共边定理典型题解析.doc

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DAPB面积︰DAQB面积＝PM︰QM

A

A

A

A

B

B

B

B

P

P

P

P

Q

M

M

M

M

共边定理图：

四种位置关系

Q

Q

Q

1如图，△ABC　中，D、E分别是AB、AC边上的中点，用面积方法证明：

DE∥BC且DE＝BC．

证明：

∵D、E分别是AB、AC边上的中点，

∴△ADE﹕△BDE＝△ADE﹕△CDE＝1﹕1

∴△BDE＝△CDE ∴DE∥BC

∴∠DBC＝∠ADE 由共角定理得：

△ADE/△ABC＝AD·DE/AB·BC＝1/4　

∵AD＝AB ∴DE＝BC．

这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．

传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．

A

B

C

D

E

F

例2：

（1983年美国中学数学竞赛题） 如图的三角形ABC的面积为10，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD＝2，DC＝3，若△BCE与四边形DCEF的面积相等，则这个面积是（）

A．４ C．５ D．６ B． Ｅ．不确定

解：

由△BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形BCEF中分别减去这两个面积，得△BFD与△BFE同底且面积相等，所以BF∥DE，可以得到AB为边的两个三角形△ABD与△ABE面积相等，因为三角形ABC的面积为10，且BD＝2，DC＝3，所以△ABD的面积等于4，即△ABE面积等于4，所以△BCE的面积等于10－4＝6，故选C．

A

B

C

D

O

这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目．

例3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证明：

∵OA＝OC，OB＝OD，由共角定理得：

△AOB/△COD＝OA·OB＝OC·OD＝1

即△AOB＝△COD，∴共底的两个三角形△ACB＝△CBD，∴AD∥BC；

同理可证AB∥CD

问：

共边定理怎么证线段相等？

A

B

C

D

E

答：

常常是共边与共角两个定理都会用到。

利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。

例4：

（等腰三角形两腰上的高相等）已知：

如图，AB＝AC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，

求证：

BD＝CE．

解：

由三角形面积定理得：

S△ABC＝AB·CE＝AC·BD

∵AB＝AC，∴BD＝CE；

本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。

例5：

如图，已知AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，DE交AB于F点

A

E

B

C

D

F

求证：

BE＝EC．

证明：

连接C、F，由平行线性质，得△DFC＝△DFA；

由AD平分∠BAC，DF∥AC，可得∠FAD＝∠FDA，∴AF＝FD

由BD⊥AD，得∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF；∴AF＝BF

∴△DFB＝△DFA；△DFC＝△DFB；∴BE︰EC＝△DFC︰△DFB＝1︰1，即BE＝EC．

C

A

B

D

E

F

本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。

例6：

如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，

求证：

DF＝EF.

证明：

连接CD、BE，∵AB＝AC∴∠DBC与∠BCE互补，由共角三角形定理：

△DBC︰△BCE＝BD·BC︰CE·BC

∵AB＝AC，BD＝CE，得△DBC＝△BCE，

再由共边定理得：

△DBC︰△BCE＝DF︰FE＝1︰1

∴DF＝EF.

本题先用共角三角形定理证得△DBC与△BCE面积相等，再由共边定

理推出线段相等。

相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。

例7：

在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：

．

A

B

D

3

2

1

Q

N

M

H

G

E

C

证明：

连结CF，由，得图中两个阴影三角形的面积之比为1︰2，即：

△AFC︰△AFB＝1︰2，又由，等腰直角三角形的条件，得

A

B

C

D

E

F

F

1

2

3

∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，由共角定理得：

AF·AC︰AB·BF＝△AFC︰△AFB＝1︰2

∴AF︰BF＝1︰2，由△AFB与△AEB相似，得AE︰AB＝1︰2，∵AB＝AC∴AE＝EC

本题先用CD︰DB＝1︰2得到两个阴影三角形的面积之比为1︰2，再由共角三角形定理证得AF︰BF＝1︰2，过程相当简洁明了。

问：

共边定理怎么证比例线段？

答：

共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。

由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。

也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。

只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。

A

B

C

D

E

F

例1图

例1：

已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．

求证：

AF＝AC．

解答：

构造以BF为公共边的两个三角形△ABF和△DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形△ABF和△DBF、△DCF面积都相等，由图易得＝＝，所以AF＝AC．

A

B

C

D

E

F

例2题图1

1

4

2

例2：

△ABC中，D是BC上的一点，，E为AD上一点，，求，

解答：

①构造以BE为公共边的两个三角形△ABE和△CBE，则＝，由图易得＝．

A

B

C

D

E

F

例2题图2

6

14

1

②构造以AD为公共边的两个三角形△BAD和△FAD，则＝．由＝，设△FAD＝1,则△FDC＝6，∴△ADC＝7；由，得△BAD＝14,∴＝＝．

例3：

（三角形角平分线性质定理）如图，AD平分∠BAC，

A

B

C

D

求证：

证明：

AD平分∠BAC，由共角三角形定理：

△ADB︰△ADC＝AB·AD︰AC·AD＝AB︰AC

又∵△ADB︰△ADC＝BD︰CD

∴AB︰AC＝BD︰DC．

问：

全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？

在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法．但作为欧式几何的宝贵遗产，在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各取所长，减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的．

A

B

C

D

E

F

例如下面这道题目，三种解法就各有利弊．

1在△ABC内任取一点P，连接PA、PB、PC分别交对边于X、Y、Z点．

求证：

＋＋＝1

A

B

P

Z

Y

X

C

Y

P

证明：

这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理一个极其简单的直接应用，只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比再相加，立即得到结论！

＋＋＝＋＋＝1

例（梅涅劳斯定理）：

在△ABC的两边取X、Y，直线XY与BC的延长线交于Z点．

B

X

Y

Z

C

A

求证：

··＝1

证明：

··＝··＝1．也是一步！

C

A

B

D

M

K

L

F

G

2著名数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题解》前言中，给出了这样的一道几何题：

如图，凸四边形ABCD的两边DA、CB延长后交于K，另外两边AB、DC延长后交于L，对角线DB、AC延长后分别与KL交于F、G．

求证：

证明：

＝（以BD为公共边的两个三角形的面积比）

＝（乘以同一个三角形KBL，化为两组面积的比）

＝（化为两组线段的比）

＝（化为有同一个三角形DAC的两组面积的比）

＝＝（消去公共三角形，化为线段的比）

这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步．骤相当多，也不易理解，所以20多年没有人给出简单巧妙的解．在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了

问：

怎样用面积法证面积题？

答：

已知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现．其实，这类题使用共边定理是最好的方法．

4：

A

B

C

D

O

第7题图

2

3

6

？

如图，四边形ABCD中，△AOD面积＝2，△DOC面积＝3

△COB面积＝6，求△AOB面积．

解法1：

∵△AOD面积︰△DOC面积＝2︰3＝AO︰OC＝△AOB面积 ︰△COB面积，∵△COB面积＝6∴△AOB面积＝4

解法2：

∵△AOD面积︰△DOC面积＝AO︰OC＝△AOB面积 ︰△COB面积，

∴△AOB面积×△DOC面积＝△COB面积×△AOD面积

这里得到一个新的定理：

四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等．用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了．

∴△AOB面积＝2×6÷3＝4．

5（17届希望杯全国赛初二第二试19题）：

A

B

C

E

D

P

如图，等腰△ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若＝10，则＝______；＝_______；AE︰EC＝_______．

解：

∵︰＝AP︰PD＝1︰2 ∵＝即︰︰＝1︰2︰2，∵＝10，∴＝2；＝4；

AE︰EC＝︰＝1︰4

B

C

E

D

P

A

6△ABC中，D点在BC边上，且，P点在BC边上的高AD上，且

BP的延长线交AC于E，若＝18，则＝______，＝_______．

AE︰EC＝_______．

解：

︰︰＝1︰2︰3

∴则＝____3__，＝__6_____．

AE︰EC＝__1︰5_____．

7如图：

△ABC中，E为中点，AD︰DC＝2︰1，△EBF面积是15，求△ABC的面积．

A

B

C

D

E

F

15

60

15

解：

连结CF，∵E为中点且△EBF面积是15；

∴△ECF面积＝△EBF面积＝15；

∵AD︰DC＝2︰1∴△AFB面积︰△FCB面积＝2︰1

∴△AFB面积＝60，E为中点∴△ACF面积＝△AFB面积＝60

∴△ABC的面积＝15+15+60+60＝150．

8：

A

B

C

D

E

F

如图所示，已知在平行四边形ABCD中，AE︰EB＝1︰2．

（1）求△AEF与△CDF的周长比；

（2）如果SABCD＝6平方厘米，求S△ADE．

解答：

∵AE︰EB＝1︰2∴AE︰AB＝AE︰CD＝1︰3，由△AEF∽△CDF，可得它们的周长比为1︰3；S△ADE＝S△ABD＝S△ABCD∵SABCD＝6平方厘米∴S△ADE＝1平方厘米．；

例11：

如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4cm2，△CED的面积是6cm2．问：

四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

A

B

C

D

E

F

4

6

解：

连结BF，则△BDF面积＝△CDF面积＝10，∴△BEF面积＝6；设面积为x，则有：

4x＝6×6，x＝9；△BDC面积＝15，长方形ABCD面积＝30∴四边形ABEF的面积是

15－4＝11平方厘米

A

B

C

D

E

F

9如图，FB、AD、EC互相平行，△ABC的面积为1，求△FDE的面积。

解：

由AD∥EC，得△ADC＝△ADE，同理△ABD＝△AFD，

∴得△ADE＋△AFD＝△ABC＝1

又由FB∥EC，得△ECB＝△ECF，∴△ABC＋△ACE＝△AEF＋△ACE

即△ABC＝△AEF＝1

∴△FDE＝△AEF＋△ADE＋△AFD＝2

A

C

B

D

E

F

10如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使CE＝2BC，延长CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。

解：

连结BD，EC，由已知条件可得，△DAB＝1，△DBE＝2，△CBE＝2，

△FCE＝6，△FCD＝6，

∴△DEF＝1＋1＋2＋2＋6＋6＝18

这题也是面积法最基本的题型.

11在的三边BC、CA、AB上分别取点D、E、F，使BD＝3DC，CE＝3AE，AF＝3FB，连AD、BE、CF相交得三角形PQR，已知三角形ABC的面积为13cm2，求三角形PQR的面积．

A

B

C

D

E

P

图2

图1

A

B

C

D

E

F

R

P

Q

解：

由图1得：

△PQR＝△ABC－（△ABP＋△BCQ＋△CAR）；

观察图2，连结PC，由CE＝3AE，得△APE︰△CPE＝1︰3，又由BD＝3DC，得△APB︰△APC＝3︰1

设△APE＝1，则△CPE＝3，△APB＝12，△ABE＝13；由CE＝3AE，得△ABE︰△ABC＝1︰4，∴△ABC＝52，得△APB︰△ABC＝12︰52；

同理可得△BCQ︰△ABC＝12︰52；△CAR︰△ABC＝12︰52；∵三角形ABC的面积为13cm2，∴△ABP＋△BCQ＋△CAR＝36︰52×13cm2＝9cm2；∴△PQR＝13cm2－9cm2＝4cm2

此题还可顺便推得EP︰EB＝1︰13，AP︰AD＝4︰13.在这一类题目中，特别能体现面积方法的强大，没有平行线，没有全等三角形，没有相似三角形，但处处存在由面积引发的比例关系，这种比例关系通过共边三角形和共角三角形而存在.