苏教版八年级上数学知识点总结.docx

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苏教版八年级数学（上）期末复习

第一章三角形全等

1、全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

理解：

①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；

②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；

③三角形全等不因位置发生变化而改变。

2、全等三角形的性质：

⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。

理解：

①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；

②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

⑵全等三角形的周长相等、面积相等。

⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定：

①边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

②角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

③推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

④边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等。

⑤斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、证明两个三角形全等的基本思路：

⑴已知两边：

①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.

⑵已知一边一角：

①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.

⑶已知两角：

①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.

第二章轴对称

1、轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。

2、轴对称的性质：

①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；

3、线段的垂直平分线：

①性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

②判定定理：

到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

拓展：

三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等

4、角的角平分线：

①性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

②判定定理：

到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。

拓展：

三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。

5、等腰三角形：

①性质定理：

⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）

⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。

（三线合一）

②判断定理：

一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。

（等角对等边）

6、等边三角形：

①性质定理：

⑴等边三角形的三条边都相等；

⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；

拓展：

等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。

②判断定理：

⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；

⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；

⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

7、直角三角形推论：

⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

拓展：

直角三角形常用面积法求斜边上的高。

第三章勾股定理

勾：

直角三角形较短的直角边 

股：

直角三角形较长的直角边 

弦：

斜边

1、勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。

2、勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：

满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。

常见勾股数：

3,4,5； 6,8,10；9,12,15； 5,12,13。

4、简单运用：

⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；

理解：

①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。

②用于证明线段平方关系的问题。

③利用勾股定理，作出长为的线段

⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；

理解：

①确定最大边（不妨设为c）； 

②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

 若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

⑶难点：

运用勾股定理立方程解决问题。

第四章实数

1、平方根：

⑴定义：

一般地，如果x2=a（a≥0），那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

⑵表示方法：

正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。

⑶性质：

①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

②零的平方根是零；

③负数没有平方根。

2、开平方：

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

3、算术平方根：

⑴定义：

一般地，如果x2=a（a≥0），那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

⑵表示方法：

记作“”，读作“根号a”。

⑶性质：

①一个正数只有一个算术平方根；

②零的算术平方根是零；

③负数没有算术平方根。

⑷注意的双重非负性：

⑸

4、立方根：

⑴定义：

一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

⑵表示方法：

记作“”，读作“三次根号a”。

⑶性质：

①一个正数有一个正的立方根；

②一个负数有一个负的立方根；

③零的立方根是零。

⑷注意：

，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

⑸

5、开立方：

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

6、实数定义与分类：

⑴无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

理解：

常见类型有三类：

①开方开不尽的数：

如,等；

②有特定意义的数：

如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；

③有特定结构的数：

如0.1010010001……等；（注意省略号）

⑵实数：

有理数和无理数统称为实数。

⑶实数的分类：

①按定义来分②按符号性质来分

整数（含0）正有理数

有理数分数正实数正无理数

实数实数0

无理数负实数负有理数

负无理数

7、实数比较大小法：

理解：

⑴正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；

⑵数轴比较：

数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；

⑶绝对值比较法：

两个负数，绝对值大的反而小。

⑷平方法：

a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。

8、实数的运算：

①六种运算：

加、减、乘、除、乘方、开方

②实数的运算顺序：

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

③实数的运算律：

加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律。

9、近似数：

由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。

 取近似值的方法——四舍五入法。

10、科学记数法：

把一个数记为（其中1≤a＜1,n是整数）的形式，就叫科学计数法。

11、实数和数轴：

每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。

实数与数轴上的点是一一对应的关系。

第五章平面直角坐标系

1、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

2、平面直角坐标系及有关概念：

⑴平面直角坐标系：

定义：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；

铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。

它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；

建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

⑵象限：

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：

x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

⑶点的坐标的概念：

①对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

②点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

③平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

④平面内点的与有序实数对（坐标）是一一对应的关系。

⑷不同位置的点的坐标的特征:

①各象限内点的坐标的特征：

点P（x,y）在第一象限：

x>0,y>0；点P（x,y）在第二象限：

x<0,y>0；

点P（x,y）在第三象限：

x<0,y<0；点P（x,y）在第四象限：

x>0,y<0。

②坐标轴上的点的特征：

点P（x,y）在x轴上：

y=0，x为任意实数；

点P（x,y）在y轴上：

x=0，y为任意实数。

点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上：

即是原点坐标为（0，0）。

③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征：

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上：

x与y相等；

点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线（直线y=-x）上：

x与y互为相反数。

④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征：

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征：

点P与点p’关于x轴对称：

横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

点P与点p’关于y轴对称：

纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

点P与点p’关于原点对称：

横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

⑥点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

点P（x,y）到x轴的距离等于|y|； 

点P（x,y）到y轴的距离等于|x|； 

点P（x,y）到原点的距离等于。

第六章 一次函数

1、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2、自变量取值范围：

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

3、函数的三种表示法：

⑴关系式（解析）法：

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

⑵列表法：

把自变量x的一系列值和y的对应函数值，列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

⑶图象法：

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

4、由函数关系式画其图像的一般步骤：

①列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值 

②描点：

以表中每对X和Y值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 

③连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

5、正比例函数和一次函数概念与性质：

⑴正比例函数和一次函数的概念：

①一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成（k，b为常数，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

②特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。

③正比例函数是特殊的一次函数。

⑵一次函数的图像:

所有一次函数的图像都是一条直线

⑶一次函数、正比例函数图像的主要特征：

①一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；

②正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。

⑷正比例函数的性质：

一般地，正比例函数有下列性质：

①当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；

②当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

⑸一次函数的性质：

一般地，一次函数有下列性质：

①当k>0时，y随x的增大而增大

②当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定：

理解：

⑴确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx（k≠0）中的常数k。

⑵确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b（k≠0）中的常数k和b。

⑶解这类问题的一般方法是待定系数法。

具体法方：

过点必代，交点必联。

7、一次函数与一元一次方程的关系：

理解：

①任何一个一元一次方程都可转化为：

kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数（y）值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．

②由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：

当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．

③从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

一次函数补充

一.常量、变量：

在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念：

函数的定义：

一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

三、函数中自变量取值范围的求法：

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：

一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

五、用描点法画函数的图象的一般步骤

1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

）

注意：

列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：

（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：

（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：

（1）列表法

（2）图像法（3）解析式法

七、正比例函数与一次函数的概念：

一般地，形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数叫做一次函数.

当b=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.

八、正比例函数的图象与性质：

（1）图象:

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0））的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y=kx。

（2）性质:

当k>0时,直线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y=kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

九、求函数解析式的方法:

待定系数法：

先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。

1.一次函数与一元一次方程：

从“数”的角度看x为何值时函数y=ax+b的值为0．

2.求ax+b=0（a,b是常数，a≠0）的解，从“形”的角度看，求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标

3.一次函数与一元一次不等式：

解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）．从“数”的角度看，x为何值时函数y=ax+b的值大于0．

4.解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）．从“形”的角度看，求直线y=ax+b在x轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．

十、一次函数与正比例函数的图象与性质

一　　次　　函　　数

概　念

如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.

图　像

一条直线

性　质

k＞0时，y随x的增大（或减小）而增大（或减小）；

k＜0时，y随x的增大（或减小）而减小（或增大）.

直线y=kx+b（k≠0）的位置与k、b符号之间的关系.

（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；

（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；

（3）k>0，b＝0图像经过一、三象限；

（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；

（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；

（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。

一次函数表达式的确定

求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠0）时，只需一个点即可.

5.一次函数与二元一次方程组：

解方程组

从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并

求出这个函数值

解方程组从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.