相似知识复习和提高练习.docx

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相似知识复习和提高练习

知识回顾：

1.相似三角形的判定定理

（1）两角分别 的两个三角形相似；

（2）两边 且夹角 的两个三角形相似；

（3）三边 的两个三角形相似．

2.相似三角形的性质

（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 ；

（2）相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 ．

3.相似三角形：

三角分别 、三边 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

4.比例线段的性质

（1）如果，那么 ；

（2）如果，那么 ；

（3）如果，那么 ．

5.相似多边形：

各角分别 、各边 的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做 ．

6.相似多边形的性质

（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比；

（2）相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ．

7.位似图形的性质

（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ；

（2）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形 ，位似中心是 ，它们的相似比为 ．

8.位似多边形：

一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做 ．就是这两个相似多边形的 ．

9.黄金分割：

一般地，点把线段分成两条线段和，如果 ，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，黄金比为 ．

一、选择题（共10小题；共30分）

1.与的相似比为：

，则与的周长比为

A.：

B.：

C.：

D.：

2.如图，中，，分别是，上的点，且．若，则

A. B. C. D.

3.如图，在平面直角坐标中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上．若正方形的边长为，则点坐标为

3题图4题图5题图6题图

A. B. C. D.

4.如图，在中，点，分别在边，上，下列条件中不能判断的是

A. B. C. D.

5.如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，．若，则点的坐标为

A. B. C. D.

6.如图，，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．若，，则的长是

A. B. C. D.

7.若，则的值为

A. B. C. D.

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是

A. B.

C.或 D.或

9.如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交，于，两点．若，则线段的长为

A. B. C. D.

10.如图，直线，一等腰直角三角形的三个顶点，，分别在，，上，，交于点．已知与的距离为，与的距离为，则的值为

A. B. C. D.

二、填空题（共15小题；共45分）

11.如图，，与相交于点，且，，，那么的值等于 ．

11题图12题图21题图22题图24题图

12.若，且，，则 ．

21.如图，中，点，分别在边，上，．若，，，则 ．

22.如图，已知正方形的边长为，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下结论：

①；②；③；④．在以上结论中，其中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

24.已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ．

25.如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，若，则 ．

三、解答题（共10小题；共130分）

26.如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，分别交于，交于．

（1）求证：

；

（2）若点为的中点，求的值．

27.已知：

在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中每个小正方形的边长是个单位长度）．

（1）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ；

（2）的面积是 平方单位．

28.如图，，为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为计算工程量，必须计算，两点之间的直线距离，选择测量点，，，点，分别在，上．现测得，，，，，求，两点之间的直线距离．

29.如图，有一路灯灯杆（底部不能直接到达），在灯光下，小华在点处测得自己的影长，沿方向到达点处再测得自己的影长．如果小华的身高为，求路灯灯杆的高度．

30.如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为，连接．

（1）若，求的值；

（2）若与相似，求的值．

31.如图1，在菱形中，，，，相交于点．

（1）求边的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板角的顶点放在菱形的顶点处，绕点左右旋转，其中三角板角的两边分别与边，相交于点，，连接与相交干点．

①判断是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点为边的四等分点时（），求的长．

32.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量操场旗杆的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上，已知，，目测点到地面的距离，到旗杆的水平距离，求旗杆的高度．

33.如图，是的弦，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点，取的中点，过点作交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．求证：

（1）；

（2）．

34.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点连接，为线段上一点，且．

（1）求证：

；

（2）若，，，求的长．

35.如图1，矩形中，，，把矩形沿直线折叠，使点落在处，交于点，连接．

（1）求证：

；

（2）求的值；

（3）如图2，若为线段上一动点，过点作的内接矩形，使其顶点落在线段上，顶点，落在线段上，当线段的长为何值时，矩形的面积最大?

并求出其最大值．

答案

第10页（共10页）

第一部分

1.C 2.C 3.A 4.D 5.B

6.C 【解析】，

，

．

7.D 【解析】方法：

因为，

所以可设，，则．

方法：

因为，

由比例的基本性质可得，

所以，．

方法：

因为，

所以．

8.D 【解析】因为，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，所以点的对应点的坐标为或，即点的坐标为或．

9.C 10.A

第二部分

11.

12.

13.相等，成比例，相等，成比例

14.

（1）相似比，

（2）相似比，相似比的平方

15.相等，成比例

16.

（1），

（2），（3）

17.相等，成比例，相似比

18.

（2）相似比，相似比的平方

19.

（1）相似比，

（2）位似，坐标原点，

20.位似中心，相似比

21.

22.①②④

23.，

24.

25.

【解析】因为为中点，，

所以.

所以，.

所以.

又，

所以．

第三部分

26.

（1）正方形，

，，

，

．

，

，

在和中，

，

．

（2）设正方形的边长为，且点是的中点．

，，

，

又，，

，

，即，

，

又，

，

，

．

，

．

27.

（1）

【解析】如图所示，．

（2）

【解析】，，，

，

是等腰直角三角形．

的面积．

28.连接．

因为，，

所以．

又因为，

所以，

所以，

所以，

所以．

答：

，两点之间的直线距离为．

29.，

，，

，．

，

，

即．

解得．

，

，解得．

答：

路灯灯杆的高度是．

30.

（1）在中，，，

，

，．

由题意知，，

．

，

．

解得．

（2）①当时，有，

即．

解得．

②当时，有，

即．

解得．

综上所述，当时，与相似．

31.

（1）因为四边形是菱形，

所以为直角三角形，且，．

在中，由勾股定理，得

．

（2）①是等边三角形．理由如下：

因为由

（1）知，菱形边长为，，

所以与均为等边三角形，

所以．

又因为，

所以．

在与中，

因为，，

，

所以，

所以，

所以是等腰三角形．

又因为，

所以是等边三角形．

②，为四等分点，且，

所以，．

由①知，

所以．

因为，，，

所以，

所以，

所以，即，

解得．

32.由题意，得，

则.

，，，，

.

解得.

.

答：

旗杆的高度为．

33.

（1）因为，，

所以．

因为是的中点，

所以，

所以是等腰三角形，

所以是的平分线，

所以．

因为，

所以，，

所以，

所以．

（2）如图，连接，

因为，

所以是直径，．

因为是的切线，

所以，

所以，

所以．

因为，

所以．

又因为，

所以，

所以．

即．

34.

（1）四边形是平行四边形，

，，

，．

，，

．

，

，

即．

（2）四边形是平行四边形，

．

由

（1）知，

，

．

在中，．

35.

（1）由矩形的性质可知，

，，．

在与中，

；

（2）如图1，

，

．

设，则．

在中，，即．

解得，即．

      （3）如图2，由矩形的性质得，

．

又，，

设，则，即．

过作于，则．

．

在中，，解得，

，即．

设矩形的面积为，则

．

所以当，即时，矩形的面积最大，最大面积为．