平行线与相交线知识点.doc

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平行线与相交线知识点

1.相交线

同一平面中，两条直线的位置有两种情况：

相交：

如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：

1，2，3，4；

邻补角：

其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。

像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：

1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；

1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。

所以，对顶角相等

例题：

1.如图，31＝23，求1，2，3，4的度数。

2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且，，则_______，__________。

垂直：

垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。

如图所示，图中ABCD，垂足为O。

垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。

例题：

如图，ABCD，垂足为O，EF经过点O，1＝26，求EOD，2，3的度数。

（思考：

EOD可否用途中所示的4表示？

）

垂线相关的基本性质：

（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：

假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？

为什么？

2.平行线：

在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b

3.同一个平面中的三条直线关系：

三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：

有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：

三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；

例题：

如图，直线AB,CD,EF相交于O点，DOB是它的余角的两倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度数。

（2）有两个交点:

（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。

）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。

这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

同位角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

内错角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

同旁内角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：

两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：

1.如图，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度数。

2.如图所示，AB//CD，A＝135，E＝80。

求CDE的度数。

平行线判定定理：

两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：

平行线判定定理1：

同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：

内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD

平行线判定定理3：

同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD

平行线判定定理4：

两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1＝2＝90就可以得到。

例题：

1.已知：

AB//CD，BD平分，DB平分，求证：

DA//BC

2.已知：

AF、BD、CE都为直线，B在直线AC上，E在直线DF上，且，，求证：

。

（3）有三个交点

当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。

如下图所示：

你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？

三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：

这种情况下，三条直线都平行，如右图所示：

即a//b//c。

这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD有怎样的位置关系，为什么？

相交线与平行线作业题

一．选择题：

1.如图，下面结论正确的是（）

A.是同位角B.是内错角

C.是同旁内角D.是内错角

2.如图，图中的内错角的对数是（）

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

3．如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（）

A. B.都是C.或D.以上都不对

4.如图,如果AB∥CD,那么图中相等的内错角是（）

A.∠1与∠5,∠2与∠6;B.∠3与∠7,∠4与∠8;

C.∠5与∠1,∠4与∠8;D.∠2与∠6,∠7与∠3

5.下列语句:

①三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行;②如果两条平行线被第三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中（）

A.①、②是正确的命题B.②、③是正确命题

C.①、③是正确命题D.以上结论皆错

6.下列与垂直相交的洗法:

①平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③平行内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（   ）

 A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°

B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°

C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°

D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°

二．填空

1．已知：

如图，。

求证：

。

证明：

（ ）

（ ）

（ ）

（ ）

2．如图所示，已知∠AOB=50°，PC∥OB，PD平分∠OPC，则∠APC= ___°，∠PDO=______°

三．解答题

1．如图，已知：

AB//CD，求证：

B+D+BED=（至少用三种方法）

2．已知：

如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：

B=C。

3．已知：

如图，，且B、C、D在一条直线上。

求证：

4．已知：

如图，。

求证：

5．已知：

如图，。

求证：

6．如图，DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数。

7.如图,∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA平分∠BDF.

（1）AE与FC会平行吗?

说明理由；

（2）AD与BC的位置关系如何?

为什么?

（3）BC平分∠DBE吗?

为什么？

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