柳州中考数学试题解析版.doc

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2014年广西柳州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2014•柳州）如图，李师傅做了一个零件，请你告诉他这个零件的主视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

分析：

根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

解答：

解：

从正面看，左边是个正方形，右边是个矩形，

故选：

A．

点评：

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

2．（3分）（2014•柳州）在所给的，0，﹣1，3这四个数中，最小的数是（　　）

A．

B．

C．

﹣1

D．

考点：

分析：

要解答本题可根据正数大于0，0大于负数，可得答案．

解答：

解：

﹣1＜0＜＜3．

故选：

C．

点评：

本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．

3．（3分）（2014•柳州）下列选项中，属于无理数的是（　　）

A．

B．

C．

D．

﹣2

考点：

分析：

根据无理数是无限不循环小数，可得答案．

解答：

解：

π是无限不循环小数，

故选：

B．

点评：

本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．

4．（3分）（2014•柳州）如图，直线l∥OB，则∠1的度数是（　　）

A．

120°

B．

30°

C．

40°

D．

60°

考点：

分析：

根据两直线平行，同位角相等解答．

解答：

解：

∵直线l∥OB，

∴∠1=60°．

故选D．

点评：

本题考查平行线的性质，熟记性质是解题的关键．

5．（3分）（2014•柳州）下列计算正确的选项是（　　）

A．

﹣1=

B．

（）2=5

C．

2a﹣b=ab

D．

考点：

专题：

计算题．

分析：

A、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；

B、原式利用平方根定义化简，计算即可得到结果；

C、原式不能合并，错误；

D、原式利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断．

解答：

解：

A、原式=2﹣1=1；故选项错误；

B、原式=5，故选项正确；

C、原式不能合并，故选项错误；

D、原式=，故选项错误．

故选B．

点评：

此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．（3分）（2014•柳州）如图，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在（　　）

A．

第一象限

B．

第二象限

C．

第三象限

D．

第四象限

考点：

分析：

根据轴对称的性质作出选择．

解答：

解：

如图所示，直角坐标系中的五角星关于y轴对称的图形在第一象限．

故选：

A．

点评：

本题考查了轴对称的性质．此题难度不大，采用了“数形结合”的数学思想．

7．（3分）（2014•柳州）学校“清洁校园”环境爱护志愿者的年龄分布如图，那么这些志愿者年龄的众数是（　　）

A．

12岁

B．

13岁

C．

14岁

D．

15岁

考点：

分析：

根据众数的定义，就是出现次数最多的数，据此即可判断．

解答：

解：

众数是14岁．

故选C．

点评：

本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

8．（3分）（2014•柳州）如图，当半径分别是5和r的两圆⊙O1和⊙O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则⊙O2的半径r为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解．

解答：

解：

根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8﹣5=3．

故选D．

点评：

本题考查了圆与圆的位置关系，注意：

两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．

9．（3分）（2014•柳州）在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（　　）

A．

长方形

B．

平行四边形

C．

菱形

D．

直角梯形

考点：

分析：

根据菱形的对角线互相垂直即可判断．

解答：

解：

菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．

故选C．

点评：

本题考查了长方形、平行四边形、菱形、直角梯形的性质．常见四边形中，菱形与正方形的对角线互相垂直．

10．（3分）（2014•柳州）如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是（　　）

A．

240°

B．

120°

C．

60°

D．

30°

考点：

分析：

多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．

解答：

解：

设这个正六边形的每一个内角的度数为x，

则6x=（6﹣2）•180°，

解得x=120°．

故这个正六边形的每一个内角的度数为120°．

故答案选：

B．

点评：

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

11．（3分）（2014•柳州）小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（　　）

A．

无解

B．

x=1

C．

x=﹣4

D．

x=﹣1或x=4

考点：

分析：

关于x的方程x2+ax+b=0的解是抛物线y=x2+ax+b与x轴交点的横坐标．

解答：

解：

如图，∵函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点坐标分别是（﹣1，0），（4，0），

∴关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=﹣1或x=4．

故选：

D．

点评：

本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．

12．（3分）（2014•柳州）如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是（　　）

A．

0.25

B．

0.5

C．

0.75

D．

0.95

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出至少有一个灯泡发光的情况数，即可求出所求的概率．

解答：

解：

列表如下：

灯泡1发光

灯泡1不发光

灯泡2发光

（发光，发光）

（不发光，发光）

灯泡2不发光

（发光，不发光）

（不发光，不发光）

所有等可能的情况有4种，其中至少有一个灯泡发光的情况有3种，

则P==0.75．

故选C．

点评：

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2014•柳州）3的相反数是　﹣3　．

考点：

分析：

此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：

只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

解答：

解：

3的相反数就是﹣3．

点评：

此题主要考查相反数的概念．

14．（3分）（2014•柳州）如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x　＜　y（用“＞”或“＜”填空）．

考点：

分析：

由图知1号同学比2号同学矮，据此可解答．

解答：

解：

如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x＜y，

故答案为：

＜．

点评：

本题主要考查了不等式的定义，仔细看图是解题的关键．

15．（3分）（2014•柳州）如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　5　．

考点：

分析：

根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．

解答：

解：

∵四边形ABCD为等腰梯形，

∴AD=BC，

∵BC=4，

∴AD=4，

∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16，

∴AB=16﹣3﹣4﹣4=5，

故答案为5．

点评：

本题考查了等腰梯形的性质，是基础知识要熟练掌握．

16．（3分）（2014•柳州）方程﹣1=0的解是x=　2　．

考点：

分析：

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答：

解：

去分母得：

2﹣x=0，

解得：

x=2，

经检验x=2是分式方程的解．

故答案为：

2．

点评：

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

17．（3分）（2014•柳州）将直线y=x向上平移　7　个单位后得到直线y=x+7．

考点：

分析：

直接根据“上加下减”的原则进行解答．

解答：

解：

由“上加下减”的原则可知，将直线y=x向上平移7个单位所得直线的解析式为：

y=x+7．

故答案为：

7．

点评：

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

18．（3分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC的面积分别是S1、S2、S3，现有如下结论：

①S1：

S2=AC2：

BC2；

②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；

③若AC⊥BC，则S1•S2=S32．

其中结论正确的序号是　①②③　．

考点：

分析：

①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断；

②根据SAS即可求得全等；

③根据面积公式即可判断．

解答：

①S1：

S2=AC2：

BC2正确，

解：

∵△ADC与△BCE是等边三角形，

∴△ADC∽△BCE，

∴S1：

S2=AC2：

BC2．

②△BCD≌△ECA正确，

证明：

∵△ADC与△BCE是等边三角形，

∴∠ACD=∠BCE=60°

∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD，

即∠ACE=∠DCB，

在△ACE与△DCB中，

，

∴△BCD≌△ECA（SAS）．

③若AC⊥BC，则S1•S2=S32正确，

解：

设等边三角形ADC的边长=a，等边三角形BCE边长=b，则△ADC的高=a，△BCE的高=b，

∴S1=aa=a2，S2=bb=b2，

∴S1•S2=a2b2=a2b2，

∵S3=ab，

∴S32=a2b2，

∴S1•S2=S32．

点评：

本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等于相似比的平方．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）（2014•柳州）计算：

2×（﹣5）+3．

考点：

分析：

根据异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，可得积，再根据有理数的加法，可得答案．

解答：

解：

原式=﹣10+3

=﹣7．

点评：

本题考查了有理数的乘法，先算有理数的乘法，再算有理数的加法，注意运算符号．

20．（6分）（2014•柳州）一位射击运动员在10次射击训练中，命中靶的环数如图．

请你根据图表，完成下列问题：

（1）补充完成下面成绩表单的填写：

射击序次

成绩/环

（2）求该运动员这10次射击训练的平均成绩．

考点：

分析：

根据折线统计图中提供的信息，补全统计表；

（2）求出该运动员射击总环数除以10即可．

解答：

解：

（1）由折线统计图得出第一次射击环数为：

8，第二次射击环数为：

9，第三次射击环数为：

7，

故答案为：

8，9，7．

（2）运动员这10次射击训练的平均成绩：

（8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）÷10=8.5（环）．

点评：

本题主要考查了折线统计图及统计表和平均数，解题的关键是能从折线统计图中正确找出数据．

21．（6分）（2014•柳州）小张把两个大小不同的苹果放到天平上称，当天平保持平衡时的砝码重量如图所示．问：

这两个苹果的重量分别为多少g？

考点：

分析：

设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，根据图示可得：

大苹果的重量=小苹果+50g，大苹果+小苹果=300g+50g，据此列方程组求解．

解答：

解：

设大苹果的重量为xg，小苹果的重量为yg，

由题意得，，

解得：

．

答：

大苹果的重量为200g，小苹果的重量为150g．

点评：

本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据图形，找出等量关系，列方程组求解．

22．（8分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5，∠A=30°．

①求BD和AD的长；

②求tan∠C的值．

考点：

专题：

计算题．

分析：

（1）由BD⊥AC得到∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；

（2）先计算出CD=2，然后在Rt△ADC中，利用正切的定义求解．

解答：

解：

（1）∵BD⊥AC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，

∴BD=AB=3，

∴AD=BD=3；

（2）CD=AC﹣AD=5﹣3=2，

在Rt△ADC中，tan∠C===．

点评：

本题考查了解直角三角形：

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

23．（8分）（2014•柳州）如图，函数y=的图象过点A（1，2）．

（1）求该函数的解析式；

（2）过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C，求四边形ABOC的面积；

（3）求证：

过此函数图象上任意一点分别向x轴和y轴作垂线，这两条垂线与两坐标轴所围成矩形的面积为定值．

考点：

分析:

（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k值；

（2）由于点A是反比例函数上一点，矩形ABOC的面积S=|k|．

（3）设图象上任一点的坐标（x，y），根据矩形的面积公式，可得出结论．

解答：

解：

（1）∵函数y=的图象过点A（1，2），

∴将点A的坐标代入反比例函数解析式，

得2=，解得：

k=2，

∴反比例函数的解析式为y=；

（2）∵点A是反比例函数上一点，

∴矩形ABOC的面积S=AC•AB=|xy|=|k|=2．

（3）设图象上任一点的坐标（x，y），

∴过这点分别向x轴和y轴作垂线，矩形面积为|xy|=|k|=2，

∴矩形的面积为定值．

点评：

本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数y=中k的几何意义，注意掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．

24．（10分）（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．

（1）求证：

△ABE∽△ADC；

（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：

四边形OBDC是菱形．

考点：

专题：

证明题．

分析：

（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；

（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．

解答：

证明：

（1）∵∠BAC的角平分线AD，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠B=∠D，

∴△ABE∽△ADC；

（2）

∵∠BAD=∠CAD，

∴弧BD=弧CD，

∵OD为半径，

∴DO⊥BC，

∵F为OD的中点，

∴OB=BD，OC=CD，

∵OB=OC，

∴OB=BD=CD=OC，

∴四边形OBDC是菱形．

点评：

本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．

25．（10分）（2014•柳州）如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．

（1）求线段PQ的长；

（2）问：

点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

考点：

分析：

（1）由题意得：

PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的边长为l，易证得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性质，求得线段PQ的长；

（2）易证得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根据相似三角形的对应边成比例，可得证得PA=PB，则可求得答案．

解答：

解：

（1）根据题意得：

PD=PE，∠DPE=90°，

∴∠APD+∠QPE=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠QPE，

∵EQ⊥AB，

∴∠A=∠Q=90°，

在△ADP和△QPE中，

，

∴△ADP≌△QPE（AAS），

∴PQ=AD=1；

（2）∵△PFD∽△BFP，

∴，

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，

∴△DAP∽△PBF，

∴，

∴PA=PB，

∴PA=AB=

∴当PA=时，△PFD∽△BFP．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

26．（12分）（2014•柳州）已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．

（1）求该二次函数的解析式．

（2）对

（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）

（3）求证：

在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．

（注：

在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）

附：

阅读材料

任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：

两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．

即：

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，

则：

x1+x2=﹣，x1•x2=

能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．

例：

不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．

解：

原方程变为：

x2﹣3x﹣15=0

∵一元二次方程的根与系数有关系：

x1+x2=﹣，x1•x2=

∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积==﹣15．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．

（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．

（3）由于△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，因此GP平分∠AGB．过点A作GP的对称点A′，则点A′必在BG上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，由根与系数的关系可得：

x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：

在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG=x2﹣x1==4，所以当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．

解答：

（1）解：

由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），

因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．

∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1，），

∴=a+1．

解得：

a=．

∴二次函数的解析式为：

y=x2+1．

（2）解：

当x=﹣1时，y=，

当x=0时，y=1，

当x=3时，y=×32+1=，

结合图1可得：

当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜．

（3）①证明：

∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，

∴GP平分∠AGB．

∴直线GP是∠AGB的对称轴．

过点A作GP的对称点A′，如图2，

则点A′一定在BG上．

∵点A的坐标为（x1，y1），

∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）．

∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，

∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．

∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．

设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．

∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，

∴．

解得：

．

∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，

∴x1、x2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根．

∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．

∴n==﹣2+2=0．

∴点G的坐标为（0，0）．

∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．

②解：

过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，

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