上海市16区2018届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编：押轴题专题.doc
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上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编
押轴题专题
宝山区
25．（本题共14分，其中
（1）
（2）小题各3分，第（3）小题8分）
如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：
BE＝1：
2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．
（1）求sin∠ABC；
（2）求∠BAC的度数；
（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其定义域．
长宁区
25．（本题满分14分，第
（1）小题3分，第
（2）小题6分，第（3）小题5分）
已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4.P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F.联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E.
设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．
备用图
备用图
图1
第25题图
崇明区
25．（本题满分14分，第
（1）小题4分，第
（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知中，，，，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作交BC边于点F，联结EF．
（1）如图1，当时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当是等腰三角形时，请直接写出BF的长．
（第25题图1）
A
B
C
D
F
E
B
D
F
E
C
A
（第25题图2）
B
D
F
E
C
A
（第25题图3）
奉贤区
25.（本题满分14分，第
（1）小题满分3分，第
（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）
已知：
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD=CD=2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB=45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE=x.
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作,△BAF的周长记作，设，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长.
虹口区
25．（本题满分14分，第
（1）小题满分5分，第
（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）
已知AB=5，AD=4，AD∥BM，（如图），点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE，使得∠DAE=∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设BC=x，．
（1）如图1，当x=4时，求AF的长；
（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）联结BD交AE于点P，若△ADP是等腰三角形，直接写出x的值．
黄浦区
25．（本题满分14分）
如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）.
（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；
（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；
（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域.
B
E
D
P
C
A
P
D
B
A
嘉定区
25.在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直。
（1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图9，试探索：
的比值是否随点Q的运动而发生变化？
若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图10，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。
金山区
25．（本题满分14分，第
（1）题3分，第
（2）题5分，第（3）题6分）
如图，已知在△ABC中，AB=AC=5，cosB=，P是边AB上一点，以P为圆心，PB为半径的⊙P与边BC的另一个交点为D，联结PD、AD．
（1）求△ABC的面积；
（2）设PB=x，△APD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△APD是直角三角形，求PB的长．
静安区
25．（本题满分14分，其中第
（1）小题4分，第
（2）小题6分，第（3）小题4分）
已知：
如图，四边形ABCD中，0°＜∠BAD≤90°，AD=DC，AB=BC，AC平分∠BAD．
（1）求证：
四边形ABCD是菱形；
F
第25题图②
A
B
D
C
E
G
（2）如果点E在对角线AC上，联结BE并延长，交边DC于点G，交线段AD的延长线于点F（点F可与点D重合），∠AFB=∠ACB，设AB长度是（是常数，且），AC=，AF=，求关于的函数解析式，并写出定义域；
（3）在第
（2）小题的条件下，当△CGE是等腰三角形时，
求AC的长．（计算结果用含的代数式表示）
第25题图①
A
D
C
B
闵行区
25．（本题共3小题，第
（1）小题4分，第
（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD是斜边上中线，点E在边AC上，点F在边BC上，且∠EDA=∠FDB，联结EF、DC交于点G．
（1）当∠EDF=90°时，求AE的长；
（2）CE=x，CF=y，求y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（第25题图）
A
B
D
C
E
F
G
（备用图）
A
B
D
C
（3）如果△CFG是等腰三角形，求CF与CE的比值．
浦东新区
25．（本题满分14分，其中第
（1）小题4分，第
（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：
△EFG∽△AEG；
（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
A
B
C
A
B
C
C
（第25题图）
A
B
G
F
D
E
（第25题备用图）
（第25题备用图）
普陀区
25．（本题满分14分）
如图11，的余切值为2，，点是线段上的一动点（点不与点、重合），以点为顶点的正方形的另两个顶点、都在射线上，且点在点的右侧．联结，并延长，交射线于点．
（1）在点运动时，下列的线段和角中，▲是始终保持不变的量（填序号）；
①；②；③；④；⑤；⑥．
（2）设正方形的边长为，线段的长度为，求与之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△与△相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
图11
P
G
F
E
D
C
B
A
备用图
C
A
B
青浦区
25．（本题满分14分，第
（1）小题5分，第
（2）小题5分，第（3）小题4分）
如图10，在边长为2的正方形ABCD中，点P是边AD上的动点（点P不与点A、点
D重合），点Q是边CD上一点，联结PB、PQ，且∠PBC＝∠BPQ．
（1）当QD＝QC时，求∠ABP的正切值；
（2）设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式；
（3）联结BQ，在△PBQ中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．
图10
备用图
松江区
25.（本题满分14分，其中第
（1）小题4分，第
（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知中，，AC=1，BC=2，CD平分交边AB于点D，P是射线CD上一点，联结AP.
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长.
P
D
C
B
A
（第25题图）
（备用图）
D
C
A
B
M
徐汇区
25．（本题满分14分，第
（1）小题满分3分，第
（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）
已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在射线BC任取一点M，联结DM，作∠MDN=∠BDC，∠MDN的另一边DN交直线BC于点N（点N在点M的左侧）．
（1）当BM的长为10时，求证：
BD⊥DM；
（2）如图
（1），当点N在线段BC上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当是等腰三角形时，求BN的长．
（备用图）
图
（1）
第25题
杨浦区
25．（本题满分14分，第
（1）、
（2）小题各6分，第（3）小题2分）
已知：
矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上.
（1）如图1，当EP⊥BC时，求CN的长；
（2）如图2，当EP⊥AC时，求AM的长；
（3）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长.
（备用图）
（图1）
A
B
C
D
N
P
M
E
（图2）
A
B
C
D
N
P
M
E
（第25题图）
A
B
C
D
参考答案宝山区
长宁区
25．（本题满分14分，第
（1）小题3分，第
（2）小题6分，第（3）小题5分）
解：
（1）∵矩形ABCD∴
∴∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD
∴∴
∴∵
∴∴（2分）
∴（1分）
（2）∵PF⊥BP∴
∴∵∴
∴又∵∠BAP=∠FPE
∴∽∴（2分）
∵AD//BC∴
∴即
∵∴（2分）
∴
∴（1分+1分）
（3）（3分）或（2分）
崇明区
25、
（1）∵，
∴∵∴……………………………1分
∵是边的中点∴
∵∴
∴∴∴
∵在中，∴……………………1分
∵∴
又∵∴四边形是矩形
∴………………………………………………………………1分
∵在中，∴…………………1分
（2）不变……………………………………………………………………………1分
过点作，，垂足分别为点、
由
（1）可得，
∵，
∴
又∵∴四边形是矩形
∴
∵
∴即……1分
又∵
∴……………………………………………………1分
∴…………………………………………………………1分
∵∴……………………1分
（3）1°当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴…………………………………………………1分
2°当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，∴
∵∴∴∴
∵∴
∴解得∴
∴……………………………………………………2分
3°在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，∴
∵∴∴
∴
∵∴
∴解得∴
∴………………………………………………………2分
奉贤区
虹口区
黄浦区
25.解：
（1）过C作CH⊥AB与H，—————————————————（1分）
由∠A=90°，DP∥AB，得四边形ADCH为矩形.
在△BCH中，CH=AD=4，∠BHC=90°，tan∠CBH=2，得HB=CH÷2=2，（1分）
所以CD=AH=5-2=3，———————————————————————（1分）
则四边形ABCD的面积=.———（1分）
（2）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠EBC，
当△ABE∽△EBC时，
①∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA，得BC=BA=5，
于是在△BCH中，BH=，
所以CD=AH=5-3=2.———————————————————————（2分）
②∠BEC=∠BAE=90°，延长CE交BA延长线于T，
由∠ABE=∠EBC，∠BEC=∠BET=90°，BE=BE，得△BEC≌△BET，得BC=BT，
且CE=TE，又CD∥AT，得AT=CD.
令CD=x，则在△BCH中，BC=BT=5+x，BH=5-x，∠BHC=90°，
所以，即，解得.———（2分）
综上，当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或.—————————（1分）
（3）延长BE交CD延长线于M，——————————————————（1分）
由AB∥CD，得∠M=∠ABE=∠CBM，所以CM=CB.
在△BCH中，.
则DM=CM-CD=，
又DM∥AB，得，即，————（2分）
解得——————————（2分）
嘉定区
25.在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直。
（1）如图8，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图9，试探索：
的比值是否随点Q的运动而发生变化？
若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图10，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域。
【解答】
（1）因为AB=8，tan∠PBC=
所以BC=DC=8，
所以PC=6，BP=10，DP=2
当点R与点D重合时，因为PQ⊥BP，所以△BCP∽△RQP
所以，所以。
（2）没有变化。
如图，设射线BP交AD的延长线于点H。
因为RQ⊥BP，QM⊥AD
所以∠RQM+∠MQH=90°，∠MHQ+∠MQH=90°
所以∠RQM=∠MHQ
因为AH∥BC，所以∠MHQ=∠PBC
所以Rt△RQM∽Rt△PBC
所以。
（3）如图，由
（2）易得Rt△RQM∽Rt△PBC∽Rt△QHM∽PHD
因为DP=2，所以DH=，PH=
所以QH=，所以MQ=
因为，所以
解得。
金山区
静安
25．
（1）证明：
∵四边形ABCD中，AD=DC，AB=BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA………………………………………………（1分）
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠BCA，……………………………………………………………………（1分）
在△ABC和△ADC中，
F
第25题图②
A
B
D
C
E
G
∴△ABC≌△ADC…………（1分）
∴AB＝AD，BC＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC，…（1分）
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：
如图②，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ACB，∠AFB＝∠FBC，
∵∠AFB=∠ACB，∴∠F＝∠FAC，
又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB＝∠FBC＝∠CAB，
∵∠ECB＝∠BCA，∴△CEB∽△CBA，∴，………………………………（2分）
∵AB长度是（是常数，且），AC=，AF=，
∴，∴，
∴，……………………………………………………………（1分）
又∵AF∥BC，∴∴…………………………………………（1分）
∴．………………………………………………………………………（1分）
又∵0°＜∠BAD≤90°∴此函数定义域为（）．……………………（1分）
（3）解：
∵四边形ABCD是菱形，DC∥AB，∴△CGE∽△ABE
∴当△CGE是等腰三角形时，△ABE是等腰三角形．
∵△CEB∽△CBA∴，即，∴BE＝…………………………（1分）
①当AE＝AB时，，即，
解得（经检验是原方程的根且符合题意，负值舍去）
∴AC＝……………………………………………………………………………（1分）
②当AE＝BE时，，
解得（经检验是原方程的根且符合题意，负值舍去）
∴AC＝……………………………………………………………………………（1分）
③当AB＝BE时，，解得（经检验不合题意，舍去）……………（1分）
∴AC的长为或．
闵行区
25．解：
（1）过点E作EH⊥AB于点H，
∵∠EDF=90°，∠EDA=∠FDB，∴∠EDA=∠FDB=45°．………………（1分）
在Rt△EHD中，设DH=EH=a，
在Rt△AEH中和Rt△ABC中，tan∠A=，
∴AH=．…………………………………………………………………（1分）
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴．
∵CD是斜边上中线，∴CD=．
∵AH+HD=AD，∴，解得．……………………………（1分）
∴AE==．……………………………………………………………（1分）
（2）分别过点E、F作AB的垂线垂足为H、M，
∵CE=x，CF=y，∴AE=4x，CF=3y．
在Rt△AEH中，，．………………………（1分）
同理Rt△BFM中，，．…………………（1分）
A
B
C
D
E
F
G
H
M
∴，．………………………………………（1分）
Rt△FHD和Rt△FMD中，
∵∠EDA=∠FDB，
∴tan∠EDA=tan∠FDB．……………（1分）
即：
化简得．……………………………………………………（1分）
函数定义域为．…………………………………………………（1分）
（3）（i）当CG=CF时，
A
B
C
D
E
F
G
N
过点G作GN⊥BC于点N，CF=CG=y，
Rt△HCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，
∴CN=，GN=．
∴FN=．
∵GN∥AC，
∴．………………………………………………………（2分）
（ii）当CF=GF时，
过点G作GP⊥BC于点P，CF=y，
∵cos∠DCB=，∴
A
B
C
D
E
F
G
P
Rt△PCG中，cos∠DCB=，sin∠DCB=，
∴CP=，GP=，
∴FP=，
∵GP∥AC，
∴．…………………………………………………（2分）
（iii）CG=CF的情况不存在．
∴综上所述，的值为或．
浦东新区
C
（第25题图）
A
B
G
F
D
E
H
25．解：
（1）∵ED=BD，
∴∠B=∠BED．………………………………（1分）
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°．
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°．
∴∠BED+∠GEF=90°．
∴∠A=∠GEF．………………………………（1分）
∵∠G是公共角，……………………………（1分）
∴△EFG∽△AEG．…………………………（1分）
（2）作EH⊥AF于点H．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴．
∴在Rt△AEF中，∠AEF=90°，．
∵△EFG∽△AEG，
∴．……………………………………………（1分）
∵FG=x，
∴EG=2x，AG=4x．
∴AF=3x．……………………………………………………………（1分）
∵EH⊥AF，
∴∠AHE=∠EHF=90°．
∴∠EFA+∠FEH=90°．
∵∠AEF=90°，
∴∠A+∠EFA=90°．
∴∠A=∠FEH．
∴tanA=tan∠FEH．
∴在Rt△EHF中，∠EHF=90°，．
∴EH=2HF．
∵在Rt△AEH中，∠AHE=90°，．
∴AH=2EH．
∴AH=4HF．
∴AF=5HF．
∴HF=．
∴．…………………………………………………………（1分）
∴．………………………………（1分）
定义域：
（）．……………………………………………（1分）
（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是：
．……（5分）
普陀区
25．解：
（1）④和⑤． （2分+2分）
（2）过点作⊥，交于点，交于点．
在Rt△中，∵，，∴． （1分）
∵∥，∴△∽△． （1分）
∵⊥，⊥，∴． （1分）
得，∴（≤＜）． （1分+1分）
（3）∵，又∵△与△相似，但面积不相等，
∴只可能． （1分）
则．
可得或．
得或．解得或． （2分+2分）
所以正方形的边长是或．
青浦区
25．解：
（1）延长PQ交BC延长线于点E．设PD=x．
∵∠PBC＝∠BPQ，
∴EB=EP．…………………………………………………………………………………（1分）
∵四边形ABCD是正方形，
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