九年级(初三)数学下册期末测试题.doc
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九年级下册期末测试题
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
1．若方程x2－5x＝0的一个根是a，则a2－5a＋2的值为（）
A．－2 B．0 C．2 D．4
2．如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，
若OD＝3，则弦AB的长为（）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．将抛物线y＝2x2经过怎样的平移可得到抛物线y＝2（x＋3）2＋4?
（）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
4．小莉站在离一棵树水平距离为a米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为（）
A． B．
C．D．
5．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，
记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值
分别为（）
A．（0，0），2 B．
C．（2，2），2 D．（2，2），3
6．将抛物线y＝x2＋1绕原点O族转180°，则族转后的抛物线的解析式为：
（）
A．y＝－x2 B．y＝－x2＋1
C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1
7．如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，PA＝3，∠P＝60°，若AC为⊙O的直径，则图中阴影部分的面积为（）
A． B．
C． D．
8．已知b>0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象如下列四个图之一所示．
根据图分析，a的值等于（）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积等于______．
10．如图，⊙O的直径是AB，CD是⊙O的弦，基∠D＝70°，则∠ABC等于______．
11．如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA＇，若BA＇与⊙O相切，则旋转的角度（0°＜a＜180°）等于______．
12．等腰△ABC中，BC＝8，若AB、AC的长是关于x的方程x2－10x＋m＝0的根，则m的值等于______．
三、解答题（本题共29分，第13～17题每小题5分，第18题4分）
13．解方程：
2x2－6x＋1＝0．14．计算：
15．已知：
关于x的方程x2＋2x＝3－4k有两个不相等的实数根（其中k为实数）．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求此时方程的根．
16．已知：
如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，∠B＝30°，延长BA到D，使∠ADC＝30°．
（1）求证：
DC是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求DC的长．
17．已知：
如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．
（1）求证：
△ABD∽△CBA；
（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD
相似的三角形，并直接写出DE的长．
18．已知：
如图，∠MAN＝45°，B为AM上的一个定点．若点P在射线AN上，以P为圆心，PA为半径的圆与射AN的另一个交点为C．请确定⊙P的位置，使BC恰与⊙P相切．
（1）画出⊙P；（不要求尺规作图，不要求写画法）
（2）连结BC、BP并填空：
①∠ABC＝______°；
②比较大小：
∠ABP______∠CBP（填“＞”、“＜”或“＝”）．
四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）
19．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（0，3）、B（4，3）、C（1，0）．
（1）填空：
抛物线的对称轴为直线x＝______，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为______；
（2）求该抛物线的解析式．
20．已知：
如图，等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE＝2，，求EF的长．
21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）如果市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果涨了多少元?
（2）设每千克这种水果涨价x元时（0＜x≤25），市场每天销售这种水果所获利润为y元．若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多?
最多盈利多少元?
22．已知：
如图，△ABC中，AB＝3，∠BAC＝120°，AC＝1，D为AB延长线上一点，BD＝1，点P在∠BAC的平分线上，且满足△PAD是等边三角形．
（1）求证：
BC＝BP；
（2）求点C到BP的距离．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x的方程x2－2ax－a＋2b＝0，其中a、b为实数．
（1）若此方程有一个根为2a（a＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
24．已知：
如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：
AC2＝AD·CE；（3）求的值．
25．已知：
抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜1＜x2．
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若a是整数，P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边
△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围．
-4-
答案与提示
期末检测题（三）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
C
D
A
B
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题号
9
10
11
12
答案
4∶9
20°
60°或120°（各2分）
16或25（各2分）
三、解答题（本题共29分，第13～17题每小题5分，第18题4分）
13．解：
因为a＝2，b＝－6，c＝1， 1分
所以b2－4ac＝（－6）2－4×2×1＝28． 2分
代入公式，得 3分
所以原方程的根为（每个根各1分） 5分
14．解：
4分
5分
15．
（1）解一：
原方程可化为（x＋1）2＝4－4k． 1分
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴4－4k＞0． 2分
解得k＜1．
∴k的取值范围是k＜1． 3分
解二：
原方程可化为x2＋2x＋4k－3＝0． 1分
D＝22－4（4k－3）＝4（4－4k）．以下同解法一．
（2）解：
∵k为非负整数，k＜1，
∴k＝0． 4分
此时方程为x2＋2x＝3，它的根为x1＝－3，x2＝1． 5分
16．
（1）证明：
连结OC．
∵OB＝OC，∠B＝30°，
∴∠OCB＝∠B＝30°．
∴∠COD＝∠B＋∠OCB＝60°． 1分
∵∠BDC＝30°，
∴∠BDC＋∠COD＝90°，DC⊥OC． 2分
∴BC是弦，
∴点C在⊙O上．
∴DC是⊙O的切线． 3分
（2）解：
∵AB＝2，
4分
∵在Rt△COD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，
∴ 5分
17．
（1）证明：
∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，
1分
∵∠ABD＝∠CBA， 2分
∴△ABD∽△CBA． 3分
（2）答：
△ABD∽△CDE； 4分
DE＝1.5. 5分
18．解：
（1）图形见下． 2分
（2）①∠ABC＝45°； 3分
②∠ABP＜∠CBP． 4分
四、解答题（本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分）
19．解：
（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为（3，0）； 2分
（2）∵抛物线经过点C（1，0）、D（3，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x－1）（x－3）． 4分
由抛物线经过点A（0，3），得a＝1． 5分
∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3． 6分
20．解：
∵AE⊥BC，EF⊥AB，
∴∠1＋∠2＝90°，∠B＋∠2＝90°．
∴∠1＝∠B． 1分
∴
∴Rt△ABE中， 2分
设BE＝4k，则AB＝BC＝5k，EC＝BC－BE＝k＝2．
∴BE＝8． 3分
∴Rt△BEF中， 4分
21．解：
（1）设市场某天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠时，
每千克这种水果涨了x元．
由题意得（10＋x）（500－20x）＝6000． 1分
整理，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝10． 2分
因为顾客得到了实惠，应取x＝5． 3分
答：
市场某天销售这种水果盈利6000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了5元．
（2）因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，y关于x的函数解析式为y＝（10＋x）（500－20x）（0＜x≤25）． 4分
而y＝（10＋x）（500－20x）＝－20x2＋300x＋5000＝－20（x－7.5）2＋6125．
所以，当x＝7．5时（0＜7．5≤25），y取得最大值，最大值为6125．
6分
答：
不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6125元．
22．
（1）证明：
如图1，连结PC． 1分
图1
∵AC＝1，BD＝1，∴AC＝BD．
∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，
∵△PAD是等边三角形，
∴PA＝PD，∠D＝60°．
∴∠1＝∠D．
∴△PAC≌△PDB． 2分
∴PC＝PB，∠2＝∠3．
∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．
∴△PBC是等边三角形，BC＝BP． 3分
证法二：
作BM∥PA交PD于M，证明△PBM≌△BCA．
（2）解法一：
如图2，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．
图2
∵AB＝3，BD＝1，∴AD＝4．
∵△PAD是等边三角形，PF⊥AB，
∴BF＝DF－BD＝1，
4分
5分
即点C到BP的距离等于
解法二：
作BN⊥DP于N，
以下同解法一．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．解：
（1）∵方程x2－2ax－a＋2b＝0有一个根为2a，
∴4a2－4a2－a＋2b＝0． 1分
整理，得 2分
∵a＜0，即a＜b． 3分
（2）D＝4a2－4（－a＋2b）＝4a2＋4a－8b． 4分
∵对于任何实数a，此方程都有实数根．
∴对于任何实数a，都有4a2＋4a－8b≥0，即a2＋a－2b≥0 5分
∴对于任何实数a，都有
当时，有最小值 6分
∴b的取值范围是
24．
（1）解：
如图3，连结OB． 1分
图3
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵AD∥OC，
∴∠D＝∠OCB＝45°． 2分
（2）证明：
∵∠BAC＝45°，∠D＝45°，
∴∠BAC＝∠D． 3分
∵AD∥OC，
∴∠ACE＝∠DAC． 4分
∴△ACE∽△DAC．
∴AC2＝AD·CE． 5分
（3）解法一：
如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA．
图4
∵AD∥OC，
∴∠F＝∠BOC＝90°．
∵∠ABC＝15°，
∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝30°．
∵OA＝OB．
∴∠FOA＝∠OBA＋∠OAB＝60°，∠OAF＝30°．
∴．
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD．
即的值为2． 7分
解法二：
作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得
所以
25．解：
（1）∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1、x2是关于x的方程的解．
方程可简化为x2＋2（a－1）x＋（a2－2a）＝0．
解方程，得x＝－a或x＝－a＋2． 1分
∵x1＜x2，－a＜－a＋2，
∴x1＝－a，x2＝－a＋2．
∴A、B两点的坐标分别为A（－a，0），B（－a＋2，0）． 2分
（2）∵AB＝2，顶点C的纵坐标为 3分
∴△ABC的面积等于 4分
（3）x1＜1＜x2，∴－a＜1＜－a＋2．
∴－1＜a＜1． 5分
∵a是整数，
∴a＝0，所求抛物线的解析式为y＝ 6分
解法一：
此时顶点C的坐标为
如图5，作CD⊥AB于D，连结CQ．
图5
则AD＝1，
∴∠BAC＝60°．
由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形．
由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，点
M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN为平行四边形，C、Q、
P三点共线，且 7分
∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，
8分
解法二：
设点P的坐标为P（x，0）（0＜x＜2）．
如图6，作MM1⊥AB于M1，NN1⊥AB于N1．
图6
∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，
∴AM＝AP＝x，BN＝BP＝2－x，
∠MAP＝60°，∠NBP＝60°．
∴M、N两点的坐标分别为
可得线段MN的中点Q的坐标为
由勾股定理得 7分
∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2，
8分
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