西华大学专升本培训高等数学题库文档格式.docx
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6536、证明方程至少有一负实根。
x,2x，5x，1,0
0,x,17、设在[0,1]上连续，且当时，恒有，试证明:
至少存在一点，使fx（）0（）1,,fx,,（0,1）
。
f（）,,,
第二章导数与微分必须掌握的考点:
1、理解导数的概念，会用定义判断函数的可导性，会求分段函数的导数。
了解函数可导性与
连续性之间的关系以及导数的几何意义，会求切线方程与法线方程。
2、熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
3、掌握隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会使用对数求导法。
4、了解高阶导数的概念，会求初等函数的高阶导数。
5、理解函数的微分概念及微分的几何意义，会求函数的微分。
导数与微分过关题
（2）一、有关导数定义的题目
1,xxcos,0;
,,x,01、研究函数f（x）在点处的可导性.x,
0,0.x,,
sinx,x,0;
,,，，fx2、己知函数f（x）求。
x,x,0.,
fxfx223，,,，，，，,x,2lim，，fx3、设在处可导，且f
（2）5,，求。
x,0x
2,[1,1],fx（）F（0）4、设函数在上有界，且Fxxfx（）sin（）,，求。
,f
（1）,fxxxxx（）
（1）
（2）（10）,，，，？
f（0）5、设，求和。
x,ex,0;
x,0fx,a,b6、设函数在处可导，求的值。
，，,sin,0.axbx，,,
2,xx,1,fx（）,（,）,,，,,7、己知函数在上可导，求的值.axbx，,,
二、计算下列函数的导数
23xx,13xx,,
（1）,求和
（2）（3），，fx,，，，，，f0f2y,y,5x,2，3e，log5255,xx，1
sinx2（4）（5）（6）y,，，y,cossec2xyx,lncos2x
2（7）设（8），，y,lnsecx，tanxyxx,，，ln
（1）
2xdy,,（9）（10）设，其中可导，求。
fy,arctanyfx,（sin）,,dx2,,
32x，sinx,,（11）设，求。
（12），求。
yyyx,yx,（tan）三、求隐函数和参数方程的导数
dy
（1）设方程确定了隐函数，求。
yxy,，arctanyyx,（）dx
y32y,,
（2）设，求。
（3）设方程，求。
y（0）yexye，,,0221yexyx，，,,
22,xatt,,（sin）xt,cos,dydy（4）设，求。
（5）设设，求。
,22dxdxyat,,（1cos）yt,sin,,
四、求下列函数的二阶导数
22,,,,
（1）设，求。
（2）设，求。
yyy,ln，，1,xy,（arcsinx）
2x,,,,,（3）设,求。
（4）设，求.，，，，，，f1fxfcosx,cos2xf，，x,xe
五求下列函数的微分
2xax22yax,，，arcsin
（1）设，求.dy22a
2
（2）设，求。
dyyxx,，3ln
y（3）设，求。
dyxe,lny,5
六、求切线、法线方程
xt,sin,,,t
（1）求曲线在相应于的点处的切线方程和法线方程。
4yt,cos2,y
（2）求曲线在点处的切线与法线方程。
（1,0）yxe,,1
第三章中值定理及导数的应用必须掌握的考点:
1、了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。
会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。
会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。
2、熟练掌握用洛必达法则求未定式的极限。
3、会求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的单调性证明简单的不等式。
4、了解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应用问题。
5、会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
中值定理及导数的应用过关题（3）
1、求下列极限
lnsin2xxx,sintanxx,lim
（1）lim
（2）（3）lim32，x,0x,0x,0lnsinxxxxln
（1），
11112limlnxx（4）,（5）（6）lim（）,lim[]x，x,0x,1x,0ex,1xx，ln
（1）
xlimtan2xlim（arctan）xx,（7）（8），，，x,,,0x22xx,22、验证函数在上满足罗尔定理的条件，并求出定理中的数值。
[0,2],fxe（）,
f（）,,3、设在上连续，在（0,1）内可导，且，证明:
存在，使得,,fx（）[0,1]f
（1）0,,,（0,1）f（）,,
成立。
（提示:
对函数利用罗尔定理）Fxxfx（）（）,
4、设在上可导，且。
证明:
在内至少存在一点，使。
（提fx（）[0,1]ff
（1）（0）0,,（0,1）,ff（）（）,,,
x示:
对函数利用罗尔定理）Fxefx（）（）,
5、利用单调性证明下列不等式
2x1x,0x,0xx,,，ln
（1）xx，,，11
（1）当时，
（2）当时，22
xx,0exx，,,cos2（3）证明:
当时，。
6、利用拉格朗日中值定理证明不等式
sinx,siny,x,y
（1）
xxe,1e,1xxxx,0exe,,1,eln,x
（2）用拉格朗日中值定理证明:
不等式可变为，即，xxxx0xeexe,,，从而在区间上用拉格朗日中值定理得证）[0,]xfxe（）,
7、求下列函数的极值与单调区间
3x322,xy,
（1）;
（2）（3）求的极值。
yxxx,,,,391fxxe（）,2
（1），x
8、求下列函数的凹凸区间和拐点
323
（1）
（2）fxxxx（）26187,,,，fxxx（）2,,
32ab,9、问为何值时,点（1,3）是曲线fxaxbx（）,，的拐点,
32[0,3]10、求在上的最大值与最小值。
fxxxx（）266,,，
p1,pp211,，,,xx01,1,,,xp11、证明:
当时,.，，
第四章不定积分
必须掌握的考点:
1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理，熟练掌握基
本的积分公式。
2、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。
3、掌握不定积分的分部积分法。
4、会求简单有理函数及简单无理函数的不定积分。
不定积分过关题（4）
21、已知，求.f（x）dx,xsinx，Cf（x）,
132、已知xf（x）dx,x，，C,求.f（x）dx,,x
x33、若是的一个原函数，求.exf（lnx）dxf（x）,
1fxdx（ln1），fxdxFxc（）（）,，4、，则=（）,,x
xx2,5、设求的表达式。
fx（）fee
（1）1,，,，
,,,fx（）xfxdx（）,的二阶导数连续，则（）6、设函数f（x）,
7、计算下列不定积分
232（2x，x,）dx
（1）
（2）（3）（x，x）（x，1）dxsecx（secx,tanx）dx,,,x
41，xtanx2dx（4）3cotxdx（5）（6）dx,22,,x（1，x）cosx
23sec（）x2,x3xedx5,2xdx（7）（8）（9）dx,,,x
dx15dxcosxsinxdx（10）（11）（12）x,x,,,e，exx35ln,
arccotx14dxcotxcscxdx（13）（14）（15）dx2,,,231，x1,（arccos）xx
x，1,111dxdx（16）（17）（18）dx22,,,xx，,67xx，，46x，1，1
2x,9132dx（x，x）1，xdx（19）（20）（21）dx,,,x
（1）2，，xx
dx1xxdxsin（21），dx（22）（23）（24）,,,2x23，e1（1,x）
22ln（1，x）dxarccosxdxxln（x，1）dx（25）（26）（27）,,,
ln（lnx）2xdxxxdxarcsin
（1）xedx，（28）（29）（30）,,,x
x，2xsinxdxdxdx（31）（32）（33）2,,,xx，,412（x，1）（x，2）
第五章定积分及其应用必须掌握的考点:
1、理解定积分的概念与几何意义，掌握定积分的基本性质。
2、了解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
3、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
并会证明一些简
单的积分恒等式。
4、理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
5、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积会求平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转
体体积。
定积分及其应用过关题（5）1、求下列各导数:
xsinx2dd2t
（1）sin1
（2）edt，tdt,,cosx1dxdx
xt（3）求积分上限函数的导数.gxedt（）sin
（1）,，,a
lnx,（4）设，则。
,（）x,,xtdtarctan，，2,x
2、求下列极限:
xxcosxx223,t21，tdtsinuduedt（arctan）tdt,,,,0100
（1）
（2）（3）（4）limlimlimlim224x,,x0,，,200x,xxxxe,1，1x2yxdy2ln
（1）sin21，，,,tdttdtx3、求由设方程，求。
,11dx
x2,t4、求的极值。
f（x）,tedt,0
x245、设，求的值和。
afx（）tftdtxa（）81（0）,,,,a
6、计算下列定积分:
242032,2，1x331xx，，
（1）dxdx
（2）（3）cosxdx2,,22,,110x，1（，1）xx
,1xx421,x，222（）,fxdx（4），其中。
（5）（6）fxdx（）xxdx1,,2,,,000x,x,12x，1,
131dx1dxdx（7）（8）（9）3,,,22,2211（1，x）11,,xxx1，4
,13322242tan,d,coscosxxdx,[sin.arcsin11]xxxdx,，,（10）（11）（12）1,,,,0,,22201131ln21xxcos22,xx，,[9]xdx（13）（14）（15）（16）xxdxarctanxedxedx2012,,,,,3000sinx
x,2e,x,0f（x）,fxdx
（1）,7、设，求。
1,2xx1，,,02,
8、计算下列反常积分
，,，,，,11x,
（1）
（2）（3）dxdxedx2,,,310，,xx28，xx
（1）
9、计算下列图形的面积或体积
2
（1）求曲线与围成的平面图形的面积。
x,y,1y,2x，1
2
（2）求由曲线与围成的平面图形的面积。
y,x，3y,x,2x，3
3（3）求由围成的平面图形分别绕、绕轴旋转一周所得旋转立体的体积。
xy,x,x,2,y,0y
22（4）求由所围图形分别绕、绕轴旋转一周所得旋转立体的体积。
xy,x,x,yy
2（5）求围成的平面图形分别绕轴、轴转一周形成的立体的体积。
yxyxyx,,2,
12（6）求抛物线在点处的切线与该曲线及轴所围图形的面积,并求该图形绕轴旋转一周的yx,xx（2,2）2
体积。
第六章微分方程必须掌握的考点:
1、掌握可分离变量方程的解法。
2、掌握一阶线性微分方程的解法。
3、了解二阶线性微分方程解的结构。
、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
4
x5、了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为，其中为Px（）fxPxe（）（）,nn
的次多项式。
为实常数）。
xn
微分方程过关题（6）
一、求下列一阶微分方程的通解（特解）.
dy2x，yxx，yy,,,3xyxy1、2、3、xyyy,ln（e,e）dx，（e，e）dy,0dx
dydyy3cosx,
（2）2
（2）xyx,,，,,4、5、6、yyxe，,cot52dxdxxy2,
dyxy2x,,,,|0xyxey7、8、,,,0,1dxdyy,x1x,0dx11，，yx
二、求二阶微分方程的通解（特解）
,,,,,1、;
2、yyy，，,56041290yyy，，,
3x,,,,,3、yyx,,34、yye,,9
x,,,,,,5、yy，,40,y（0）0,,y（0）1,6、,y（0）0,,y（0）1,yyxe,,4
x2f（x）三、求可导函数，使得方程。
tf（x）dt,x，f（x），2,0
yfx,（）2xy，四、曲线过原点，且在任一点处的切线斜率为，求该曲线的方程。
xe五、已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解为:
1和，
（1）写出该微分方程的通解;
（2）试写出该
微分方程。
4x,,,六、微分方程的特定解应取的形式可设为。
yyyxe,,,，28
（2）
第七章多元函数微分法及其应用必须掌握的考点:
1、理解偏导数概念，了解全微分概念及其全微分存在的必要条件与充分条件。
2、掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法。
掌握抽象复合函数一阶偏导数的求法。
会求二元函数的全
微分。
3、掌握由方程所确定的隐函数的一阶偏导数的计算方法。
Fxyz（,,）0,zzxy,（,）
、会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面和法线方程。
5、会求二元函数的无条件极值。
会应用拉格朗日乘数法求解一些最大值最小值问题。
多元函数微分法及其应用过关题（7）
一、求下列偏导数yx222x1、2、3、z,lntanzxye,z,xln（x，y,x）y
yy,z,zx,xyz,x,lnz,ln（x，）4、5、6、设，求,，sin,zxe（1,0）（1,1）x2xy,x,y
222,,,zzz二、下列函数的二阶偏导数。
,22,,,,xyxy
2yxy2z,arctan1、2、3、ze,z,sin（x，2y）x
三、下列函数的全微分
yz222dzduu,x1、设，求。
2、设，求。
zxyx,，，sin
（2）
x2dzdz|3、设，求。
4、，求。
z,f（xy,）zxyxy,，，（1,2）y
z,z,四、具有一阶连续偏导数，求下列函数的一阶偏导数。
f,x,y
y2222zfx,（,）1、2、3、zfxyxy,，（,）zfxxy,（sin,）x
z,z,z543,五、设由方程确定了隐函数，求以及。
z,z（x,y）z,xz，yz,1x,0,x,y,yy,0
222dz七、设方程确定了隐函数，求。
zzxy,（,）xyzxyz，，，,,,2390
z,z333,八、设确定隐函数z=z（x,y），试求。
x，y，z，xyz,6（1,2,,1）（1,2,,1）,x,y
22九、求函数的极值。
fxyxyxy（,）2（）,,,,
33十、求函数的极值。
f（x,y）,x，y,3xy
十一、已知容积为V的开顶长方体盒子，问其尺寸怎样时，有最小表面积,
第八章空间解析几何必须掌握的考点:
1、理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦。
掌握向量的线性运算、向量的
数量积以及两向量的向量积的计算方法。
2、会求平面的点法式方程、一般式方程。
会判定两平面的垂直、平行。
、了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。
会判定两直线平行、垂直。
3
4、掌握空间曲线的切线、法平面方程的求法。
掌握空间曲面的切平面与法线方程的求法。
空间解析几何过关题（8）,,,
1、设，求及方向余弦。
a,,（3,2,1）|a|,,,,,,,,,,,,,,,,,2、设,，求:
（1）;
（2）;
ab，2aijk,,,32bijk,，,2abab,，,
（2）3,,,ab,,,,,,,,,,,,
（3）。
（2）（3）abab，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
（32）（）abab,,，,3、设向量的模分别为，则（）||5,||2,abab,,,ab,
23t,14、求曲线在的对应点处的切线与法平面方程。
x,at,y,bt,z,ct
t,x,t,sint,y,1,cost,z,4sin（1,1,22）,5、求曲线在点处的切线与法平面方程。
22
333在点处的切平面与法线方程。
6、求曲面（1,2,,1）x，y，z，xyz,6
2227、求曲面在点处的切平面与法线方程。
（2,2,1）,xyzxyz，，，,,237
第九章二重积分必须掌握的考点:
1、理解二重积分的概念及其性质。
2、掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法。
3、会用二重积分空间封闭曲面所围成的有界区域的体积。
二重积分过关题（9）
I,f（x,y）d,一、化为直角坐标下的二次积分,其中积分区域D是:
,D22x,21、由y,x,xy,1和所围成的;
2、由和围成的。
y,xy,2,x二、画出下列累次积分所表示的二重积分的积分的积分区域，并交换其积分次序。
2ln1x1yex1、2、3、dxfxydy（,）dyfxydx（,）dxf（x,y）dy2,,,,,,,,1000011y
三、计算下列二重积分
y21、，其中D由所围成。
xedxdyy,x,y,1,x,2,,D
2、，其中D是由直线所围成。
xydxdyy,x,y,1,x,2,,D
223、，其中是由直线所围的闭区域。
D（）xyxd，,,yyxyx,,,2,,2,,D2,y4、ed,，D由所围成。
y,x,y,1,x,0,,D
22225、（（x，y）dxdyD:
x，y,4y,,D
22226、在第一象限内的部分。
ln
（1）,:
1，，，,xydxdyDxy其中,,D
22227、，其中。
xydxdy，Dxyx:
2，,,,D
2222228、sin,xydxdy，其中:
,,，,xy4D,,D
第十章曲线积分必须掌握的考点:
1、了解对坐标的曲线积分的概念及性质。
2、掌握对坐标的曲线积分的计算（转化为定积分）。
3、掌握格林公式，掌握曲线积分与路径无关的条件，并会应用于曲线积分的计算中。
4、会用曲线积分与路径无关条件，建立微分方程。
格林公式定理:
设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数在上具有一阶连续偏导P（x,y）,Q（x,y）DLD
Q,P数，是的正向边界曲线，则。
P（x,y）dx，Q（x,y）dy,（,）dxdyLD,,,,x,yLD
GG曲线积分与路径无关条件定理:
设开区域是一个单连通域，函数在内具有一阶连P（x,y）,Q（x,y）
Q,PGG,P（x,y）dx，Q（x,y）dy续偏导数，则在内与路径无关的充要条件是在内恒成立。
,x,yL
曲线积分过关题（10）1、化曲线积分为定积分
（2）aydxdy,，
（1），其中为摆线xattyatt,,,,,,（sin）,（1cos）,（02）,沿增加的方向。
tL,L
222
（2）
（2）xxydxyxydy,，,
（2），为从（1,1）到（-1,1）。
yx,L,L
ydx,xdy222（3）计算，其中为圆，逆时针方向xya，,L22,Lx，y
2、格林公式
xx0,x,,e（1,cosy）dx，e（1，siny）dy0,y,sinx
（1）计算曲线积分,其中是区域,的正向边L,L
界。
22xy23
（2）计算曲线积分I,（3xy,2y）dx，（x，1）dy，其中是椭圆曲线沿顺时针方向。
，,1L,L49
xx222（（esiny,2y）dx，（ecosy,2）dy3）计算曲线积分,其中为上半圆周,y,0（x,a），y,aL,L
沿逆时针方向。
x2x22（4）计算，其中是在圆周上由沿逆时针方向到I,（ye,2y）dx，（siny，e）dyA（1,0）x，y,1L,L
的一段弧。
）B（,1,0）
3、曲线积分与路径无关
（2,3）
（1）证明积分在面内与路径无关，并计算其值。
（x，y）dx，（x,y）dyxoy,（11）
222（）（sin）xydxxydy,,，
（2）计算曲线积分，其中是由点沿圆周到的O（0,0）A（1,1）yxx,,2L,L
一段弧。
x（3）设曲线积分与路径无关，其中一阶连续可导且，[f（x）,e]sinydx,f（x）cosydyf（x）f（0）,0,L
求;
f（x）
第十一章无穷级数
1、理解级数收敛、发散的概念。
掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。
2、掌握正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法。
3、掌握几何级数、调和级数与p—级数的
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