013•镇江)如图,A、B、C是反比例函数图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:
1:
1,则满足条件的直线l共有( )
A.
4条
B.
3条
C.
2条
D.
1条
考点:
反比例函数综合题.1904127
分析:
如解答图所示,满足条件的直线有两种可能:
一种是与直线BC平行,符合条件的有两条,如图中的直线a、b;还有一种是过线段BC的中点,符合条件的有两条,如图中的直线c、d.
解答:
解:
如解答图所示,满足条件的直线有4条,
故选A.
点评:
本题考查了点到直线的距离、平行线的性质、全等三角形等知识点,考查了分类讨论的数学思想.解题时注意全面考虑,避免漏解.
3.(2013•孝感)如图,函数y=﹣x与函数的图象相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D.则四边形ACBD的面积为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题.1904127
专题:
压轴题.
分析:
首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|,得出S△AOC=S△ODB=2,再根据反比例函数的对称性可知:
OC=OD,AC=BD,即可求出四边形ACBD的面积.
解答:
解:
∵过函数的图象上A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D,
∴S△AOC=S△ODB=|k|=2,
又∵OC=OD,AC=BD,
∴S△AOC=S△ODA=S△ODB=S△OBC=2,
∴四边形ABCD的面积为:
S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×2=8.
故选D.
点评:
本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|;图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|,是经常考查的一个知识点;同时考查了反比例函数图象的对称性.
4.(2013•威海)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数的图象经过点A,反比例函数的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是( )
A.
m=﹣3n
B.
m=﹣n
C.
m=﹣n
D.
m=n
考点:
反比例函数综合题.1904127
专题:
压轴题.
分析:
过点B作BE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,设点B坐标为(a,),点A的坐标为(b,),证明△BOE∽△OAF,利用对应边成比例可求出m、n的关系.
解答:
解:
过点B作BE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,
设点B坐标为(a,),点A的坐标为(b,),
∵∠OAB=30°,
∴OA=OB,
设点B坐标为(a,),点A的坐标为(b,),
则OE=﹣a,BE=,OF=b,AF=,
∵∠BOE+∠OBE=90°,∠AOF+∠BOE=90°,
∴∠OBE=∠AOF,
又∵∠BEO=∠OFA=90°,
∴△BOE∽△OAF,
∴==,即==,
解得:
m=﹣ab,n=,
故可得:
m=﹣3n.
故选A.
点评:
本题考查了反比例函数的综合,解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标,得出OE、BE、OF、AF的长度表达式,利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式,难度较大.
5.(2013•南平)如图,Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上,AC边在x轴上,已知∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,则图中阴影部分的面积是( )
A.
12
B.
C.
D.
考点:
反比例函数系数k的几何意义;含30度角的直角三角形;勾股定理.1904127
专题:
压轴题.
分析:
先由∠ACB=90°,BC=4,得出B点纵坐标为4,根据点B在反比例函数的图象上,求出B点坐标为(3,4),则OC=3,再解Rt△ABC,得出AC=4,则OA=4﹣3.设AB与y轴交于点D,由OD∥BC,根据平行线分线段成比例定理得出=,求得OD=4﹣,最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积.
解答:
解:
∵∠ACB=90°,BC=4,
∴B点纵坐标为4,
∵点B在反比例函数的图象上,
∴当y=4时,x=3,即B点坐标为(3,4),
∴OC=3.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,
∴AB=2BC=8,AC=BC=4,OA=AC﹣OC=4﹣3.
设AB与y轴交于点D.
∵OD∥BC,
∴=,即=,
解得OD=4﹣,
∴阴影部分的面积是:
(OD+BC)•OC=(4﹣+4)×3=12﹣.
故选D.
点评:
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,含30度角的直角三角形的性质,平行线分线段成比例定理,梯形的面积公式,难度适中,求出B点坐标及OD的长度是解题的关键.
6.(2013•南宁)如图,直线y=与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线y=(k>0,x>0)交于点B,若OA=3BC,则k的值为( )
A.
3
B.
6
C.
D.
考点:
反比例函数综合题.1904127
专题:
压轴题;探究型.
分析:
先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式,再分别过点A、B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥BE于点F,再设A(3x,x),由于OA=3BC,故可得出B(x,x+4),再根据反比例函数中k=xy为定值求出x
解答:
解:
∵将直线y=向上平移4个单位长度后,与y轴交于点C,
∴平移后直线的解析式为y=x+4,
分别过点A、B作AD⊥x轴,BE⊥x轴,CF⊥BE于点F,设A(3x,x),
∵OA=3BC,BC∥OA,CF∥x轴,
∴CF=OD,
∵点B在直线y=x+4上,
∴B(x,x+4),
∵点A、B在双曲线y=上,
∴3x•x=x•(x+4),解得x=1,
∴k=3×1××1=.
故选D.
点评:
本题考查的是反比例函数综合题,根据题意作出辅助线,设出A、B两点的坐标,再根据k=xy的特点求出k的值即可.
7.(2013•内江)如图,反比例函数(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
反比例函数系数k的几何意义.1904127
专题:
压轴题;数形结合.
分析:
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手,分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系,列出等式求出k值.
解答:
解:
由题意得:
E、M、D位于反比例函数图象上,则S△OCE=,S△OAD=,
过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S□ONMG=|k|,
又∵M为矩形ABCO对角线的交点,
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|,
由于函数图象在第一象限,k>0,则++9=4k,
解得:
k=3.
故选C.
点评:
本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|,本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.
8.(2013•柳州)如图,点P(a,a)是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点,以点P为顶点作等边△PAB,使A、B落在x轴上,则△POA的面积是( )
A.
3
B.
4
C.
D.
考点:
反比例函数系数k的几何意义;等边三角形的性质.1904127
专题:
压轴题.
分析:
如图,根据反比例函数系数k的几何意义求得点P的坐标,则易求PD=4.然后通过等边三角形的性质易求线段AD=,所以S△POA=OA•PD=××4=.
解答:
解:
如图,∵点P(a,a)是反比例函数y=在第一象限内的图象上的一个点,
∴16=a2,且a>0,
解得,a=4,
∴PD=4.
∵△PAB是等边三角形,
∴AD=.
∴OA=4﹣AD=,
∴S△POA=OA•PD=××4=.
故选D.
点评:
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,等边三角形的性质.等边三角形具有等腰三角形“三合一”的性质.
9.(2013•荆州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线(k≠0)上.将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在该双曲线上,则a的值是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
反比例函数综合题.1904127
专题:
压轴题.
分析:
作CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F,易证△OAB≌△FDA≌△BEC,求得A、B的坐标,根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标,从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式,进而求得G的坐标,则a的值即可求解.
解答:
解:
作CE⊥y轴于点E,交双曲线于点G.作DF⊥x轴于点F.
在y=﹣3x+3中,令x=0,解得:
y=3,即B的坐标是(0,3).
令y=0,解得:
x=1,即A的坐标是(1,0).
则OB=3,OA=1.
∵∠BAD=90°,
∴∠BAO+∠DAF=90°,
又∵直角△ABO中,∠BAO+∠OBA=90°,
∴∠DAF=∠OBA,
∵在△OAB和△FDA中,
,
∴△OAB≌△FDA(AAS),
同理,△OAB≌△FDA≌△BEC,
∴AF=OB=EC=3,DF=OA=BE=1,
故D的坐标是(4,1),C的坐标是(3,4).代入y=得:
k=4,则函数的解析式是:
y=.
OE=4,
则C的纵坐标是4,把y=4代入y=得:
x=1.即G的坐标是(1,4),
∴CG=2.
故选B.
点评:
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,待定系数法求函数的解析式,正确求得C、D的坐标是关键.
10.(2013•贵港)如图,点A(a,1)、B(﹣1,b)都在双曲线y=﹣上,点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是( )
A.
y=x
B.
y=x+1
C.
y=x+2
D.
y=x+3
考点:
反比例函数综合题.1904127
专题:
综合题;压轴题.
分析:
先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为(﹣3,1)、B点坐标为(﹣1,3),再作A点关于x轴的对称点C,B点关于y轴的对称点D,根据对称的性质得到C点坐标为(﹣3,﹣1),D点坐标为(1,3),CD分别交x轴、y轴于P点、Q点,根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小,然后利用待定系数法确定PQ的解析式.
解答:
解:
分别把点A(a,1)、B(﹣1,b)代入双曲线y=﹣得a=﹣3,b=3,则点A的坐标为(﹣3,1)、B点坐标为(﹣1,3),
作A点关于x轴的对称点C,B点关于y轴的对称点D,所以C点坐标为(﹣3,﹣1),D点坐标为(1,3),
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点,此时四边形PABQ的周长最小,
设直线CD的解析式为y=kx+b,
把C(﹣3,﹣1),D(1,3)分别代入,
解得,
所以直线CD的解析式为y=x+2.
故选C.
点评:
本题考查了反比例函数的综合题:
掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式;熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题.
11.(2012•随州)如图,直线l与反比例函数y=的图象在第一象限内交于A,B两点,交x轴于点C,若AB:
BC=(m﹣1):
1(m>1),则△OAB的面积(用m表示)为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
反比例函数综合题.1904127
专题:
压轴题.
分析:
作AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,根据相似三角形的判定得到△CAD∽△CBE,则CB:
CA=BE:
AD,而AB:
BC=(m﹣1):
1(m>1),则有AC:
BC=m:
1,AD:
BE=m:
1,
若B点坐标为(a,),则A点的纵坐标为,把y=代入得=,易确定A点坐标为(,),然后利用S△OAB=S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE计算即可.
解答:
解:
作AD⊥x轴于点D,BE