列二元一次方程组解应用题的主要题型复习.doc

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法国数学家笛卡儿：

一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题都可以转化为方程问题，因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。

列二元一次方程组解应用题的主要题型复习

一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤

1、审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

弄清题意和题目中的数量关系，

2、找出等量关系：

找出能够表示本题含义的相等关系．寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

3、设出未知数，列出方程：

设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。

设未知数及作答时若有单位的一定要带单位，方程中数量单位一定要统一。

设元（未知数）。

①直接设元法②间接设元法（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

1）直接设元法：

求什么设什么，方程的解就是问题的答案；

2）间接设元法：

不是求什么设什么，方程的解并不是问题的答案，需要根据问题中的数量关系求出最后的答案。

4、解方程：

解所列的方程，求出未知数的值．

5、检验，写答案：

检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。

如：

甲、乙两人的收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各储存了500元，求两人的年收入各是多少？

解：

设甲的年收入为x元，乙的年收入为y元，根据题意，得

解得：

答：

甲的年收入为1500元，乙的年收入为1125元．

二、设未知数的几种常见方法

1、设直接未知数：

即题目里要求的未知量是什么，就把它设做方程里的未知数，并且求几个设几个．

例：

李红用甲、乙两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元．已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？

（公民应交利息所得税＝利息金额×20％）．（答案：

2.25％和0.99％）

解：

设甲、乙这两种形式储蓄的年利率分别为x％、y％，

2、设间接未知数：

即设的不是所求量．有些应用题，若设直接未知数，则所列的方程比较复杂；若改设间接未知数，则能列出既简单又易解的方程．

例：

甲、乙两厂计划在上月共生产机床360台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产了机床400台，问上月两厂各超额生产了机床多少台？

（答案24台和16台）

解：

设上月份甲厂计划生产机床x台，乙厂计划生产机床y台，

3、少设未知数：

有些应用题，要求两个或更多个未知数，但根据各未知数之间的关系，只需设一个或少数几个未知数就可以求解．

例：

怎样把45分成甲、乙、丙、丁四个数，使甲数加2，乙数减2，丙数加倍，丁数减半的结果相等？

（答案：

甲数为8，乙数为12，丙数为5，丁数为20）

解设甲数为x，丙数为y，则乙数为x＋4，丁数为4y，

4、多设未知数：

有些应用题，不仅要设直接未知数，而且要增设辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知数．

例：

甲车和乙车共坐了93人，乙车和丙车共坐了96人，丙车和丁车共坐了98人，问甲车和丁车共坐了多少人？

（答案95人）

思路与技巧本题只需求甲车和丁车乘坐的人数之和，但是若以这个量为未知数，列方程比较困难．因此，我们不妨设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数作为辅助未知数，列出方程组来求解．

解设甲、乙、丙、丁各车乘坐的人数分别为x、y、z、u，

三、列方程组解应用题的常见题型．

1、和差倍分问题：

解这类问题的基本等量关系式是：

较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×1倍量．

例：

第一个容器有49L水，第二个容器有56L水，如果将第二个容器的水倒满第一个容器，那么第二个容器剩下的水是这个容器容量的一半；如果将第一个容器的水倒满第二个容器，那么第一个容器剩下的水是这个容器容量的三分之一，求这两个容器的容量。

（答案63L，84L）

解：

设第一个容器的容量为xL，第二个容器的容量为yL，那么第二个容器倒给第一个容器（x－49）L，剩下56－（x－49）L水，第一个容器倒给第二个容器（y－56）L，剩下49－（y－56）L水，

2、产品配套问题：

解这类问题的基本等量关系式是：

加工总量成比例．

例：

某车间有28名工人参加生产某种特制的螺丝和螺母，已知平均每人每天只能生产螺丝12个或螺母18个，一个螺丝装配两个螺母，问应怎样安排生产螺丝和螺母的工人，才能使每天的产品正好配套？

（答案：

12人生产螺丝，16人生产螺母）

解：

设每天安排x人生产螺丝，y人生产螺母，

3、速度问题：

解这类问题的基本关系式是：

路程＝速度×时间．一般又分为相遇问题、追及问题及环形道路问题。

例：

某人从甲地骑车出发，先以12km/h的速度下山坡，后以9km／h的速度过公路到达乙地，共用55min；返回时，按原路先以8km／h的速度过公路，后以4km／h的速度上山坡回到甲地，共用1h30min，问甲地到乙地共多少千米？

（答案：

9km）

解：

设甲地到乙地山坡路为xkm，公路为ykm．

例：

一列快车长70m，一列慢车长80m，若两车同向而行，快车从追上慢车开始到离开慢车，需要1min；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车，只需要12s，问快车和慢车的速度各是多少？

（答案：

快车的速度是7.5m／s，慢车的速度是5m／s）

解：

设快车的速度是xm／s，慢车的速度是ym／s，

例：

甲、乙两人在200m的环形跑道上练习竞走，乙的速度比甲快，当他们都从某地同时背向行走时，每隔30s种相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，求甲、乙两人的竞走速度．（答案：

甲175m／min，乙225m/min）

解：

设甲的速度为xm／min，乙的速度为ym／min，

4、航速问题：

此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为：

顺流（风）：

航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：

航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速

例：

甲轮从A码头顺流而下，乙轮从B码头逆流而上，两轮同时相向而行，相遇于中点，而乙轮顺流航行的速度是甲轮逆水航行的速度的2倍，已知水流速度是4km／h，求两轮在静水中的速度．（答案：

甲20km／h，乙28km／h）

解：

设甲轮在静水中的速度为xkm/h，乙轮在静水中的速度为ykm／h，

5、工程问题：

解这类问题的基本关系式是：

工作量＝工作效率×工作时间．一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题．

例：

一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？

（答案：

50个、30个）

解：

设甲每天做x个机器零件，乙每天做y个机器零件，

例：

一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成，现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务．问甲、乙两队合做了多少天？

丙队加入后又做了多少天？

（答案：

4天，2天）

解：

设甲、乙两队先合做了x天，丙队加入后又做了y天，

6、增长率问题：

解这类问题的基本等量关系式是：

原量×（1＋增长率）＝增长后的量，

原量×（1－减少率）＝减少后的量．

例：

某中学校办工厂今年总收入比总支出多30000元，计划明年总收入比总支出多69600元，已知计划明年总收入比今年增加20％，总支出比今年减少8％，求今年的总收入和总支出．（答案：

150000元，120000元）

解：

设今年的总收入为x元，总支出为y元，

7、盈亏问题：

解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量．

例：

为了迎接新学期开学，某服装厂赶制一批校服，要求必须在规定时间内完成，在生产过程中，如果每天生产50套，这将还差100套不能如期完成任务；如果每天生产56套，就可以超额完成80套，问原计划生产校服的套数及原计划规定多少天完成？

（答案：

1600套，30天）

解：

设原计划生产x套校服，原计划规定生产y天，

8、数字问题：

解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示．如当n为整数时，奇数可表示为2n＋1（或2n－1），偶数可表示为2n等．有关两位数的基本等量关系式为：

两位数＝十位数字×10＋个位数字．

例：

一个两位数的个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对换，所得的新两位数与原两位数相加的和为143，求这个两位数．（答案：

49）

解：

设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，

9、几何问题：

解这类问题：

根据图形的特征，基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积、体积公式等计算公式．

例：

有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积．（答案：

1620，150）

解：

设第一个长方形的长与宽分别为5xcm和4xcm，第二个长方形的长与宽分别为3ycm和2ycm，

10、年龄问题：

解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等，两人的年龄差是永远不会变的．

例：

师傅对徒弟说：

“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了”．问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？

（答案：

36岁，20岁）

有三种算法

1、设师傅年龄为X，徒弟年龄为Y，根据题意得：

Y-（X-Y）=4.,x+（x-y）=52，

2、设两人年龄差为X，师傅为Y，根据题意得：

Y=4+2X,52=Y+X

3、设两人年龄差为X，徒弟年龄为Y，根据题意得：

Y=X+4,52=Y++2X

11、经济类问题：



即利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数

税后利息=本金×利率×期数×（1-利息税率）

利息所得税＝利息金额×20％．

商品的利润=商品的售价-商品的进价

商品的利润率=商品的利润/商品进价×100

12、等积类问题：



“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：

①形状面积变了，周长没变。

②变形前后的质量（或体积）不变.